第三章量綱分析和相似理論ppt課件

1、 第三章第三章 量綱分析和類似實際量綱分析和類似實際第一節(jié)第一節(jié) 量綱和單位量綱和單位第二節(jié)第二節(jié) 量綱分析量綱分析第三節(jié)第三節(jié) 類似實際類似實際第四節(jié)第四節(jié) 用方程式分析構(gòu)造類似用方程式分析構(gòu)造類似第五節(jié)第五節(jié) 用量綱分析法分析構(gòu)造類似用量綱分析法分析構(gòu)造類似第一節(jié) 單位和量綱 1.單位單位: 為了定量地描畫某個物理量，就需求用一定的規(guī)范去衡為了定量地描畫某個物理量，就需求用一定的規(guī)范去衡量和表示。假設(shè)所取的規(guī)范不同，那么測得的結(jié)果也就不同。量和表示。假設(shè)所取的規(guī)范不同，那么測得的結(jié)果也就不同。我們把所取的這個規(guī)范就稱為單位。我們把所取的這個規(guī)范就稱為單位。 單位有兩個含義：單位有兩個含義：

2、 一是表示被測物理量的類型，一是表示被測物理量的類型， 二是表示丈量的二是表示丈量的“尺度。尺度。 在實驗中，各種物理量丈量時需求選用適當(dāng)?shù)膯挝?。如在實驗中，各種物理量丈量時需求選用適當(dāng)?shù)膯挝?。如丈量物體的長度，可選用米、厘米、毫米等單位，丈量某段丈量物體的長度，可選用米、厘米、毫米等單位，丈量某段時間間隔可選用小時、分、秒等單位。雖然力學(xué)實驗存在各時間間隔可選用小時、分、秒等單位。雖然力學(xué)實驗存在各種各樣的物理量，但普通只需對其中三種根本物理量定出單種各樣的物理量，但普通只需對其中三種根本物理量定出單位，其他物理量的單位可以由根本物理量的單位導(dǎo)出。根本位，其他物理量的單位可以由根本物理量的單

3、位導(dǎo)出。根本物理量的單位稱為根本單位，其物理量的單位稱為導(dǎo)出單位。物理量的單位稱為根本單位，其物理量的單位稱為導(dǎo)出單位。 1960年第十一屆國際大會經(jīng)過了國際單位制年第十一屆國際大會經(jīng)過了國際單位制SI ，在，在國際制單位中，國際制單位分為三類：根本單位；導(dǎo)出國際制單位中，國際制單位分為三類：根本單位；導(dǎo)出單位；輔助單位。單位；輔助單位。 1)根本單位根本單位第十一屆國際計量大會第十一屆國際計量大會1954年和第十四屆計量大會，決議年和第十四屆計量大會，決議選取七個有嚴(yán)厲定義的單位作為國際單位制的根本單位。這七個單選取七個有嚴(yán)厲定義的單位作為國際單位制的根本單位。這七個單位是：米位是：米 (長

4、度長度)千克千克(質(zhì)量質(zhì)量)秒秒(時間時間)安培安培(電流強度電流強度)開爾文開爾文(熱力學(xué)溫度熱力學(xué)溫度)摩爾摩爾(物質(zhì)的量物質(zhì)的量)和坎德拉和坎德拉(發(fā)光強度發(fā)光強度)，它們在量綱上，它們在量綱上是彼此獨立的，這七個國際單位稱為根本單位。是彼此獨立的，這七個國際單位稱為根本單位。2)導(dǎo)出單位導(dǎo)出單位導(dǎo)出單位是借助乘和除的數(shù)字符號經(jīng)過代數(shù)式用根本單位的表導(dǎo)出單位是借助乘和除的數(shù)字符號經(jīng)過代數(shù)式用根本單位的表示。有些導(dǎo)出單位已具有專門稱號和特有的代號，這些專門稱號和示。有些導(dǎo)出單位已具有專門稱號和特有的代號，這些專門稱號和代號本身又可以用來表示其它導(dǎo)出單位，從而比用根本單位表示更代號本身又可以

