高中數(shù)學必修四知識點Word版

1、一、角的概念的推廣任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。正角、負角、零角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)成的角叫做正角， 按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角叫做負角， 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)所成的叫做零角。 可見，正確理解正角、負角和零角的概、關(guān)鍵是看射線旋轉(zhuǎn)的方向是逆時針、順時針還是沒有轉(zhuǎn)動。象限角、軸線角 當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合時，那么角的終邊在第幾象限（終邊的端點除外），就說這個角是第幾象限角。 當角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合時，終邊落在坐標軸上的角叫做軸線角。終邊相同角 所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成

2、集合S=|=+k360°,kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和。二、弧度制角度定義制 規(guī)定周角的為一度的角，記做1°， 這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，角度制為60進制?；《戎贫x 1、長度等于半徑的弧度所對的圓心角叫做1弧度的角。用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制。1弧度記做1rad。 2、根據(jù)圓心角定理，對于任意一個圓心角，它所對的弧長與半徑的比與半徑的大小無關(guān)，而是一個僅與角有關(guān)的常數(shù)，故可以取為度量標準?；《葦?shù) 一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.如果半徑為r的圓的圓心角所對的弧的長為l

3、，那么，角的弧度數(shù)的絕對值是。 的正負由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，逆時針方向為正，順時針方向為負。三、任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)的定義 設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意點P的坐標是（x,y），它與原點的距離r（），那么 1、比值叫做的正弦，記做，即。 2、比值叫做的余弦，記做，即。 3、比值叫做的正切，記做，即。 另外，我們把比值叫做的余切，記做，即；把比值叫做的正割，記做，即；把比值叫做的余割，記做，即。 對于一個確定的角，上述的比值是唯一確定的，它們都可以看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們把它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。誘導公式一 終邊相同角的

4、同一個三角函數(shù)的值相等。 ， ， ，以上kZ。 利用此公式，可以把球求任意角的三角函數(shù)值化為求0到2角的三角函數(shù)值。xyoPM正弦線、余弦線、正切線 1、如圖所示，設(shè)任意角的終邊與單位圓交于點P（x,y），那么 ， 。 過點P（x,y）作PMx軸于M，我們把線段MP，OM都看做規(guī)定 了方向的有向線段：當MP的方向與y軸的正方向一致時，MP是正的；當MP的方向與y軸的負方向一致時，MP是負的。因此，有向線段MP的符號與點P縱坐標的符號總是一致的，且|MP|=|y|，即總有MP=y。同理也有OM=x成立。從而，。我們把單位圓中規(guī)定了方向的線段MP，OM分別叫做角的正弦線、余弦線。xyPMTAO 2

5、、如圖所示，過A（1,0）作x軸的垂線，交的終邊OP的延長線（當為第一、四象限角時）或這條終邊的反向延長線（當為第二、三象限角時）于點T，借助于有向線段OA，AT，我們有。于是，我們把規(guī)定了方向的線段AT叫做的正切線。 特別地，當?shù)慕K邊在x軸上時，點A與點T重合，；當?shù)慕K邊落在y軸上時，OP與垂線平行，正切線不存在。四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 根據(jù)三角函數(shù)的定義，可以推導出同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系。 由三角函數(shù)定義有，。 ，即。 當時，即同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切（其中）。關(guān)于公式的深化；如：；五、正弦、余弦的誘導公式0°360°

6、;之間角的劃分 對于任何一個0°到360°的角，以下四種情形有且僅有一種成立： 誘導公式二 ，。誘導公式三 ，。誘導公式四 ，。 以上幾個誘導公式可以敘述為 ：對于，則，的三角函數(shù)，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原三角函數(shù)值的符號。 也可以簡單地說成“函數(shù)名不變，符號看象限”。誘導公式五 ，。誘導公式六 ，。 可以概括為：的正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號。 也可以簡單地說成“函數(shù)名改變，符號看象限”。六、兩角和與差的正弦、余弦、正切兩角和的正弦、余弦、正切 ， ， 。兩角差的正弦、余弦、正切 ， ， 。

7、此處公式較多，可熟記兩角和的三個公式，兩角的差可以看做，進行推導。積化和差公式 ， ， ， 。和差化積公式 ， ， ， 。七、二倍角的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 ， ， 。公式的逆向變換及相關(guān)變形 ， ， ，。半角公式 ， ， 。八、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的畫法 1、幾何法 利用單位圓中的正弦線作出正弦函數(shù)圖像。 2、五點法 觀察正弦函數(shù)的圖像，可以看出，下面五個點在確定正弦函數(shù)的形狀時有重要作用： （0,0），（），（），（），（）。 這五點描出后，正弦函數(shù)y=sinx，x0,2圖像形狀就基本確定了。 同樣，（0，1），（），（），（），（）這五個

