高中數(shù)學數(shù)學歸納法Word版

1、13.4 數(shù)學歸納法一、填空題1用數(shù)學歸納法證明1n(nN，且n1)，第一步要證的不等式是_解析n2時，左邊11，右邊2.答案122.用數(shù)學歸納法證明：；當推證當nk1等式也成立時，用上歸納假設后需要證明的等式是.解析 當nk1時，故只需證明即可.答案 3若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關系式是_解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)23若存在正整數(shù)m，使得f(n)(2n7)3n9(nN*)能被m整除，則m_.解析f(1)6，f(

2、2)18，f(3)18，猜想：m6.答案64用數(shù)學歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用歸納假設證nk1時的情況，只需展開的式子是_解析假設當nk時，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當nk1時，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設，只需將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可答案(k3)35用數(shù)學歸納法證明123n2，則當nk1時左端應在nk的基礎上加上_解析當nk時，左側123k2，當nk1時，左側123k2(k21)(k1)2，當nk1時，左端應在nk的基礎上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案(k21)(k22)(k

3、23)(k1)26用數(shù)學歸納法證明1，則當nk1時，左端應在nk的基礎上加上_解析當nk時，左側1當nk1時，左側1.答案7.設平面內有n條直線其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù),則f(4)= ;當n>4時,f(n)= (用n表示). 答案:5 2) 解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9, 每增加一條直線,交點增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù). f(4)-f(3)=3, f(5)-f(4)=4, f(n)-f(n-1)=n-1. 累加得 f(n)-f(3)=3+4+(n-1) . 2). 8用數(shù)學歸納法證明不等式1(nN*)成

4、立，其初始值至少應取_解析 右邊12，代入驗證可知n的最小值是8.答案89在數(shù)列an中，a1且Snn(2n1)an，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達式是_解析當n2時，a1a26a2，即a2a1；當n3時，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；當n4時，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.答案an10用數(shù)學歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nN*)，從“k到k1”左端需乘的代數(shù)式是_解析左端需乘的代數(shù)式是2(2k1)答案2(2k1)11如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有n(nN*)行，

5、在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是_111121133114641解析所有數(shù)字之和Sn202222n12n1，除掉1的和2n1(2n1)2n2n.答案2n2n12對于不等式n1(nN*)，某同學應用數(shù)學歸納法的證明過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設當nk(kN*)時，不等式成立，即k1，則當nk1時，(k1)1，當nk1時，不等式成立則上述證法中_（哪一步推理）不正確. 解析 此同學從nk 到nk1的推理中沒有應用歸納假設答案 從nk到nk1的推理1312223242(1)n1·n2，當n分別取1,2,3,4時的值依次為_，所以猜想原式_.解析當n1時，原式121(1)11

6、·當n2時，原式12223(1)21·當n3時，原式1222326(1)31·當n4時，原式1222324210(1)41·猜想原式(1)n1·.答案1，3,6，10(1)n1·二、解答題14已知數(shù)列an滿足an1apan(pR)，且a1(0,2)，試猜想p的最小值，使得an(0,2)對nN*恒成立，并給出證明證明當n1時，a2apa1a1(a1p)因為a1(0,2)，所以欲使a2(0,2)恒成立，則要恒成立，解得2p2，由此猜想p的最小值為2.因為p2，所以要證該猜想成立，只要證：當p2時，an(0,2)對nN*恒成立現(xiàn)用數(shù)學歸納法

7、證明：當n1時結論顯然成立；假設當nk時結論成立，即ak(0,2)，則當nk1時，ak1a2akak(2ak)，一方面，ak1ak(2ak)0成立，另一方面，ak1ak(2ak)(ak1)2112，所以ak1(0,2)，即當nk1時結論也成立由可知，猜想成立，即p的最小值為2.15在數(shù)列an中，對于任意nN*，an14a3an.(1)求證：若|an|1，則|an1|1；(2)若存在正整數(shù)m，使得am1，求證：|a1|1；a1cos(其中kZ)(參考公式：cos 34cos33cos )證明(1)因為|an|1，an14a3an.所以|an1|4a3an|an|(4|an|23)1.(2)假設|

8、a1|1，則|a2|4a3a1|a1|(4|a1|23)1.若|ak|1，則|ak1|4a3ak|ak|(4|ak|23)1.所以當|a1|1時，有|an|1(nN*)，這與已知am1矛盾，所以|a1|1.由可知，存在，使得a1cos ，則a24cos33cos cos 3.假設nk時，有ancos 3n1，即akcos 3k1，則ak14a3ak4(cos 3k1)33(cos 3k1)cos 3k.所以對任意nN*，ancos 3n1，則amcos 3m11,3m12k，其中kZ.即.所以a1cos(其中k為整數(shù))16在數(shù)列an中，a11，an1c.(1)設c，bn，求數(shù)列bn的通項公式；

9、(2)求使不等式anan13成立的c的取值范圍解析(1)an122，2，即bn14bn2.bn14，又a11，故b11，所以是首項為，公比為4的等比數(shù)列，bn×4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1，得c2.用數(shù)學歸納法證明：當c2時，anan1.當n1時，a2ca1，命題成立；設當nk時，akak1，則當nk1時，ak2ccak1.故由知當c2時，anan1.當c2時，因為can1an，所以acan10有解，所以an，令，當2c時，an3.當c時，3，且1an，于是an1(an)(an)(an1)(1)所以an1(1)，當nlog3時，an13，an13，與已知矛盾因此c

10、不符合要求所以c的取值范圍是.17已知在正項數(shù)列an中，對于一切的nN*均有aanan1成立(1)證明：數(shù)列an中的任意一項都小于1；(2)探究an與的大小，并證明你的結論證明(1)由aanan1，得an1ana.因為在數(shù)列an中，an0，所以an10.所以ana0.所以0an1.故數(shù)列an中的任意一項都小于1.(2)由(1)知0an1，那么a2a1a2，由此猜想：an(n2)，下面用數(shù)學歸納法證明：當n2時，顯然成立；當nk時(k2，kN)時，假設猜想正確，即ak，那么ak1aka22，故當nk1時，猜想也正確綜上所述，對于一切nN*，都有an.18. 設函數(shù)yf(x)，對任意實數(shù)x，y都有

11、f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的條件下，猜想f(n)(nN*)的表達式并用數(shù)學歸納法證明.【解題指南】(1)令x，y均為0可得f(0)；(2)利用遞推條件可得f(2)，f(3)，f(4)；(3)證明時要利用nk時的假設及已知條件進行等式轉化.【解析】(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)2×0×0，得f(0)0.(2)由f(1)1，得f(2)f(11)f(1)f(1)2×1×14.f(3)f(21)f(2)f(1)2×2×19.f(4)f(31)f(3)f(1)2×3×116.(3)由(2)可猜想f(n)n2，用數(shù)學歸納法證明：