5、用來表示其它導(dǎo)出單位，從而比用根本單位表示更簡單。簡單。 3)輔助單位輔助單位有些個別單位，國際計量大會尚未規(guī)定它們是屬于根本單位還有些個別單位，國際計量大會尚未規(guī)定它們是屬于根本單位還是導(dǎo)出單位，這些國際制單位被列為第三類，即所謂是導(dǎo)出單位，這些國際制單位被列為第三類，即所謂輔助單位輔助單位，而且可以隨意把它們當(dāng)作根本單位或?qū)С鰡挝弧＿@類單位目前只需而且可以隨意把它們當(dāng)作根本單位或?qū)С鰡挝?。這類單位目前只需兩個，即平面角的國際制弧度和立體角的國際制球面度。兩個，即平面角的國際制弧度和立體角的國際制球面度。 2.量綱： 是物理量的單位種類，又稱因次。如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以用米、

6、英寸、公尺等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱長度量綱，用L表示。根本量綱和導(dǎo)出量綱： 根本量綱是具有獨立性的量綱，在力學(xué)領(lǐng)域中有三個根本量綱：長度量綱L、時間量綱T、質(zhì)量量綱M 導(dǎo)出量綱由根本量綱組合表示，如：加速度的量綱 a=LT-2 力的量綱 F=ma=MLT-2任何物理量B的量綱可寫成 B=MLT。 無量綱量： 指該物理量的量綱為1，用L0M0T0表示，實踐是一個數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個物理量組合而成的綜合物理量。例如角度，可以用弧長和半徑的值來度量，其單位可用弧度表示。但由于與根本量綱無關(guān)，故角度是無量綱的。 物理量 量 綱 物理量 量 綱 物理量 量 綱

7、 長度 L 力 MLT-2 力矩 ML2T-2 時間 T 能、功 ML2T-2 慣性矩 ML 質(zhì)量 M 功率 ML2T-3 角速度 T-1 面積 L2 密度 ML-3 角加速度 T-2 體積 L3 頻率 T-1彈性系數(shù)ML-1T-2 速度 LT-1 壓強 ML-1T-2 加速度 LT-2 應(yīng)力 M-1T-2力學(xué)中常見物理量的量綱第二節(jié)第二節(jié) 量綱分析量綱分析 量綱調(diào)和性原理：量綱調(diào)和性原理又被稱為量綱一量綱調(diào)和性原理：量綱調(diào)和性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理。指一個物理景致性原理，也叫量綱齊次性原理。指一個物理景象或一個物理過程用一個物理方程表示時，方程象或一個物理過程用一個物

8、理方程表示時，方程中每項的量綱應(yīng)該是調(diào)和的、一致的、齊次的。中每項的量綱應(yīng)該是調(diào)和的、一致的、齊次的。物理方程量綱的均勻性：一個正確的物理方程，式物理方程量綱的均勻性：一個正確的物理方程，式中的每項的量綱應(yīng)該一樣，并應(yīng)采用同一度量單中的每項的量綱應(yīng)該一樣，并應(yīng)采用同一度量單位。位。物理方程量綱的齊次性：當(dāng)量度單位改動時，方程物理方程量綱的齊次性：當(dāng)量度單位改動時，方程的構(gòu)造方式不變的性質(zhì)。的構(gòu)造方式不變的性質(zhì)。 假設(shè)知有哪些物理量參與某一物理景象，即可借助量綱分析方法導(dǎo)出某一物理景象的根本方程式，建立它們之間的普通關(guān)系。 例如，知物體做勻速圓周運動與物體質(zhì)量M、圓半徑R，線速度V及向心力F諸物

9、理量有關(guān)，試求其關(guān)系。首先寫出量綱表達式： rqpRMFV 這幾個物理量的量綱是 1 LTV LR MM 2 MLTFprpqprqpTLMLMMLTLT221故有根據(jù)量綱齊次原那么，必需使 12, 1, 0prpqp21,21,21rqp解得 所以 212121RMFV從而 MFRV 此即勻速圓周運動線速度公式。 量綱的相互關(guān)系：量綱的相互關(guān)系：兩個物理量相等，不僅數(shù)值相等，且量綱也要一兩個物理量相等，不僅數(shù)值相等，且量綱也要一樣。樣。兩個同量綱參數(shù)的比值是無量綱參數(shù)，其值不隨兩個同量綱參數(shù)的比值是無量綱參數(shù)，其值不隨所取單位的大小而變。所取單位的大小而變。導(dǎo)出量綱可和根本量綱組成無量綱組合