8、點描出后，余弦函數(shù)y=cosx，x0,2的圖像形狀就基本確定了。 用光滑曲線將五個點連接起來，再將這段曲線向左、向右平移，每次平移2個單位，就得到了y=sinx，y=cosx，xR的圖像。 3、正弦曲線、余弦曲線 我們把正弦函數(shù)y=sinx，xR和余弦函數(shù)y=cosx，xR的圖像分別叫做正弦曲線和余弦曲線。定義域、值域函數(shù)定義域值域y=sinx（-，+）-1，1y=cosx（-，+）-1，1周期性 1、一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)。那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。 2、對于一個周期函數(shù)

9、f(x)，如果在它的所有周期中存在一個最小的正整數(shù)，那么這個最小的正整數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。、 3、因為，對于任意整數(shù)k，2k都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，其中2是它們的最小正周期。 4、周期函數(shù)不見得總有最小正周期，如f(x)=c(xR),其中c為常數(shù)，其周期T可以是任意實數(shù)。周期函數(shù)的周期不唯一，若T是f(x)的周期，則kT(kZ)也在定義域內(nèi)，因此周期函數(shù)的定義域一定是無限集。奇偶性 1、奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義 對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，則稱f(x)為這一定義域

10、內(nèi)的偶函數(shù)。 2、由誘導公式可知，故y=sinx（xR）是奇函數(shù)，y=cosx（xR）是偶函數(shù)。 3、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。單調(diào)性 1、對于函數(shù)是它的增區(qū)間，是它的減區(qū)間。 2、對于函數(shù)是它的增區(qū)間，是它的減區(qū)間。九、函數(shù)的圖像A對y=Asinx的圖像的影響 要得到函數(shù)y=Asinx（A>0，A1）的圖像，可以看做把y=sinx的圖像上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當0<A<1時）到原來的A倍，而各點的橫坐標保持不變得到的。故y=Asinx（A>0，A1，xR）的值域是-A，A，最大值為A，最小值是-A。 特別地，推廣到一般

11、的情形，函數(shù)y=A·f(x)（A>0，A1）的圖像，也可以看做y=f(x)的圖像上各點保持橫坐標不變，而縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍得到的。容易發(fā)現(xiàn)，A不會改變函數(shù)的周期，即y=f(x)若為周期函數(shù)且周期是T，則y=A·f(x)（A>0，A1）的周期也是T。對y=sinx的圖像的影響 函數(shù)y=sin（>0，1）的圖像，可以看做把y=sinx的圖像上所有的橫坐標縮短（當>1時）或伸長（當0<<1時）到原來的倍，而各點的縱坐標保持不變得到的。 y=sin（>0，1，xR）的值域是-1，1，但其周期由y=sin的周期2改變?yōu)?，即y=sin（>

12、;0，1）得周期是2的倍。 推廣到一般的情形，將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點縱坐標保持不變，而橫坐標伸長（當0<<1時）或縮短（當>1時）為原來的倍，即可得到函數(shù)y=f(x)（>0，1）的圖像；若y=f(x)是周期函數(shù)且周期為T，則y=f(x)的周期為。對y=sin(x+)的圖像的影響 函數(shù)y=sin(x+)的圖像（其中0），可以看做把y=sinx的圖像上所有的點向左（當>0）或向右（當<0時）平移|個單位而得到的。由于圖像僅進行了左右平移變換，故函數(shù)的最值和周期都不會發(fā)生變化。 一般地，將函數(shù)y=f(x)的圖像沿x軸向左（當>0時）或向右（當<

13、0時）平移|個單位，即可以得到y(tǒng)=f(x+)的圖像。函數(shù)y=Asin(x+)的圖像 一般情況下，函數(shù)y= Asin(x+)的圖像可以用下面方法得到：先把y=sinx的圖像上所有的點都沿x軸向左（當>0時）或向右（當<0）時平移|個單位，再把所得各點的橫坐標縮短（>1）或伸長（0<<1）為原來的倍（縱坐標保持不變），最后將所有的縱坐標伸長（A>1）或縮短（0<A<1）到原來的A倍（橫坐標保持不變），即可得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖像。 一般我們都是按照先平移、后縮放的程序得到變換后的圖像，當然也可以先縮放、再平移，但要注意的是，應(yīng)先將解析式變形為y

