粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析 ppt課件

1、12/31/20211粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的粒子物理與核物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析楊振偉楊振偉清華大學(xué)清華大學(xué)第二講：根本概念續(xù)第二講：根本概念續(xù):12/31/20212隨機(jī)變量與概率密度函數(shù)隨機(jī)變量與概率密度函數(shù)假設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為假設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為 x (記作樣本空間中元素記作樣本空間中元素)的概率為的概率為( , )( )Pxx xdxf x dx觀測(cè)到到在在范范圍內(nèi)內(nèi)那么概率密度函數(shù)那么概率密度函數(shù) p.d.f. 定義為定義為 f (x)，它對(duì)全部樣本空間，它對(duì)全部樣本空間S 滿足滿足( )1Sf x dx 定義累積分布函數(shù)為定義累積分布函數(shù)為( )()xF xf x dx 對(duì)于離散型隨機(jī)變

2、量對(duì)于離散型隨機(jī)變量1(), 1, ( )()iniiiiixxfP xfF xP x)(xf)(xFxx: 分位數(shù)、中值與模分位數(shù)、中值與模12/31/20213分位點(diǎn)分位點(diǎn) x 定義為隨機(jī)變量定義為隨機(jī)變量 x 的值，它使得的值，它使得 ()F x 這里這里 0 1。因此可以容易求出分位點(diǎn)。因此可以容易求出分位點(diǎn)1( )xF 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 x 的中值定義為的中值定義為 11/2(1/2)xF 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 x 被觀測(cè)到大于或小于中值的概率是相等的。被觀測(cè)到大于或小于中值的概率是相等的。 模定義為使概率密度函數(shù)值到達(dá)極大的隨機(jī)變量值。模定義為使概率密度函數(shù)值到達(dá)極大的隨機(jī)變量值。 :

3、12/31/20214直方圖與概率密度函數(shù)直方圖與概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) p.d.f. 就是擁有無(wú)窮大樣本，區(qū)間寬度為零，就是擁有無(wú)窮大樣本，區(qū)間寬度為零，而且歸一化到單位面積的直方圖。而且歸一化到單位面積的直方圖。( )( )( )()N xf xn xN xnx 每每個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間的事的事例例數(shù)數(shù) 頻數(shù)數(shù)填入填入直直方方圖的的總事事例例數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間的的寬度度)(xN)(xN)(xN)(xfxxxx直方圖在統(tǒng)計(jì)分析中非常重直方圖在統(tǒng)計(jì)分析中非常重要，應(yīng)準(zhǔn)確了解它的含義。要，應(yīng)準(zhǔn)確了解它的含義。有限有限xnxn 0,:12/31/20215多變量情形多變量情形觀丈量大于一個(gè)，例如觀丈量

4、大于一個(gè)，例如 x 與與 y()( , )( , )p.d.f .( , )1P ABf x y dxdyf x yf x y dxdy 聯(lián)合合的的:12/31/20216邊緣分布邊緣分布將結(jié)合概率密度函數(shù)將結(jié)合概率密度函數(shù) p.d.f. 分別投影到分別投影到 x 與與 y 軸軸y)(yfyx)(xfxyx( )( , )y( )( , )( ),( )p.d.f .xyxyxfxf x y dyfyf x y dxfxfy 投投影到影到軸： ：投投影到影到邊緣的的軸： ：定定義： ：:假設(shè)假設(shè) x，y 相互獨(dú)立，那么可構(gòu)造相互獨(dú)立，那么可構(gòu)造2-維維p.d.f12/31/20217條件概率密

5、度函數(shù)條件概率密度函數(shù)利用條件概率的定義，可得到利用條件概率的定義，可得到dxxfdxdyyxfAPBAPABPx)(),()()()|(定義條件概率的密度函數(shù)定義條件概率的密度函數(shù) p.d.f. 為為)(),()|(,)(),()|(yfyxfyxg xfyxfxyhyx那么貝葉斯定理可寫(xiě)為那么貝葉斯定理可寫(xiě)為)()()|()|(yfxfxyhyxgyx)()(),(yfxfyxfyx h(y|x)yyxdxdx:12/31/20218名詞總匯名詞總匯隨機(jī)事例隨機(jī)事例概率概率條件概率條件概率相對(duì)頻率與客觀概率相對(duì)頻率與客觀概率貝葉斯定理貝葉斯定理隨機(jī)變量隨機(jī)變量概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)條件密

