分?jǐn)?shù)及其巧算教材

1、分?jǐn)?shù)的基本變化和巧算、認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)1. 單位“ 1”： 一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、許多物體組成的一個(gè)整體, 都用自然數(shù)1表示，通常叫單位“ 1”。2. 分?jǐn)?shù)意義：把單位“ 1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份 的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。3.分?jǐn)?shù)單位：分?jǐn)?shù)中表示一份的數(shù),叫做分?jǐn)?shù)單位1分母分母越大,1分?jǐn)?shù)單位越小，最大的分?jǐn)?shù)單位是-。4. 分?jǐn)?shù)的分類(lèi)：真分?jǐn)?shù)：分子v分母，真分?jǐn)?shù)v 1。假分?jǐn)?shù)：分子分母，假分?jǐn)?shù)1。帶分?jǐn)?shù)：帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)的一種形式。非零整數(shù)與真分?jǐn)?shù)相加所成的分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)一般讀作幾又幾分之幾。5. 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)大小不變。6. 分?jǐn)?shù)與

2、除法的關(guān)系：被除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的分子，除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的 分母，除號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線(xiàn)。被除數(shù)被除數(shù)+除數(shù)=被除數(shù)a如果用a表示被除數(shù)，b表示除數(shù)，可以寫(xiě)成a + b=£ (b0)二、分?jǐn)?shù)的基本變化分?jǐn)?shù)的變化除了遵循分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)外，還有三條很有意思的規(guī)律：1. 分?jǐn)?shù)被約分多少，分子與分母的和會(huì)縮小多少倍.2. 分?jǐn)?shù)被約分多少，分子與分母的差也會(huì)縮小多少倍 .3. 若一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子不變，分母加上或減去某個(gè)數(shù)a,得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，它相當(dāng)于分母不變，分子減去或加上a與新分?jǐn)?shù)的積.例1.丄的分子、分母同時(shí)加上一個(gè)什么數(shù)以后分?jǐn)?shù)約分為1 ?133解析：原分?jǐn)?shù)分子、分母同時(shí)加上某個(gè)數(shù)，分子與分母的差不會(huì)發(fā)

3、生改變，原分?jǐn)?shù)的分子、分母的差是13-仁12，約分后新分?jǐn)?shù)的分子、分母的差是 3-仁2 , 差縮小了 12十2=6倍，說(shuō)明約分時(shí)分子分母同時(shí)被約去了 6，約分前的分?jǐn)?shù)是 6/18，對(duì)比原分?jǐn)?shù)，就知道原分?jǐn)?shù)分子、分母同時(shí)加上了 5。例2.分?jǐn)?shù)9-的分子、分母都減去同一個(gè)數(shù)，新分?jǐn)?shù)約分后是2，那么減去的數(shù)是多少?解析：原分?jǐn)?shù)分子、分母現(xiàn)時(shí)減去同一個(gè)數(shù)，分子、分母的差不會(huì)變，是181-97=84，而2/5的分子、分母的差是3，差縮小了 84十3=28倍，說(shuō)明約分時(shí)被約掉了 28，那么新分?jǐn)?shù)就是2 X28/5 28=56/140 ，易得出同時(shí)減去了 例3.個(gè)真分?jǐn)?shù)，分母和分子之和是 83,若分母分子分

4、別加上45 和19,則得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)2，原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？5解析：原分?jǐn)?shù)分子與分母的和是 83+45+19=147 ，新分?jǐn)?shù)分子與分母的和是2+5=7，和縮小了 147十7=21倍，說(shuō)明分?jǐn)?shù)被21約后得2/5，約分前的分?jǐn)?shù)是 2 X21/5 X2仁42/105，那么原分?jǐn)?shù)就是(42-19 ) / (105-45 ) =23/60例4.有一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母加上2,得-;如果分母加上3,得-，原來(lái)94這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？解析：題中只是分?jǐn)?shù)的分母發(fā)生了變化， 可知兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的分子是一樣的， 而且是7，3的公倍數(shù)，7/9=21/27 ，3/4=21/28 ，容易得出原分?jǐn)?shù)是 21/25.例5.有一分?jǐn)?shù)，若分子

