解三角形中有關的取值范圍問答

1、解決與三角形相關的取值范圍問題例 1：在銳角 ABC中， A 2B ，則bc的取值范圍是例 2：若 ABC的三邊 a, b, c成等比數(shù)列， a,b,c所對的角依次為 A,B,C ， 則 sinB cosB 的取值范圍是例 3：在 ABC中，角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 acosC,bcosB,ccosA 成等差數(shù)列。（1）求 B 的大小。（2）若 b 5，求 ABC周長的取值范圍。例 4：在 ABC中， a 2 b2 c2 2ab，若 ABC的外接圓半徑為 322 ，則ABC的面積的最大值為例 5：（2008 ，江蘇）滿足 AB 2,AC 2BC 的 ABC的面積的最大值是例

2、 6：已知角 A,B,C 是 ABC三個內(nèi)角，m(1 cos(A B),cos A B)， n( 5 ,cos A B)82a,b,c 是各角的對邊，向量，且 m n 9，且 m n81）求 tanA tan B的值。2)求 2absi2nC 2 的最大值 abc通過以上例題，我們發(fā)現(xiàn)與三角形相關的取值范圍問題常常結(jié)合 正弦定理、余弦定理、面積公式、數(shù)列、三角函數(shù)、基本不等式、二 次函數(shù)、向量等知識綜合考查。 這一類問題有利于考查學生對知識的 綜合運用能力， 是高考命題的熱點。 理順這些基本知識以及技巧和方 法可以提高我們解題的能力。希望本文能對同學們復習備考有所幫 助。鞏固練習1在 ABC中

3、， a 2,c 1，則 C的取值范圍為2若鈍角三角形的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊 長的比值為 m，則 m的取值范圍是3在 Rt ABC中， C，且 A, B,C所對的邊 a, b, c滿足 a b xc，則實數(shù) x 的取值范圍為4在銳角 ABC中， A 2B，AC 1，則 BC的取值范圍是5在銳角 ABC中，三個內(nèi)角 A, B,C成等差數(shù)列，記 M cosAcosC ， 則M 的取值范圍是6已知銳角三角形的邊長分別為 1,3,a ，則 a的取值范圍是7 已 知 ABC 外接 圓的 半徑為 6 ，若面 積 SABC a2 （b c）2 且 sinB sinC 4 ，則sin A，

4、S ABC的最大值為38在 ABC中， m （sin A,cos C）, n （cos B,sin A），且 m n sinB sinC （1）求證： ABC 為直角三角形（2）若 ABC 外接圓的半徑為 1，求 ABC的周長的取值范圍9在 ABC中A, B,C所對的邊分別為 a,b,c，已知 2sin A 3cosA （1）若 a2 c2 b2 mbc ，求實數(shù) m的值2）若 a 3 ，求 ABC面積的最大值解決與三角形相關的取值范圍問題在銳角 ABC中， A 2B ，則bc的取值范圍是解析：由 0 A 2B且 0 C A B22c sinC sin3B sin2BcosB cos2B si

5、n B2B ，所以4cos2 B 1 ，4 b sinB sinB又cosB ( 2, 3)所以 c 4cos2 B 1 (1,2)2 2 b得6sinB點評：本題易錯在求 B 的范圍上，容易忽視“ABC是銳角三角形”這個條件。本題涉及三角形邊角之間的關系，考察邊角互化，化多A,B,C，元為一元，體現(xiàn)了解題的通性通法。例 2：若 ABC的三邊 a,b,c 成等比數(shù)列， a,b,c所對的角依次為則 sinB cosB 的取值范圍是解析：由題 設 知 b2 ac ， 又 余弦定理知222 acb cosB2ac22a c ac 2ac ac 1B 4 712所以2ac 2ac 2又 sinB co

6、sB 2 sin(B )且 442 sin(B ) (1, 2 即sinB cosB的取值范圍是 (1, 2點評：本題將數(shù)列、基本不等式、三角函數(shù)、解三角形等知識結(jié)合起來，有利于提高學生解題的綜合能力。例 3：在 ABC中，角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c，且 acosC,bcosB,ccosA 成等差數(shù)列。（1）求 B 的大小。2）若 b 5，求 ABC周長的取值范圍。解析 ：（1）由題意知 acosC ccosA 2b cosB ， 由正弦定理得 sin A cosC sin C cosA 2sin BcosB所以sin( A C) 2sin BcosB，于是 cosB 12,B

7、32)由正弦定理 a b c 10 ，所以sin A sin B sinC 3a b c 10 sin A 5 10 sinC 5 10 sin(2 A) 10 sin A 5 10sin( A )3 3 3 3 3 6又由0 A 2得 6 A 6 3 ，所以a b c 5 10sin( A ) (10,15。誘導公322，則點評：對三角函數(shù)式的處理常常借助于同角三角函數(shù)間關系、式以及恒等變換式等實施變形，達到化簡、求值域的目的。例 4：在 ABC中， a 2 b2 c2 2ab ，若 ABC的外接圓半徑為3ABC的面積的最大值為解析 ：又 a2 b2c2 32ab 及余弦定理得 cosCa2

8、 b2 c22ab，所以sinC 2 2 ，3又由于 c 2RsinC4，所以c22b2 2ab cosC 即 16 ab3b2 2ab32ab 4 2 ，故當且僅當 a1所以 ab 12，又由于 S 21absinC時， ABC 的面積取最大值 4 2點評 ：先利用余弦定理求 cosA的大小，再利用面積公式結(jié)合基本不等 式，求面積的最大值，要注意正弦定理與余弦定理的綜合應用。例 5：（2008 ，江蘇）滿足 AB 2,AC 2BC 的 ABC的面積的最大值解析 ：設 BC x，則 AC 2x，1 根據(jù)面積公式得 S ABCAB BC sin BABC 22 2 2 由余弦定理得 cosB A