6、度函數(shù)條件密度函數(shù)直方圖直方圖:12/31/20219提示：概率都是條件概率提示：概率都是條件概率由柯尓莫哥洛夫公理，我們定義了概率由柯尓莫哥洛夫公理，我們定義了概率 P(A)。但在實(shí)踐運(yùn)用中，我們總是對(duì)但在實(shí)踐運(yùn)用中，我們總是對(duì) A 相對(duì)于許多樣本空間的概率相對(duì)于許多樣本空間的概率感興趣，而不僅僅只是一個(gè)空間。因此，通常以記號(hào)感興趣，而不僅僅只是一個(gè)空間。因此，通常以記號(hào)(| )P A S來(lái)表示所進(jìn)展的研討是在特定的樣本空間來(lái)表示所進(jìn)展的研討是在特定的樣本空間 S 中，也就是中，也就是 A 相相對(duì)于對(duì)于 S 的條件概率。的條件概率。因此，一切概率在實(shí)踐運(yùn)用中都是條件概率。因此，一切概率在實(shí)踐

7、運(yùn)用中都是條件概率。只需當(dāng)只需當(dāng) S 的選擇是明白無(wú)誤時(shí)，才干簡(jiǎn)單記為的選擇是明白無(wú)誤時(shí)，才干簡(jiǎn)單記為(| )P A S( )P A:12/31/202110證明舉例：事例與逆事例證明舉例：事例與逆事例假設(shè) A 是在 S 中的恣意一個(gè)事例，那么( ) 1( )P AP A證明：由于 A 與 根據(jù)定義是互斥的，并且從文恩圖得到AAAS因此可以寫(xiě)出( )( )()( )1P AP AP AAP S( ) 1( )P AP A:12/31/202111舉例：檢查給定概率的合理性舉例：檢查給定概率的合理性假設(shè)一個(gè)實(shí)驗(yàn)有三種能夠并且互斥的結(jié)果 A，B 和 C ，檢查以下各種情況給出的概率值能否是合理的：

8、1) ( )1/3, ( )1/3, ( )1/32) ( )0.64, ( )0.38, ( )0.023) ( )0.35, ( )0.52, ( )0.264) ( )0.57, ( )0.24, ( )0.19P AP BP CP AP BP CP AP BP CP AP BP C 結(jié)論：只需結(jié)論：只需1與與4是合理的。是合理的。評(píng)論：作為一個(gè)合格的實(shí)驗(yàn)研討人員，一定要具備判別評(píng)論：作為一個(gè)合格的實(shí)驗(yàn)研討人員，一定要具備判別 結(jié)果能否合理的才干！結(jié)果能否合理的才干！:12/31/202112舉例：檢查閱歷概率密度函數(shù)舉例：檢查閱歷概率密度函數(shù)221) ( ) 1,2,3,422) (

9、) 0,1,2,3,425xf xxxh xx對(duì)于對(duì)于實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常閱歷性地從直方圖中給出概率密度函數(shù)例如經(jīng)過(guò)擬合直方圖分布等等，但是需求確定得到的函數(shù)能否滿足概率密度函數(shù)的定義，例如試判別哪一個(gè)可以用作概率密度函數(shù)？答案：1有負(fù)概率值；2累積函數(shù)值大于1。因此，兩者在給定的隨機(jī)變量范圍內(nèi)都不能用作概率密度函數(shù)。:12/31/202113數(shù)據(jù)分析中的問(wèn)題數(shù)據(jù)分析中的問(wèn)題粒子與核物理實(shí)驗(yàn)中對(duì)動(dòng)量的丈量通常是分別丈量粒子與核物理實(shí)驗(yàn)中對(duì)動(dòng)量的丈量通常是分別丈量xypzp在知兩分量丈量值的概率密度函數(shù)情況下，總動(dòng)量為在知兩分量丈量值的概率密度函數(shù)情況下，總動(dòng)量為如何導(dǎo)出總動(dòng)量的丈量值的概率密度函數(shù)？如何

10、導(dǎo)出總動(dòng)量的丈量值的概率密度函數(shù)？22xyzppp(,)xyzf pp( )g p是研討隨機(jī)變量函數(shù)的是研討隨機(jī)變量函數(shù)的p.d.f問(wèn)題。問(wèn)題。:12/31/202114一維隨機(jī)變量的函數(shù)一維隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的函數(shù)本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)假設(shè) x 服從服從 p.d.f. f (x)，對(duì)于函數(shù)，對(duì)于函數(shù) a(x)，其，其p.d.f. g(a)為何？為何？()( )( )( )( )( ) ,( )()()( )( ( )dSx a dax adxx adadax ag a daf x dxdSaa adaxg a daf x dxf x dxdxg a

