新人教A版高中數(shù)學(xué)(選修4-5)《反證法與放縮法》ppt課件

1、反證法與放縮法反證法與放縮法三三 :, ,.,.我們可以這樣來證明我們可以這樣來證明那么那么如果如果對(duì)于性質(zhì)對(duì)于性質(zhì)例如例如事實(shí)直接推出事實(shí)直接推出本本小關(guān)系的基小關(guān)系的基有的可以由實(shí)數(shù)大有的可以由實(shí)數(shù)大條性質(zhì)中條性質(zhì)中現(xiàn)現(xiàn)可以發(fā)可以發(fā)質(zhì)質(zhì)性性本本過不等式的基過不等式的基究究研研前面我們?cè)?jīng)前面我們?cè)?jīng)cbcaba 36 .,cbcabacbcababa 所以所以于是于是得得由由00 那那如如果果但但對(duì)對(duì)于于性性質(zhì)質(zhì),06 ba :.,這時(shí)可以采用如下方法這時(shí)可以采用如下方法實(shí)直接推證出結(jié)論實(shí)直接推證出結(jié)論事事我們很難從條件和已有我們很難從條件和已有么么2 nNnbann.,nnnnnnbab

2、aba 或或那么必有那么必有不成立不成立假設(shè)假設(shè) .,.,;,成立成立于是于是矛盾矛盾這些都與這些都與有有那么由性質(zhì)那么由性質(zhì)如果如果那么那么如果如果nnnnnnbabababababa 05 .,)(,常用反證法證明常用反證法證明證明比較困難的命題常證明比較困難的命題常對(duì)于那些直接對(duì)于那些直接我們把它稱為我們把它稱為從而證明原命題成立從而證明原命題成立確確正正以說明假設(shè)不以說明假設(shè)不矛盾的結(jié)論矛盾的結(jié)論成立的事實(shí)等成立的事實(shí)等、明顯、明顯或已證明的定理、性質(zhì)或已證明的定理、性質(zhì)命題的條件命題的條件得到和得到和進(jìn)行正確的推理進(jìn)行正確的推理義、定理、性質(zhì)等義、定理、性質(zhì)等應(yīng)用公理、定應(yīng)用公理、定

3、結(jié)合已知條件結(jié)合已知條件以此為出發(fā)點(diǎn)以此為出發(fā)點(diǎn)成立成立即先假設(shè)要證的命題不即先假設(shè)要證的命題不像這樣的方法像這樣的方法absurditytoreduction，證法證法反反.,:,211201有一個(gè)小于有一個(gè)小于中至少中至少試證試證且且已知已知例例xyyxyxyx .,的線索不夠清晰的線索不夠清晰由條件推出結(jié)論由條件推出結(jié)論直接直接聯(lián)系不明顯聯(lián)系不明顯論與條件之間的論與條件之間的要證的結(jié)要證的結(jié)分析分析.,慮用反證法慮用反證法于是考于是考能的即可能的即可是不可是不可都不小于都不小于分式分式明兩個(gè)明兩個(gè)要證要證則只則只從反面證明從反面證明而而進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論等等個(gè)分式都小于個(gè)分式都小于

4、或兩或兩個(gè)分式小于個(gè)分式小于需要對(duì)某一需要對(duì)某一證明證明如果從正面如果從正面另外另外222.,2121211 xyyxxyyx且即都不小于假設(shè)證明.,xyyxyx21210 且所以因?yàn)?,yxyx 22得把這兩個(gè)不等式相加.矛盾這與已知條件從而22 yxyx.,原命題成立即是不可能的都不小于因此211xyyx .,:,0000002 cbaabccabcabcbacba證證求求數(shù)數(shù)為實(shí)為實(shí)已知已知例例.,是考慮采用反證法是考慮采用反證法于于夠清晰夠清晰不不索索論的線論的線直接由條件推出結(jié)直接由條件推出結(jié)顯顯條件之間的聯(lián)系不明條件之間的聯(lián)系不明要證的結(jié)論與要證的結(jié)論與分析分析.),(),(),(