10、，但根本導(dǎo)出量綱可和根本量綱組成無量綱組合，但根本量綱之間不能組成無量綱組合。量綱之間不能組成無量綱組合。一個完好的物理方程式中，各項的量綱必需一樣一個完好的物理方程式中，各項的量綱必需一樣, ,因此方程才干用加、減并用等號聯(lián)絡(luò)起來。因此方程才干用加、減并用等號聯(lián)絡(luò)起來。量綱調(diào)和量綱調(diào)和當(dāng)度量單位改動時，方程的構(gòu)造方式不變，即方當(dāng)度量單位改動時，方程的構(gòu)造方式不變，即方程可以轉(zhuǎn)換為無量綱綜合數(shù)群間的關(guān)系。程可以轉(zhuǎn)換為無量綱綜合數(shù)群間的關(guān)系。 量綱齊次量綱齊次力學(xué)分析力學(xué)分析實際計算實際計算實驗研討實驗研討原型實驗原型實驗?zāi)Ｐ蛯嶒災(zāi)Ｐ蛯嶒?模型實驗是將發(fā)生在原型中的力學(xué)過程模型實驗是將發(fā)生在原型

11、中的力學(xué)過程, ,在在物理類似條件下，經(jīng)減少物理類似條件下，經(jīng)減少( (或放大或放大) )后在模型上重后在模型上重演。對模型中的力學(xué)參數(shù)進展丈量、記錄、分析，演。對模型中的力學(xué)參數(shù)進展丈量、記錄、分析，并根據(jù)類似關(guān)系換算到原型中去，到達研討原型并根據(jù)類似關(guān)系換算到原型中去，到達研討原型力學(xué)過程的目的。力學(xué)過程的目的。第三節(jié)第三節(jié) 類似實際類似實際 物理景象類似物理景象類似 是指除了幾何類似之外，在進展物理過程的系是指除了幾何類似之外，在進展物理過程的系統(tǒng)中，在相應(yīng)的地點位置和對應(yīng)的時辰，模型統(tǒng)中，在相應(yīng)的地點位置和對應(yīng)的時辰，模型與原型的各相應(yīng)物理量之間的比例應(yīng)堅持常數(shù)。與原型的各相應(yīng)物理量之

12、間的比例應(yīng)堅持常數(shù)。在兩個系統(tǒng)中，一切向量在對應(yīng)點和在兩個系統(tǒng)中，一切向量在對應(yīng)點和對應(yīng)時辰方向一樣、大小成比例，一對應(yīng)時辰方向一樣、大小成比例，一切標(biāo)量也在對應(yīng)點和對應(yīng)時辰成比例切標(biāo)量也在對應(yīng)點和對應(yīng)時辰成比例模型實驗的優(yōu)點：模型實驗的優(yōu)點：經(jīng)濟性好模型尺寸小經(jīng)濟性好模型尺寸小針對性強突出主要要素，略去次要要素針對性強突出主要要素，略去次要要素數(shù)據(jù)準(zhǔn)確室內(nèi)實驗數(shù)據(jù)準(zhǔn)確室內(nèi)實驗?zāi)Ｐ蛯嶒灥倪\用：模型實驗的運用：替代大型構(gòu)造實驗或作為大型構(gòu)造實驗的輔助實驗。替代大型構(gòu)造實驗或作為大型構(gòu)造實驗的輔助實驗。作為構(gòu)造分析計算的輔助手段。作為構(gòu)造分析計算的輔助手段。驗證和開展構(gòu)造計算實際。驗證和開展構(gòu)造計

13、算實際。模型實驗的實際根底模型實驗的實際根底構(gòu)造類似實際構(gòu)造類似實際一、構(gòu)造類似定理一、構(gòu)造類似定理類似第一定理類似第一定理牛頓牛頓1786彼此類似的景象，單值條件一樣，其彼此類似的景象，單值條件一樣，其類似準(zhǔn)數(shù)一樣。類似準(zhǔn)數(shù)一樣。 單值條件：單值條件：幾何類似幾何類似物理參數(shù)類似物理參數(shù)類似邊境條件類似邊境條件類似初始條件類似初始條件類似以牛頓第二定律為例來闡明第一類似定理性質(zhì) 牛頓第二定律，即作用力F等于質(zhì)量m與加速度a的乘積，其方向與加速度方向一樣，即： maF 對于第一景象 amF對于第二景象amF 假設(shè)此兩景象各物理量之間存在以下關(guān)系： aCamCmFCFamF ，amFCCC，分別