11、f x ada 在在內(nèi)內(nèi)的的 空空間間范范圍圍cos:與例如:12/31/202115函數(shù)的逆不獨(dú)一情況函數(shù)的逆不獨(dú)一情況假設(shè)假設(shè) a(x) 的逆不獨(dú)一，那么函數(shù)的的逆不獨(dú)一，那么函數(shù)的 p.d.f. 應(yīng)將應(yīng)將 dS 中對(duì)應(yīng)于中對(duì)應(yīng)于 da 的一切的一切 dx 的區(qū)間包括進(jìn)來(lái)的區(qū)間包括進(jìn)來(lái)2:, , 2( )( ),22()()( )22dSdaaxxadxag a daf x dxdadadSaaaaaafafag aaa 例例如如:12/31/202116多維隨機(jī)變量的函數(shù)多維隨機(jī)變量的函數(shù)思索隨機(jī)矢量思索隨機(jī)矢量 與函數(shù)與函數(shù) ，對(duì)應(yīng)的，對(duì)應(yīng)的 p.d.f.),.,(1nxxx )(xa

12、11()(,.,).( )( )nndSg a daf xx dxdxdSa xaa xadax 在在與與定定義義的的曲曲面面空空間間范范圍圍假設(shè)兩個(gè)獨(dú)立變量假設(shè)兩個(gè)獨(dú)立變量 x 與與 y，分別按，分別按 g(x) 與與 h(y)分布，分布，那么函數(shù)那么函數(shù) z = xy 應(yīng)具有何種方式？應(yīng)具有何種方式？( , )( ) ( )f x yg x h y ()/| |/| |( )( , )( ) ( )( )( )dSdSz dzxz xf z dzf x y dxdyg x h y dxdyg x dxh y dy :多維隨機(jī)變量的函數(shù)多維隨機(jī)變量的函數(shù)(續(xù)一續(xù)一)12/31/202117(

13、 )( ) ()() ( )|zdxzdyf zg x hgh yxxyyfgh記作記作 g 與與 h 的的Mellin卷積卷積假設(shè)函數(shù)為假設(shè)函數(shù)為 z = x+y ，那么應(yīng)具有何種方式？，那么應(yīng)具有何種方式？( )( ) ()() ( )f zg x h zx dxg zy h y dyfgh記作記作 g 與與 h 的傅立葉卷積的傅立葉卷積留意：通常將兩者皆稱為留意：通常將兩者皆稱為 g 與與 h 的卷積，已一樣記號(hào)表示。的卷積，已一樣記號(hào)表示。:12/31/202118多維隨機(jī)變量的函數(shù)多維隨機(jī)變量的函數(shù)(續(xù)二續(xù)二)思索具有結(jié)合的思索具有結(jié)合的 p.d.f. 的隨機(jī)矢量的隨機(jī)矢量 ，構(gòu)造，

14、構(gòu)造 個(gè)線性獨(dú)立的函數(shù)：個(gè)線性獨(dú)立的函數(shù)： ，而且其逆，而且其逆函數(shù)函數(shù) 存在。那么存在。那么 的結(jié)合的結(jié)合 p.d.f. 為為1(,.,)nxxx n1( )( ),.,( )na xaxax 1( ),.,( )nx ax aa ( )( )g aJ f x 這里這里 是雅可比行列式是雅可比行列式J1111222212nnnnxxxaaaxxxaaaJxa 恣意一個(gè)函數(shù)恣意一個(gè)函數(shù)均可經(jīng)過(guò)對(duì)函數(shù)均可經(jīng)過(guò)對(duì)函數(shù)積分掉其它不用的變積分掉其它不用的變量而得到。是數(shù)據(jù)處量而得到。是數(shù)據(jù)處置中誤差傳送的根底。置中誤差傳送的根底。()iig a( )g a :12/31/202119等待值等待值思索具

15、有思索具有 p.d.f. 的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量 ，定義等待，定義等待(平均平均)值為值為 )(xfxdxxfxxE)(留意留意: 它不是它不是 的函數(shù)，而是的函數(shù)，而是 的一個(gè)參數(shù)。的一個(gè)參數(shù)。x)(xf通常記為：通常記為：xE對(duì)離散型變量，有對(duì)離散型變量，有niiixPxxE1)(對(duì)具有對(duì)具有 p.d.f. 的函數(shù)的函數(shù) ，有，有)(xy)(ygdxxfxydyyygyE)()()(方差定義為方差定義為222)(xExExExV通常記為：通常記為：2xV規(guī)范偏向：規(guī)范偏向：2:12/31/202120協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)定義協(xié)方差定義協(xié)方差 (也可用矩陣表示也可用矩陣表示 )為為