14、=Asin(x+)的形式，即縮放后，左右平移的單位為|。 當y=Asin(x+)（A>0，>0），x0,+時，它可以表示一個振動，則A表示振動過程中離開平衡位置的最大距離，又叫振幅；往復(fù)振動一次所需的時間叫做振動的周期（T），T=；單位時間內(nèi)振動的次數(shù)為頻率f， ；叫做相位，x=0時，相位叫做初相。十、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)正切函數(shù)的圖像 1、根據(jù)，其中xR，且，推出正切函數(shù)的周期為。 2、根據(jù)，要使tanx有意義，必須使cosx0，即，故正切函數(shù)的定義域為。 3、根據(jù)正切函數(shù)的第定義域和周期，我們?nèi)〉膱D像，而后向左、右擴展，得的圖像，而后向左、右擴展，得且的圖像，如圖，并把他叫做正

15、切曲線。正切函數(shù)的性質(zhì) 1、定義域：。 2、值域：R，函數(shù)無最大值、最小值。 3、周期： 4、奇偶性：奇函數(shù) 5、單調(diào)性：在每一開區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)。必須注意兩個問題： 正切函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，但不能說函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)； 函數(shù)，其定義域由不等式得到，其周期為。 正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，但并不在整個定義域上為增函數(shù)，利用正切函數(shù)單調(diào)性比較兩個角正切值的大小時，要利用誘導公式把角化到同一單調(diào)區(qū)間再比較，或直接利用正切式。 正切函數(shù)的圖像既可以類似地由正切線的幾何方法作出，又可以類似于“五點法”用“三點兩線法”作簡圖，這里三個點為，直線，直線，其中。作出三個點和這兩條漸近線，便可得到在

16、一個周期上的簡圖。 正、余弦函數(shù)與正切函數(shù)同是中心對稱圖形（注意正、余弦函數(shù)同時也是軸對稱圖形）。函數(shù)的對稱中心的坐標是。十一、已知三角函數(shù)值求角反正弦函數(shù)的概念 1、定義： 在上，若，則x叫做a的反正弦，記做arcsina。 2、理解： “arcsina”是一個整體，它表示一個角（弧度制）； “arcsina”表示角的范圍是； 這個角的正弦值為a； 當|a|>1時，arcsina無意義。反余弦函數(shù)的概念 1、定義 在上，若，則x叫做a的反余弦，記做arccosa。 2、理解： “arccosa”是一個整體，它表示一個角（弧度制）； 這個角的范圍是； 這個角的余弦值為a； 當|a|>

17、;1時無意義。反正切函數(shù)的概念 1、定義： 在內(nèi)，若，則x叫做a的反正切，記做arctana。 2、理解： “arctana”是一個整體，它表示一個角（弧度制）； 這個角的范圍是； 這個角的正切值是a。第二章 平面向量一、平面向量的基本概念向量的定義 既有大小，又有方向的量叫做向量。 向量有兩個要素：即大小和方向。要注意將向量與僅有大小的數(shù)量進行區(qū)分。用有向線段表示向量 1、有向線段：將線段AB的端點規(guī)定一個順序，以A為起點（也稱始點），以B為終點，則線段AB就具有了方向，即由A只想，我們把具有方向的線段叫做有向線段，記做有向線段。2、規(guī)定線段AB的長度是有向線段的長度，記做。 3、有向線段的

18、三個要素：起點、方向、長度。 4、用有向線段表示向量要注意兩點： 有向線段的方向就是向量的方向； 有向線段的長度就是向量的大小。幾個重要定義 1、零向量：長度為零的向量叫做零向量。記做0，零向量的方向是任意的，它對應(yīng)的幾何圖形是一個點。 2、單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量。 3、相等向量：長度相等且方向相同的非零向量叫做相等向量，記做a=b；規(guī)定所有的零向量都相等。 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量，任一向量a都與它自身是平行向量；規(guī)定零向量與任一向量是平行向量。二、向量的加法與減法向量的加法 1、定義：設(shè)=a，=b，則向量叫做a與b的和，記做

19、a+b，即a+b=+=。 求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。 特別地，對于零向量與任一向量a，都有0+a=a+0=a。 2、向量加法的三角形法則 根據(jù)向量加法的定義求向量和的方法，叫向量加法的三角形法則。使用三角形法則特別要注意“首尾相接”，具體步驟是把用小寫字母表示的向量，用兩個大寫字母表示（其中后面向量的起點與前一個向量的終點重合，即用一個字母來表示），則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的有向線段就表示這些向量的和。 3、向量加法的平行四邊形法則 向量加法還可以用平行四邊形法則，先把兩個已知向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾得對角線就是這兩

20、個已知向量的和。向量的減法 1、相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量。記作-a，規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。 性質(zhì)-（-a）=a；a+（-a）=（-a）+a=0 2、兩個向量的差 向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a-b=a+(-b)。 3、向量的減法Oaba-b 求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。 法則：如圖所示，已知a,b，在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則=a-b。即a-b表示從減向量b的終點指向被減向量a的終點的向量。用三角形法則求兩個向量的差的步驟是：1、將兩向量平移，使它們的起點重合；2、將平移后的兩向量的終點相連；3、差向量是指向被減向量。也