14、為力、質(zhì)量和加速度的類似系數(shù) amCCFCamF 上式闡明，假設(shè)兩景象轉(zhuǎn)變時不破壞原有方程式，那么必需使 amFCCC令： amFiCCCC 假設(shè)此兩景象類似，必需使： 1amFiCCCC 上式闡明其中兩個類似系數(shù)恣意選定后，第三個類似系數(shù)必需由上式?jīng)Q議，因此上式是判別景象類似的條件，稱為“類似目的。上式也可以寫成另一種方式 maFK 可以看出，對一切類似景象，其類似判據(jù)是一樣的，它是一個不變量，因此，可以用類似判據(jù)，來確定兩個類似景象中的物理量之間的關(guān)系。K 稱為類似準(zhǔn)數(shù)。 類似第一定理，也可以用文字歸納為，對于彼此類似的景象，其類似目的為1，或其類似判據(jù)為一不變量，或者說類似系統(tǒng)的類似準(zhǔn)數(shù)

15、相等。 amFamF 上式表示彼此類似景象中的各物理量之間有一定關(guān)系 ，如去掉上標(biāo)可寫成普通方式，稱為類似判據(jù)：小結(jié)小結(jié): :類似常數(shù)類似常數(shù): :在兩類似景象中，兩個相應(yīng)的物理量在兩類似景象中，兩個相應(yīng)的物理量為常數(shù)。對于與此兩景象彼此類似的第三個景為常數(shù)。對于與此兩景象彼此類似的第三個景象中象中, ,可以具有不同的數(shù)值?？梢跃哂胁煌臄?shù)值。類似目的類似目的: :由彼此類似景象中各類似常數(shù)組成的由彼此類似景象中各類似常數(shù)組成的無量綱量無量綱量, ,彼此類似的景象都滿足類似目的等彼此類似的景象都滿足類似目的等于于1 1的條件。的條件。類似準(zhǔn)數(shù)類似準(zhǔn)數(shù): :在一切類似的景象中是一個不變量，在一切

16、類似的景象中是一個不變量，無量綱量無量綱量, ,一切類似的系統(tǒng)類似準(zhǔn)數(shù)應(yīng)相等。一切類似的系統(tǒng)類似準(zhǔn)數(shù)應(yīng)相等。確定類似準(zhǔn)數(shù)有兩種方法確定類似準(zhǔn)數(shù)有兩種方法: :方程分析法知描畫物理過程的方程。方程分析法知描畫物理過程的方程。量綱分析法知系統(tǒng)中相關(guān)的物理量而無法建立量綱分析法知系統(tǒng)中相關(guān)的物理量而無法建立方程。方程。2.類似第二定理類似第二定理 描畫物理景象的方程式必需是量綱的齊次方程，因此我們用與方程各項一樣量綱去除方程的各項，那么該方程式可變?yōu)闊o量綱綜合數(shù)群的方程方式。類似第二定理指出相互類似景象中，其類似判據(jù)可不用利用類似目的來導(dǎo)出，只需將方程轉(zhuǎn)變?yōu)闊o量綱方程方式，無量綱方程各項即為類似判據(jù)

17、。因表示景象各物理量之間的關(guān)系方程式，均可轉(zhuǎn)變?yōu)闊o量綱方程方式，因此都可以寫出類似判據(jù)方程式。 舉例如下：布金漢布金漢Buckingham定理定理 設(shè)有一等截面直桿，兩端受偏心拉力P，偏心距為l。知桿中最大拉應(yīng)力為 APWPl無量綱方程為 APWPl1顯然，模型實驗中各物理量也應(yīng)滿足上式，于是有 APWlP 1模型和實物的同類物理量應(yīng)滿足類似，即有 ACAWCWlClPCPAWlP , ,C , ,AWlpCCCCC、為類似系數(shù) c(b)(a)將式c代入(b)式得到 APCCCWPlCCCApwlpC1將上式與(a)相比較可知，假設(shè)要兩景象類似，必需使 1 1ApWlpCCCCCCC或者常數(shù)