5、.,與與這這種種情情形形類類似似例例如如其其他他兩兩個(gè)個(gè)如如例例只只要要討討論論其其中中一一個(gè)個(gè)我我們們改改變變命命題題的的條條件件的的位位置置不不意意交交換換任任注注意意到到條條件件的的特特點(diǎn)點(diǎn)但但不不是是正正數(shù)數(shù)的的情情形形這這時(shí)時(shí)需需要要逐逐個(gè)個(gè)討討論論不不全全是是正正數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)cbacbacbacba.,兩種情況討論和下面分不妨先設(shè)一個(gè)不是正數(shù)即其中至少有不全是正數(shù)假設(shè)證明000 aaacba .,不可能所以矛盾與則如果00001 aabcabca .,0002 bcabca可得那么由如果.00 acbcba所以又因?yàn)?.,相矛盾這和已知于是00 cabcabbccbacabcab.

6、,00 cb同理可證.,.,00 aa綜上所述也不可能因此.所以原命題成立這種方法稱為這種方法稱為我們把我們把從而達(dá)到證明的目的從而達(dá)到證明的目的簡(jiǎn)化不等式簡(jiǎn)化不等式或縮小或縮小些部分放大些部分放大通過把不等式中的某通過把不等式中的某等式時(shí)等式時(shí)證明不證明不.,.放縮法放縮法.,213 caddbdccacbbdbaaRdcba求求證證已已知知例例.,從從而而得得出出證證明明不不等等式式簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化使使可可以以通通過過適適當(dāng)當(dāng)放放縮縮分分析析此此式式的的形形式式特特點(diǎn)點(diǎn)的的目目的的不不易易達(dá)達(dá)到到證證明明算算非非常常復(fù)復(fù)雜雜直直接接通通分分相相加加則則會(huì)會(huì)使使運(yùn)運(yùn)若若把把分分析析caddbdcca

7、cbbdbaa 所以都是正數(shù)因?yàn)樽C明,dcbabaadbaadcbaa ,abbacbbdcbab ,dccbdccdcbac ,cddcadddcbad ,dcdcbabacaddbdccacbbdbaadcbadcba 得把以上四個(gè)不等式相加.21 caddbdccacbbdbaa即.,.,顯然太大了顯然太大了那么和放大為那么和放大為項(xiàng)分母依次縮為項(xiàng)分母依次縮為如果把和式的如果把和式的述過程中述過程中例如上例如上關(guān)鍵是放、縮適當(dāng)關(guān)鍵是放、縮適當(dāng)用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式44dcba.|,bbaabababa 1114求求證證是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)已已知知例例,|,|bbaababababa

8、 1111得到得到替代替代將不等式左邊用將不等式左邊用分析分析.,|,到到證證明明那那么么原原不不等等式式就就可可以以得得如如果果能能證證明明所所以以明明的的這這個(gè)個(gè)不不等等式式是是很很容容易易證證babababa 11|,|bababababa 11110所以因?yàn)樽C明|ba 111|baba 1|babbaa 11.|bbaa 11.|,babababa 11我們證明了我們證明了在上述過程中在上述過程中 .,|,為增函數(shù)是容易證的為增函數(shù)是容易證的而而式成立式成立得到得到就可以由就可以由函數(shù)函數(shù)為增為增只要證明函數(shù)只要證明函數(shù)函數(shù)的觀點(diǎn)看函數(shù)的觀點(diǎn)看那么從那么從如果令如果令xfbabaxfxxxxf 001 .,的的單單調(diào)調(diào)性性觀觀察察函函數(shù)數(shù) 01xxxxf.,.,擇擇合合適適的的方方法法選選作作具具體體分分析析應(yīng)應(yīng)該該對(duì)對(duì)具具體體問問題題的的特特點(diǎn)點(diǎn)法法的的統(tǒng)統(tǒng)一一方方題題沒沒有有一一種種適適用用于于所所有有問問一一樣樣證證明明