9、B BC AC 2AB BCx 1 cos2 B 4 x2 ( 2x)2 4 x24x 4x代入式得 SABC x 1 (44xx )2128 (x 12)16由三角形三邊關系有 2x x 2且x 2 2x ，所以 2 2 2 x 2 2 2，故當 x 2 3 時，S ABC 取得最大值 2 2 。點評：本題結(jié)合函數(shù)的知識，以學生熟悉的三角形為載體，考察了面積公式、余弦定理等知識，是一道考察解三角形的好題。例 6：已知角 A,B,C 是 ABC三個內(nèi)角， a,b,c 是各角的對邊，向量m (1 cos(A B),cos A B)，n (5 ,cos A B)，且 m n 92 8 2 8），(

10、1)求 tanA tan B的值。(2)求 2absi2nC 2 的最大值。abcA B 5 A B 9 解析：由 m (1 cos(A B),cos)，n ( ,cos)，且 m n 得2 8 2 8 5 2 A B 91 cos(A B) cos2，所以 4cos( A B) 5cos( A8 2 8即 cos A cosB 9sin Asin B ，所以 tanA tanBB)，(2)由余弦定理得 2absi2n C 2 absinCa b c 2abcosC tanA tanB 99tan(A B) (tanA tanB)1 tan Atan B 88即 tan(A B) 有最小值 3

11、 ，又 tanC tan(A 4 所以 tanC 有最大值 34 (當且僅當 tanA191tanC ，而22 tan A tanBB)，tanB 13 時取等號）所以 2absi2nC 2 的最大值為 3a b c 8通過以上例題，我們發(fā)現(xiàn)與三角形相關的取值范圍問題常常結(jié)合 正弦定理、余弦定理、面積公式、數(shù)列、三角函數(shù)、基本不等式、二 次函數(shù)、向量等知識綜合考查。 這一類問題有利于考查學生對知識的 綜合運用能力， 是高考命題的熱點。 理順這些基本知識以及技巧和方 法可以提高我們解題的能力。希望本文能對同學們復習備考有所幫 助。鞏固練習1在 ABC中， a 2,c 1，則 C的取值范圍為2若鈍

12、角三角形的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊 長的比值為 m，則 m的取值范圍是 3在 Rt ABC中， C，且 A, B,C所對的邊 a, b, c滿足 a b xc，則實數(shù) x 的取值范圍為 4在銳角 ABC中， A 2B，AC 1，則 BC的取值范圍是 5在銳角 ABC中，三個內(nèi)角 A, B,C成等差數(shù)列，記 M cosAcosC ， 則M 的取值范圍是 6已知銳角三角形的邊長分別為 1,3,a ，則 a的取值范圍是 7 已 知 ABC 外接 圓的 半徑為 6 ，若面 積 SABC a2 (b c)2 且 sinB sinC 4 ，則sin A，S ABC的最大值為38在 ABC

13、中， m (sin A,cos C), n (cos B,sin A)，且 m n sinB sinC(1)求證： ABC 為直角三角形(2)若 ABC 外接圓的半徑為 1，求 ABC的周長的取值范圍1）若a2c2 b2 mbc ，求實數(shù) m 的值2）若 a 3 ，求 ABC面積的最大值。參考答案11sinC sin A2112,C (0,62(2, )3(1, 2同例BC AC sin AsinB5 易知 Bsin2BsinB1 知 6 B 4( 2, 3)，由正弦定理2cosB1cos2A23,A3sin2C32，AcosA由于M 1sin(2A )20A31 1 14 ( 2,42 則

14、M cos A cosC cosA cos(cosA 143sin2A43 A)121sin(2 A 6)2A 6 76，故由三角形三邊關系有A ，要保證 ABC為銳角銳角，且 46.設 1,3,a 所對 的 角 分別 為 A,B,C ，三角形，只需 cosB 0,cos C120 ，即 1a2 3212 32 a20且 1 3 a0 ，解得21a2132 2 a 107由 S ABC a2 (b c)2 ，得 a2 b2c2 bc(sinA 2)2 2)由余弦定理得 a2 b2 c22bc cos A ，故有 2sinA2cosA ，2易得 A 為1 3 a,1 a 3且3 a 1，故 2

15、a 4 ，易知 B2sin A2 sin A4cos 2 A ，即17sin 2 A 8sin A 0 ，故有sin A 187，4則b c 2R(sin B sinC) 12 163S ABC 1bcsinA sinA(b c)2 4 64 256 (當且僅當 b c 8時取等 ABC 2 2 2 17 17號）即S ABC的最大值為 215768(1)由 m (sin A,cos C), n(cos B,sin A)，且 m n sinB sinC得sin AcosB sin AcosC sinBsinC ，由正弦定理得 acosB acosC由余弦定理得 aa2 c2 b22ac222a

16、bcbc2ab整理得 (b c)(a222b2 c2) 0又由于 b c 0 ，故 a2 b2c2，即 ABC 是直角三角形或者：由 sin AcosB sin AcosC sinB sinC 得，sin AcosB sin AcosC sin(A C) sin(A B)化簡得 cos A(sin B sinC) 0，由于 sinB sinC 0，故 cosA 0， 即 ABC 是直角三角形)(2)設 ABC內(nèi)角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c由于 ABC外接圓的半徑為 1， A 2，所以 a 2Rsin A 2，所以 b c 2R(sin B cosB) 2(sin B cosB) 2 2 sin(B )43又 0 B ，故 B ，因而 2 2 sin(B ) (2,2 22 4 4