16、 ,covyxxyVyxyxxyEyxEyx)(,cov相關(guān)系數(shù)定義為相關(guān)系數(shù)定義為 11 ,covxyyxxyyx假設(shè)假設(shè) x，y 獨(dú)立，即獨(dú)立，即 )()(),(yfxfyxfyx那么那么 0,covyx:12/31/202121舉例：樣本平均值舉例：樣本平均值假設(shè)實(shí)驗(yàn)上研討一核素衰變壽命，在探測(cè)效率為100%的情況下，每次探測(cè)到的壽命為 ti，一共丈量了 n 次，求平均壽命也就是壽命的等待值。根據(jù)離散型等待值的定義1 ( )niiiE tt P t問(wèn)題的關(guān)鍵是 ti 的概率密度函數(shù)是什么？根據(jù)概率的相對(duì)頻率定義，在 n 次丈量中出現(xiàn) ti 頻率為一次1( )iP tn因此，等待值或平均壽

17、命為1111 nniiiiE tttnn思索：假設(shè)頻率為 mi 次，結(jié)果會(huì)不同嗎？:12/31/202122誤差傳送誤差傳送),.,(1nxxx 假設(shè)假設(shè) 服從某一結(jié)合服從某一結(jié)合 p.d.f. ，我們也許并不，我們也許并不全部知道該函數(shù)方式全部知道該函數(shù)方式 ，但假設(shè)我們有協(xié)方差，但假設(shè)我們有協(xié)方差)(xf,covjiijxxV 和平均值和平均值 xE現(xiàn)思索一函數(shù)現(xiàn)思索一函數(shù) ，方差，方差 是什么？是什么？ )(xy22)(yEyEyV將將 在在 附近按泰勒展開(kāi)到第一級(jí)附近按泰勒展開(kāi)到第一級(jí))(xy)()()(1iixniixxyyxy然后，計(jì)算然后，計(jì)算 與與 yE2yE:12/31/20

18、2123誤差傳送誤差傳送(續(xù)一續(xù)一)由于由于0iixE所以利用泰勒展開(kāi)式可求所以利用泰勒展開(kāi)式可求)()(yxyEijxnjijinjjjxjniiixiiixniiVxyxyyxxyxxyExExyyyxyE1,211122)()()()(2)()(:12/31/202124誤差傳送誤差傳送(續(xù)二續(xù)二)兩項(xiàng)合起來(lái)給出兩項(xiàng)合起來(lái)給出 的方差的方差)(xy2,1 nyiji jijxyyV yVxx假設(shè)假設(shè) 之間是無(wú)關(guān)的，那么之間是無(wú)關(guān)的，那么 ，那么上式變?yōu)?，那么上式變?yōu)閕xijiijV22221 nyiiixyV yx類似地，對(duì)于類似地，對(duì)于 組函數(shù)組函數(shù)m)(),.,()(1xyxyxym

19、:12/31/202125誤差傳送誤差傳送(續(xù)三續(xù)三)ijxnjijliklkklVxyxyyyU1,cov或者記為矩陣方式或者記為矩陣方式xjiijTxyAAVAU ,)(xy留意：上式只對(duì)留意：上式只對(duì) 為線性時(shí)是準(zhǔn)確的，近似程度在函數(shù)非為線性時(shí)是準(zhǔn)確的，近似程度在函數(shù)非線性區(qū)變化比線性區(qū)變化比 要大時(shí)遭到很大的破壞。另外，上式并不需要大時(shí)遭到很大的破壞。另外，上式并不需要知道要知道 的的 p.d.f. 詳細(xì)方式，例如，它可以不是高斯的。詳細(xì)方式，例如，它可以不是高斯的。iix:12/31/202126誤差傳送的一些特殊情況誤差傳送的一些特殊情況,cov2212221221xxxxyy21

20、21222221212221,cov2xxxxxxyxxyy留意在相關(guān)的情況下，最終的誤差會(huì)有很大的改動(dòng)，例如當(dāng)留意在相關(guān)的情況下，最終的誤差會(huì)有很大的改動(dòng)，例如當(dāng)1 ,10 ,212121xxy0 , 0211 , 0 :14 . 1 , 211 , 0 :022212221yyyVyEyVyE這種特征有時(shí)候是有益的：將公共的或難以估計(jì)的誤差，這種特征有時(shí)候是有益的：將公共的或難以估計(jì)的誤差，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處置將它們消掉，到達(dá)減小誤差的目的。經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處置將它們消掉，到達(dá)減小誤差的目的。:12/31/202127坐標(biāo)變換下的誤差矩陣坐標(biāo)變換下的誤差矩陣實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常經(jīng)過(guò)丈量粒子在探測(cè)器中各點(diǎn)