18、WPlWlP常數(shù)PAP(d) 式(d)稱為類似判據(jù)，闡明彼此類似景象的判據(jù)為不變量。它就是類似實際第二定理，也稱為 定理，即一個景象中各物理量之間的關(guān)系方程式都可以轉(zhuǎn)換成無量綱方程，無量綱方程中的各項就是類似判據(jù)。因此描畫一景象各物理量之間的關(guān)系方程式，都可轉(zhuǎn)換成由類似判據(jù)組成的方程。 寫成普通方式得： APKWPlK21，3.類似第三定理 類似逆定理 類似第三定理指出，在物理方程一樣的情況下，如兩個景象的單值條件類似，亦即從單值條件下引出的類似判據(jù)假設(shè)與景象本身的類似判據(jù)一樣，那么這兩個景象一定類似。 類似第一、第二定理明確了類似景象的性質(zhì)，它們是在假定景象類似為知的根底上導(dǎo)出的，但是沒有給

19、出類似景象的充分條件。 單值條件，是指一個景象區(qū)別于一群景象的那些條件。屬于單值條件的要素有：系統(tǒng)的幾何特性、對所研討的對象有艱苦影響的介質(zhì)特性、時間、系統(tǒng)的初始條件和邊境條件等。 LMipiCxxtMpCtt下標(biāo)p表示實物，下標(biāo)M表示模型 2時間類似：對于構(gòu)造的動力問題，在隨時間變化的過程中，要求模型與原型在對應(yīng)時辰進展比較，要求相對應(yīng)的時間成比例。在隨時間變化的過程中，每一時辰都對應(yīng)著一批確定的物理量。由于其總是在一樣的時間根底上進展的，因此必需堅持不變的時間比例關(guān)系 1幾何類似：兩個系統(tǒng)的幾何類似是指它們的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等。幾何尺寸之比稱為幾何類似常數(shù)。 在幾何類似系統(tǒng)中，任何相

20、應(yīng)點i點的坐標(biāo)應(yīng)滿足 3物理參數(shù)的類似： 對于彈性構(gòu)造有影響的物理參數(shù)，有彈性模量E、泊松比密度等，在模擬時，應(yīng)滿足以下比例關(guān)系：CCCEEMpMpEMp， 4初始條件的類似： 物理景象一方面取決于該景象的本質(zhì)，另一方面也取決于它的初始條件，因此要求模型與原型在初始時辰的運動參數(shù)類似。包括初始幾何位置、質(zhì)點的位移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在對應(yīng)的位置和對應(yīng)的時辰堅持一定的比例，并且運動方向一致。5邊境條件的類似： 在兩個類似景象中，除了具有一樣的根本方程外，還要求模型與原型在與外界接觸的區(qū)域內(nèi)的各種條件支承條件、約束條件和邊境上的受力情況等堅持類似。例如周圍固支的

21、板與周圍簡支的板，其處置方法是不同的。 在物理方程一樣的條件下，單值條件決議所研討過程中各物理量的大小。這時，單值條件類似就成為類似的充分條件。 應(yīng)該指出我們在表達上面三個類似定理時，為了簡便起見，沒有采用微積分運算方程式，但此三個定理對微積分方程同樣適用，例如：對于微分符號 dx，我們可以看成 x2-x1，因此 dx 與 x 具有同樣的物理意義，在確定類似系數(shù)與類似判據(jù)時可不思索微積分符號。此外還有載荷、質(zhì)量類似等四、用方程式分析構(gòu)造類似四、用方程式分析構(gòu)造類似 對于物理量之間的關(guān)系方程式曾經(jīng)知道的問題，運用類似實際可以很容易求得模型與原型的相應(yīng)物理量之間的關(guān)系式。 現(xiàn)利用上述定律處理拉伸試

22、件類似律的問題。 拉伸試件的剩余伸長 Eblll00llllEb由實驗得知 00AlllEb00lA所以均勻伸長量部分伸長量或?qū)憺?001lA無量綱方程的各項就是類似判據(jù)，故類似判據(jù)為 常數(shù)常數(shù)00lACCC 、將類似系數(shù) 代入， 可得 001lCACCC 因此，用一樣資料的比例試件替代規(guī)范試件進展拉伸試件，并要求得到一樣的延伸率的話，那么必需滿足上式。 1 , 1CC對同種資料由于要求延伸率一樣，故 1C這樣，拉伸試件的類似判據(jù)拉伸試件類似率應(yīng)為 常數(shù)00lA規(guī)范圓試件標(biāo)距與直徑的比值為10或5，所以3 .11420000dlAl65. 500Al所以，比例試件應(yīng)滿足以上兩式。 在構(gòu)造計算中