21、就是：作平移，共起點，兩尾連，指被減。三、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積得定義 一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記為a，它的長度與方向規(guī)定如下： 1、|a|=|a|； 2、當>0時，a的方向與a的方向相同，當<0時，a的方向與a的方向相反，當=0時，a=0，這時a的方向是任意的。 對于a。 1、從代數(shù)角度來看，是實數(shù)，a是向量，它們的積任然是向量；a=0的條件是a=0或=0。 2、從幾何的角度來看，對于長度（模）而言，當|>1時，有|a|>|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向（>0）或反方向（<0）上伸長了|倍；當0<|<1時，有|a|

22、<|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向（0<<1）或反方向（-1<<0）上變?yōu)樵瓉淼?。并且我們看到向量之間的數(shù)乘關(guān)系有助于解決平面幾何中平行、相似問題。實數(shù)與向量的積得運算律 設(shè)，R，a，b是向量，則 (a)=( )a； (+)a=a+a； (a+b)=a+b。向量共線的充要條件 1、當向量a=0時，a與任一向量b共線； 2、當向量a0時，討論向量b與a的共線問題，有下面的定理： 定理：向量b與非零向量a共線的充要條件有且只有一個實數(shù)，使得b=a。 對這個定理，要分類去理解： 當=0時，b=a=0，這時b與a共線，其本質(zhì)是零向量與任一向量共線； 當>

23、0時，b=a可由a同向伸縮得到，因此，b與a共線。 當<0時，b=a可由a反向伸縮得到，所以，b與a也是共線的。值得注意的是：這個定理的內(nèi)容里面，不包含0與0共線的情況，因為a0；強調(diào)a0是必要的，否則定理就失去必要性。如b0，a=0時，b與a共線是成立的，但此時b=a是不成立的。平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a=1e1+2e2。 其中，e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 這個定理實質(zhì)是：只要向量e1不平行于e2，平面內(nèi)的任一向量a都可以用e1與e2表示出來，而且表示形式a=1e1

24、+2e2是唯一的。 例如，0=0e1+0e2，2e1=2e1+0e2， 對于a=1e1+2e2，有時我們也說1e1+2e2是e1與e2的線性組合，或者說a可以被e1，e2表示。四、平面向量的坐標運算平面向量的坐標表示在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=xi+yj，由于a與數(shù)對(x，y)是一一對應(yīng)的，因此把(x，y)叫做向量a的坐標，記作a=(x，y)，其中x，y分別叫作a在x軸、y叫做在y軸上的坐標。注：(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、

25、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)。兩個向量相等的充要條件 設(shè)向量a=xi+yj，b=xi+yj，則： a=xi+yj=（x，y）， b=xi+yj=（x，y）。 于是我們得到。即平面向量的坐標運算若，則。若，則若a=(x,y)，則a=(x, y)若，則若，則，若，則向量平行的坐標表示 設(shè)，則ba（a0）x1y2-x2y1=0。 由向量平行的充要條件易知共線的充要條件為（x2-x1）（y3-y1）-（x3-x1）（y2-y1）=0，而不是。 凡遇到與平行有關(guān)的問題時，一般要考慮運用向量平行的充要條件： bab=a（a0，R）。 ba（a0）x1y2-x2y1=0，其中。 由兩點間距離公式可

26、知： 若a=（x，y），則|a|=，與a共線的單位向量為五、線段的定比分點線段的定比分點 定義：設(shè)P1，P2是直線l上的兩點，點P是l上不同于P1，P2的任意一點，則存在一個實數(shù)，使，叫做點P分有向線段所成的比。當點P在線段上時，；當點P在線段或的延長線上時，<0 在這個定義中，要注意三個問題： 第一，不可寫成的形式，因為對向量從來沒有定義過除法。 第二，中的P1，P，P2是有順序的，順序從左至右排列是P1PP2，即始點分點終點。 第三，中的P1，P，P2三個點互不重合，因此，從而應(yīng)滿足0且-1。定比分點的坐標公式 上式稱為有向線段的定比分點坐標公式（使用公式時），要注意始點、終點的順序

27、性）。中點坐標公式 當=1時，分點P為線段的中點，即有， 上式稱為中點坐標公式。五、平面向量的數(shù)量積及運算律向量a與b的數(shù)量積 1、非零向量的數(shù)量積 已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積、點積），記為，即。 2、零向量與任一向量的數(shù)量積 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 由以上定義可知，兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)。數(shù)量積的幾何意義 1、b在a的方向上的投影，如圖，設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為。 B O（B1）aB對于的情況，過B作BB1直線OA于B1，則。 我們把叫做向量b在a的方向上的投影。 對于與的夾角是0°或180°的情況，規(guī)定b在a的