21、的擊中坐標(biāo)實(shí)驗(yàn)上經(jīng)常經(jīng)過(guò)丈量粒子在探測(cè)器中各點(diǎn)的擊中坐標(biāo)x, y來(lái)擬合在極坐標(biāo)下的徑跡來(lái)擬合在極坐標(biāo)下的徑跡r, 。通常情況下，。通常情況下， x, y的的丈量是不關(guān)聯(lián)的。丈量是不關(guān)聯(lián)的。222tan/rxyy x ( , )( , )TU rAV x y A 由于由于因此，坐標(biāo)變換后的誤差矩陣為因此，坐標(biāo)變換后的誤差矩陣為2222222222222222222222()0cov( , )101cov( , )()()xyyxxryyxxyxyxyxyxyrrrrrryxyxrxyryxrrrrrr :12/31/202128大亞灣反響堆中微子實(shí)驗(yàn)大亞灣反響堆中微子實(shí)驗(yàn):12/31/20212

22、91r2r1S2S反響堆中微子反響堆中微子n反響堆能產(chǎn)生大量反電子型中微子3 GW 熱功率反響堆206 10個(gè)反電子中微子/秒n中微子幾乎無(wú)損穿透物質(zhì)假設(shè)產(chǎn)生的中微子以球面波傳播，那么在任一地方任一給定面元的中微子流強(qiáng)為24rSIIrenpe :12/31/202130大亞灣中微子振蕩大亞灣中微子振蕩n中微子振蕩中微子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中本人不斷改動(dòng)形狀n丈量中微子形狀隨運(yùn)動(dòng)間隔的改動(dòng)1214rSIIr2224rSIIrn中微子形狀隨運(yùn)動(dòng)間隔的改動(dòng)實(shí)際預(yù)言2132()4(,sin)4reeSII PrSI fmr 截面效率:12/31/202131如何保證如何保證1%精度？精度？n丈量中微子振蕩的影響

23、2112rIII方案 ：方案 ：那一種方案更易實(shí)現(xiàn)那一種方案更易實(shí)現(xiàn)1%精度的丈量？為什么？精度的丈量？為什么？132(,sin)4rSII fmr 截面效率:12/31/202132不同坐標(biāo)系下相關(guān)性的變化不同坐標(biāo)系下相關(guān)性的變化經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)，隨機(jī)變量的相關(guān)性會(huì)發(fā)生改動(dòng)。經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)，隨機(jī)變量的相關(guān)性會(huì)發(fā)生改動(dòng)。xyx y 顯然，經(jīng)過(guò)將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)顯然，經(jīng)過(guò)將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng) 450，上面的相關(guān)性在新坐標(biāo)系，上面的相關(guān)性在新坐標(biāo)系下消逝。下消逝。:隨機(jī)變量作正那么變換去除相關(guān)隨機(jī)變量作正那么變換去除相關(guān)性性12/31/202133對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為11,1,1cov,cov,cov

24、,ijijnnikkjllkknikjlklk lnTikklljk lUyyA xA xA AxxA V A ,1cov,klklnkliji jijxUyyyyVxx 非線性情況非線性情況1niijjjyA x 假設(shè)有假設(shè)有 n 個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量 x1,xn 以及協(xié)方差矩陣以及協(xié)方差矩陣Vij=covxi, xj，可以證明有能夠經(jīng)過(guò)線性變換重新定義可以證明有能夠經(jīng)過(guò)線性變換重新定義 n 個(gè)新的變量個(gè)新的變量 y1,yn 使得對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣使得對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣Uij=covyi, yj非對(duì)角元為零。令非對(duì)角元為零。令:12/31/202134變換后的變量協(xié)方差矩陣對(duì)角化變換后的變量協(xié)方差矩陣對(duì)角化為了使協(xié)方差矩陣為了使協(xié)方差矩陣 U 對(duì)角化對(duì)角化TUAVA iiiiikl li kVrrV rr或或由于協(xié)方差矩陣總是對(duì)稱的，因此可知本征矢量是正交的由于協(xié)方差矩陣總是對(duì)稱的，因此可知本征矢量是正交的1nijijk kijkrrr r 11 nniTjTikikijjijiijjkjjikjjArArA Ar rrr ，可先確定協(xié)方差矩陣可先確定協(xié)方差矩陣 V 的本征列矢量的本征列矢量 ，i=1,n。解方程。解方