23、，經(jīng)常會遇到微分方程式，利用邊境條件來求解時非常困難，而我們運用類似實際可以很容易建立判據(jù)方程，利用判據(jù)方程可得模型與原型之間諸物理量之間的關(guān)系，用模型測得結(jié)果換算成實踐需求數(shù)值，所以用方程式來分析構(gòu)造的類似條件，在這類問題中有實踐價值。 利用描畫景象的根本微分方程組和全部單值利用描畫景象的根本微分方程組和全部單值條件來導(dǎo)出類似準(zhǔn)數(shù)。詳細步驟：條件來導(dǎo)出類似準(zhǔn)數(shù)。詳細步驟：寫出景象的根本微分方程組和全部單值條件；寫出景象的根本微分方程組和全部單值條件；寫出類似常數(shù)的表達式；寫出類似常數(shù)的表達式；將類似常數(shù)表達式代入微分方程組進展類似轉(zhuǎn)換，將類似常數(shù)表達式代入微分方程組進展類似轉(zhuǎn)換，從而得到類似

24、準(zhǔn)數(shù)；從而得到類似準(zhǔn)數(shù)；用一樣的方法，從單值條件方程中得到類似準(zhǔn)數(shù)。用一樣的方法，從單值條件方程中得到類似準(zhǔn)數(shù)。當(dāng)單值條件化為數(shù)值而無方程時，從單值條件得當(dāng)單值條件化為數(shù)值而無方程時，從單值條件得不出類似準(zhǔn)數(shù)。不出類似準(zhǔn)數(shù)。例例1 1：單自在度系統(tǒng)有阻尼受迫振：單自在度系統(tǒng)有阻尼受迫振動類似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出。振動微分方動類似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出。振動微分方程如下：程如下： 22d ydymckypdtdt解：對于原型系統(tǒng)振動微分方程解：對于原型系統(tǒng)振動微分方程22pppppppppd ydymck ypdtdt22mmmmmmmmmd ydymck ypdtdt對于模型系統(tǒng)振動微分方程對于模型系統(tǒng)振動微分方程

25、設(shè)模型和原形各物理量的類似常數(shù)為設(shè)模型和原形各物理量的類似常數(shù)為模型系統(tǒng)各物理量為模型系統(tǒng)各物理量為將上式代入模型系統(tǒng)，得：將上式代入模型系統(tǒng)，得：pmppmtpmypmkpmcpmmppCttCyyCkkCccCmmC,ppmptmpympkmpcmpmmpCptCtyCykCkcCcmCm,ppppykpppycpppympCykCCdtdycCCCdtydmCCCtt222與原型系統(tǒng)相比較，得：與原型系統(tǒng)相比較，得：由上式得由上式得ppppykpppycpppympCykCCdtdycCCCdtydmCCCtt222pykycymCCCCCCCCCtt2pymykymycymCCCCCC

26、CCCCCCCCCtttt222myptKCCCCmktKCCCmctKCCCympmtktctm2322221, 1, 1, 1 假設(shè)要模型與原型類似，根據(jù)類似第一定理，類似目的等于1。PLa2()()(3)6ppppppppppppppppppMP LaMPLaWWP afLaE I那么類似系統(tǒng)的構(gòu)造類似常數(shù)為那么類似系統(tǒng)的構(gòu)造類似常數(shù)為例例2 2：一懸臂梁構(gòu)造，在梁端作用一集中荷：一懸臂梁構(gòu)造，在梁端作用一集中荷載載P P，截面高，截面高h h，寬，寬b,b,求類似準(zhǔn)數(shù)。求類似準(zhǔn)數(shù)。解：對于原型構(gòu)造，在恣意截面解：對于原型構(gòu)造，在恣意截面a處彎矩、正應(yīng)力和撓度為：處彎矩、正應(yīng)力和撓度為：

27、plplppppIICCWWCCbbhhaallCmImwmmmml43,將以上各式代入原型系統(tǒng)方程，將以上各式代入原型系統(tǒng)方程，pppppffCCMMCPPCEECmfmmMmpmE,mmmmmmPlEfmmmmmPmmmmlPMmaLIEaPCCCCfaLWPCCCaLPCCCMl3622將上式并與模型系統(tǒng)相比較，得類似準(zhǔn)數(shù)如下將上式并與模型系統(tǒng)相比較，得類似準(zhǔn)數(shù)如下由類似條件得到原型受力分布由類似條件得到原型受力分布1112PlEfPlPMCCCCCCCCCClPfELKPLKPLMK3221PlEmfmpPmmplPmMmpCCCfCffCCCCCMCMMl2323(2)24()2()