5、加上1,則變成2；若分子減去1,則變?yōu)?，求該分?jǐn)?shù)。解析：若分子加上1 ,變成1/2，相當(dāng)于分子增加了 1個(gè)分?jǐn)?shù)單位，分子減去1 , 變成1/3，相當(dāng)于分子減少了 1個(gè)分?jǐn)?shù)單位.此時(shí)，有兩種解題方式方法一：運(yùn)用例4的分母不變法.方法二：運(yùn)用找分?jǐn)?shù)單位法.例6 .有一個(gè)分?jǐn)?shù)，若分子加3得7 ;若分母減3得2，這個(gè)分?jǐn)?shù)是103多少？解析：分母減3，得2/3，相當(dāng)于分子加上3 X2/3=2，也會(huì)得2/3 ;這樣題目就 變成了 ：有一個(gè)分?jǐn)?shù)，若分子加3，得7/10 ;若分子加2，得2/3 ;此時(shí)有兩種 方法可以使用，方法一：分母不變法在約分前，兩分?jǐn)?shù)的分母未變，應(yīng)是 10，3 的公倍數(shù)，而分子相差 1

6、，10，3=30 7/10=21/30，2/3=20/30 ，所以，原分?jǐn)?shù)是18/30.方法二：分?jǐn)?shù)單位法例7.一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子不變，分母加 2，得丄；如果分母不變,4分子減1,得2，原分?jǐn)?shù)是多少？9例8.有一分?jǐn)?shù)，若分母、分子都加上 1,則分?jǐn)?shù)變成7 ;若分母、8分子都減1，則變成6，求該分?jǐn)?shù)。7三、分?jǐn)?shù)的拓展分類(lèi)1. 加成分?jǐn)?shù)把兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子之和做分子，分母之和做分母，這個(gè)運(yùn)用加法 得到的新分?jǐn)?shù)叫做加成分?jǐn)?shù)。加成分?jǐn)?shù)的大小介于兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間。例1.在-和-之間寫(xiě)出三個(gè)分?jǐn)?shù)，并使大小成立3211322. 同增分?jǐn)?shù)把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)自然數(shù)，這個(gè)新分?jǐn)?shù)叫做同增分?jǐn)?shù)，同增分?jǐn)?shù)比原分

7、數(shù)大。例2.試比較下列分?jǐn)?shù)的大小，并用“V”連接起來(lái).27107110蘭（）丄（）叱（）竺5101101132013（）2014（）2015（）201620142015201620173. 祖沖之分?jǐn)?shù)在南北朝時(shí)，我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之計(jì)算出圓周率約為35；。在后來(lái) 用計(jì)算機(jī)算出來(lái)更接近的圓周率，最簡(jiǎn)單的都是52163，換句話(huà)說(shuō)在16640分母小于16604的一切分?jǐn)?shù)中不可能有比密率355更接近.這不能不113說(shuō)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)奇跡。4. 阿拉伯分?jǐn)?shù)埃及同中國(guó)一樣，也是世界上著名的文明古國(guó)。古代埃及人處理分?jǐn)?shù)與眾不同，他們一般只使用分子是1的分?jǐn)?shù)，例如：用丄丄來(lái)表示？、用11丄來(lái)表示-等等，現(xiàn)在有90

