第二十二曲面積分ppt課件

1、1. 根本方法曲面積分第一類( 對(duì)面積 )第二類( 對(duì)坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 一致積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 一直非負(fù)第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面1) 二重積分是哪一類積分? 答答: 第一類曲面積分的特例第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面,),( ,0:Dyxz問(wèn)以下等式能否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不對(duì) ! 對(duì)坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān) Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2) 利用高斯公式留意公式運(yùn)用條件添加輔助面的技巧(輔助面普通取平行坐標(biāo)面的平面)

2、(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化zyxo,ddddddyxzxzyzyx其中 為半球面222yxRz的上側(cè).且取下側(cè) , 提示提示: 以半球底面以半球底面0原式 =3323R032.R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx記半球域?yàn)?,高斯公式有1.計(jì)算為輔助面, 利用證明證明: 設(shè)設(shè)(常向量)那么單位外法向向量, 試證Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos設(shè) 為簡(jiǎn)單閉曲面, a 為恣意固定向量, n 為的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,c

3、os,(cos0ayxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外側(cè)Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思索思索: 此題此題 改為橢球面改為橢球面1222222czbyax時(shí), 應(yīng)如何計(jì)算 ?提示提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球面取2222zyx內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式 .2121I9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù), 作曲面作曲面取下側(cè) 使其包在 內(nèi), 2為 xoy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,1與21ozyx取上側(cè),

4、 計(jì)算, )0( z那么21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式計(jì)算, 得其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對(duì)稱性用重心公式xzoyzyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222設(shè)L 是平面與柱面1 yx的交線從 z 軸正向看去, L 為逆時(shí)針?lè)较? 計(jì)算 解解: 記記 為平面為平面2zyx上 L 所圍部分的上側(cè), D為在 xoy 面上的投影.I3131312

5、zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLDDyxyxdd)6(2Dxyo11D 的幾何中心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD(1) 在任一固定時(shí)辰 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球外表積是象機(jī)能監(jiān)視其視野所及地球外表的每一處的景象并攝像, 假設(shè)地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球外表高度為H =0.25 R , 衛(wèi)星繞地球一周的時(shí)間為 T , 試求(2) 在yzxo解解: 如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系.,54cos8 . 0arccosR25. 1R3T的時(shí)間內(nèi) , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球外表積是多少 ?多少 ? yzxoR25

6、. 1R02201dsindRS)cos1 (22R252R(2) 在2S2025234RSR3T時(shí)間內(nèi)監(jiān)視的地球外表積為54cos其中S0 為盲區(qū)面積yzxoR25. 1R02201dsindRS)cos1 (22R252R(2) 在2S其中盲區(qū)面積200d2S202dsinR)sin1 (42R258R256R3T時(shí)間內(nèi)監(jiān)視的地球外表積為54cos2025234RSRyozxnRQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscos,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽c(diǎn)為中心,CoyxABL解法解法1 1 令令,22xyQyxP那么

7、xQ這闡明積分與途徑無(wú)關(guān), 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 為半徑的上半圓周.,BA它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思索思索:(2) 假設(shè) L 同例2 , 如何計(jì)算下述積分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 假設(shè)L 改為順時(shí)針?lè)较?如何計(jì)算下述積分:BALyxyxyxId)(d)(22那么添加輔助線段LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Ly

8、xyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0: t332aICoyxABLD sin)cos1 (:taytaxLDyaLxo計(jì)算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L為上半圓周, 0,)(222yayax提示提示: :LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd2BAyxDdd0ax20d0022dsin2tta0: t2a沿逆時(shí)針?lè)较?ABABL8.9. 設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力構(gòu)成力場(chǎng),其中k 為常數(shù), ,22yx 證明在此力場(chǎng)中場(chǎng)力所作的功與所取的途徑無(wú)關(guān).提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易證53yxkyP