28、2q xyLLxxEIq xMLxq xLxW解：類似系統(tǒng)的對應(yīng)各物理量的類似常數(shù)為：解：類似系統(tǒng)的對應(yīng)各物理量的類似常數(shù)為：43,mmmmmyMqlpppppmmmmlEIlWlppppyMqxSSSSSyMqxLEIWSSSSSSLEIW例例3：受均布載荷：受均布載荷q作用的簡支梁在截面作用的簡支梁在截面x處處的撓度、彎矩和正應(yīng)力如下，求類似準(zhǔn)數(shù)。的撓度、彎矩和正應(yīng)力如下，求類似準(zhǔn)數(shù)。43,mypmMpmpmpmxpqmlpmEpmlpmlpyS yMS MSqS qxS xLS LES EIS IWS W模型系統(tǒng)各物理量為模型系統(tǒng)各物理量為原型系統(tǒng)方程原型系統(tǒng)方程323(2)24()2(

29、)2pppppppppppppppppppq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW模型系統(tǒng)方程模型系統(tǒng)方程323(2)24()2()2mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW將模型系統(tǒng)各物理量代入上式將模型系統(tǒng)各物理量代入上式43234223(2)24()2()2qlElqlqllppypppppppppMPPPppppppS S q xS yLL xxS S E IS S q xS MLxS S q xSLxSW1223EyqMq llq整理得整理得2111EyqMlqlqS SSSS SS SS3223(2)24()2()2Eqqlq

30、yMlpppppppppppPPPppppppS SSSS Sq xyLL xxE Iq xMLxq xS SSLxW那么類似條件那么類似條件為為 類似第二定理也稱為定理，其普通方式可表述為： 如有n個物理量參與某一物理景象，并且其中有k個物理量量綱是彼此獨立的，那么n 個物理量之間的關(guān)系方程式可簡化為(n-k) 個無量綱乘積之間的關(guān)系方程式。五、用量綱分析法分析構(gòu)造類似五、用量綱分析法分析構(gòu)造類似 定理定理 把表示物理過程的方程轉(zhuǎn)換成由類似準(zhǔn)數(shù)表示的方程。把表示物理過程的方程轉(zhuǎn)換成由類似準(zhǔn)數(shù)表示的方程。0),(21nxxxf12(,.,)0n k 五、用量綱分析法分析構(gòu)造類似五、用量綱分析法

31、分析構(gòu)造類似 定理定理 假定一物理景象中有n個物理量，那么其關(guān)系方程式可表示如下 0)(21nxxxf，此方程可用級數(shù)方式表示： 021kinbiaiixxxN式中N為無量綱數(shù)。由于方程式必需是量綱的齊次方程 ksnbsassxxxN21各項同除以恣意一項0112121KinBiAiikskinbsbiasaisixxxTxxxNN得假設(shè)上式中有m個相互獨立的物理量可作為根本單位， 設(shè)mxxx21，為根本單位，nmmxxx21，因此我們建立n-m個無量綱數(shù)群，稱為項： 為導(dǎo)出單位，mnmnmnnnmnnmnmxxxxxxxxxxxx2121222111222111以上諸式分子和分母的量綱一樣，

32、因此均為無量綱項，代入上式可得： 0)()()()()()(12122112121222111iimnmnmniiiiiiiKmnKnHHnGGnFmBAixxxxxxxxxxxxTmxxx21，上式又是無量綱方程，因此mxxx21，101111211xxKHGAmni由于為根本單位，彼此無合并能夠，的指數(shù)綜合為零所以上式可寫成 0),(0121121mnKmnHGifTiii或 由此 定理可表達如下：一切的量綱齊次方程均可化為無量綱綜合數(shù)群之和的方式，無量綱數(shù)群 項的數(shù)目為n-m個，其中n為方程中不同物理量的數(shù)目，m表示彼此獨立可作根本單位的物理量數(shù)目。 例例4 4：單自在度系統(tǒng)有阻尼受迫振