8、3 1554 7 287個(gè)埃及分?jǐn)?shù)：1/2 , 1/3 , 1/4 , 1/5 ,1/90 , 1/91.后來(lái)，人們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做阿拉伯分?jǐn)?shù).例3.請(qǐng)用阿拉伯分?jǐn)?shù)表示 下列個(gè)數(shù)1 1 11= + + () ()()111111121=1 1 1 1四、分?jǐn)?shù)的巧算1.分?jǐn)?shù)的裂項(xiàng)從分母N的約數(shù)中任意找出兩個(gè) m和n,有：11(m n) mn 11N N(m n) N(m n) N(m n) A B10的約數(shù)有：1,10,2,5.例如：選1和2,有：丄 1(1 2)12111010(1 2)10(1 2)10(1 2)30 15常見(jiàn)的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式(1) a b a b 1 1(

9、2) a2 b2a2b2a babababbaa b a b a b b a2.循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分 子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的 數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所 組成的數(shù)與不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組 成的數(shù)的差n個(gè)9,其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個(gè)數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9,不循環(huán)位數(shù)添0, 組成分母，其中9在0的左側(cè)O.a0ab選990abc 叱990ab 1 ab0.0ab99 10 9903.整體換元解數(shù)學(xué)題時(shí)，如果某個(gè)式子反復(fù)出現(xiàn),我們就把這個(gè)式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)量去代替它,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,這叫換元法.元的實(shí)11 - 1化，將21 丄1 11 11035式子化繁為簡(jiǎn).、填空題1.計(jì)

10、算：423咚13164132.計(jì)算:550.8297.6 -52- 1.2553.計(jì)算：4.4445831372511136374耳=254.計(jì)算:=5.計(jì)算:567345567 345 2222 - 31 - 233 - 41 一 343 - 5154 - 61 一 566.計(jì)算：716 61 丄丄36451 丄15212816 io7計(jì)算：31 29 129 ,29292911 -18.計(jì)算：一23303131 ,3131311 31 11112328299.計(jì)算:1 12112321121 2 22333331999199919981999199821 =1999199919991999

11、1999 =二、運(yùn)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算1. 計(jì)算：6.8 0.32 4.2 8 2598981919252. 計(jì)算：（+ + ）989898 980980 980098003.1000減去它的一半，再減去余下的三分之一，再減去余下的四分之一，依此下去,直到余下的五百分之一，最后剩下 .4.計(jì)算:1 198 99 99 1005.計(jì)算:1 W礙+11丄6 1220561 16.計(jì)算T 41 1 131621241 12484968.計(jì)算:9.計(jì)算:1121311217.計(jì)算:3411511 4 611 54 55 612 233431 52 73|345川3-19941995 199519965199

12、61997199539891994 3991 -199619972468369 124 8 12 165 10 15丄20三、解答題11.盡可能化簡(jiǎn)116690151 42786388712.計(jì)算：1 1321332 3 1333239 13333 33249954999549999 99513.計(jì)算：1 1 2 1 2 31 2 3199914.已知：2 求：S的整數(shù)部分。+-4-+ 斗19001981198219911. 31.原式6.882525 °282586.8 4.2 125_8251052. 15 .19原式19 10101 190 10011900 1000119 9

13、8 10198 10101 980 1001 9800 1000198 19 10119 1998 9898 98 9819 193遁翌臾空4 15?98 19 1919194.5.1000減去它的一半,余下10001-2余下1000余下1000，再減去余下的5直到減去余下的五百分之一1000100099100原式,再減去余下的,最后剩下:150049950019819919911001516原式24.5110099100131131162丄62112411241248124814961311161313114962丄16151613131167.8.原式123.原式原式4030145024.

14、604050123.199519961996199739901996399219979.原式=23765353762376235310.6514411111111234234512643112513651262012601443323244411.分子數(shù)字之和等于30,故它可以被3整除,分母奇位上數(shù)字之和與偶位上數(shù) 字之和的差為32-21=11,所以它可以被11整除，把這此因數(shù)提出，得：38896717 3312.原式3 491281112221 2512345 556666910 189178162 223242282156314518334378921631307-5-3478953350412nn(n1),所以2222212 23 341999 2