33、動導(dǎo)出類似準(zhǔn)數(shù)：單自在度系統(tǒng)有阻尼受迫振動導(dǎo)出類似準(zhǔn)數(shù) ( , , , , , )0f m y t c k p 解解1 1：設(shè)景象中各物理量的關(guān)系方程如下：設(shè)景象中各物理量的關(guān)系方程如下：1111cm y t取取m m，y y，t t為量綱獨立的物理量，有：為量綱獨立的物理量，有：2222kmy t3333pmy t各物理量的量綱：各物理量的量綱： Mm 2 MLTp 2 MTk 1 MTc Tt Ly 由無量綱量由無量綱量11、2 2 、3 3 得得比較可得比較可得 333222111221TLMMLTTLMMTTLMMT2, 1, 12, 0, 11, 0, 133322211122123

34、,ctktptmmmy所以所以由于由于數(shù)對于類似的物理景象具有不變的方式，故模數(shù)對于類似的物理景象具有不變的方式，故模型設(shè)計時需模型物理量與原型物理量滿足下式，即：型設(shè)計時需模型物理量與原型物理量滿足下式，即：2222,p pm mmpp pm mmpp pm mmmppc tc tmmk tk tmmp tp tm ym y將各物理量的類似常數(shù)代入上式，即得類似條件將各物理量的類似常數(shù)代入上式，即得類似條件11122ympmkmtcCCCCCCCCCCtt解解2 2：設(shè)景象中各物理量的關(guān)系方程如下：設(shè)景象中各物理量的關(guān)系方程如下：( , , , , , )0f m y t c k p 物理量

35、個數(shù)物理量個數(shù)n=6, 用絕對系統(tǒng)，根本量綱用絕對系統(tǒng)，根本量綱3個，個，那么那么函數(shù)為：函數(shù)為：123(,)0 一切物理量組成無量綱方式的一切物理量組成無量綱方式的數(shù)的普通方式為：數(shù)的普通方式為：356124aaaaaam c ky tp1211 , , , , mFL TcFL TkFLyLtTpF查表得物理量的量綱查表得物理量的量綱代入上式得代入上式得35612412111 aaaaaaFL TFL TFLLTF根據(jù)量綱調(diào)和要求，對量綱根據(jù)量綱調(diào)和要求，對量綱F、L、T有有123123412560200aaaaaaaaaaa假假設(shè)確定假假設(shè)確定a1,a4,a5,那么：那么：2153145

36、542aaaaaaaaa 故無量綱故無量綱數(shù)可寫為：數(shù)可寫為：15145514415422aaaaaaaaaaaamkkytkcpcm cky tp，可得三個獨立可得三個獨立數(shù)：數(shù)：1232,mkkytkcpc22123,1ctktptmmmy與方法 結(jié)果比較：451511445,0,00,00,0,111aaaaaaaaa分別取根據(jù)第一類似定理，故模型設(shè)計時需模型物理量與根據(jù)第一類似定理，故模型設(shè)計時需模型物理量與原型物理量滿足下式，即：原型物理量滿足下式，即：22,ppmmmpppmmmpp pm mmpm km kcck yk yppk tk tcc將各物理量的類似常數(shù)代入上式，即得類似

37、條件。將各物理量的類似常數(shù)代入上式，即得類似條件。1112ctkpymckmCCCCCCCCC例例5 5：對受集中載荷的簡支梁導(dǎo)出類似準(zhǔn)數(shù)：對受集中載荷的簡支梁導(dǎo)出類似準(zhǔn)數(shù) ( , , ,)0PlfMW解：受橫向荷載作用的梁的正截面應(yīng)力解：受橫向荷載作用的梁的正截面應(yīng)力是梁的跨徑是梁的跨徑l l，截面抗彎模量，截面抗彎模量W W，梁上作用荷載，梁上作用荷載P P和彎矩和彎矩M M的函數(shù)，的函數(shù)，這些物理量的之間關(guān)系可寫成普通方式：這些物理量的之間關(guān)系可寫成普通方式：物理量個數(shù)物理量個數(shù)n=5, 根本量綱根本量綱k=2個，那么個，那么函數(shù)為：函數(shù)為：123(,)0 一切物理量組成無量綱方式的一切物理量組成無量綱方式的數(shù)的普通方式為：數(shù)的普通方式為：abc deP M l W23 , , FLMFLWLlLpF查表得各物理量的量綱查表得各物理量的量綱那么量綱矩陣那么量綱矩陣 對量綱對量綱L、F有有2300acdeabc確定確定a、b、d，那么，那么1133cabeabd a b c d e P M l WL -2 0 1 1 3F 1 1 1 0 0 故無量綱故無量綱數(shù)可寫為：數(shù)可寫為：11331313abdababbdadWPP Ml WWlMMW 可