超市服務(wù)方案的隨機模型

1、超市服務(wù)方案的隨機模型數(shù)學系 01數(shù)本 2001141120 劉晨凡 指導老師：周天明摘要：為了提高超市服務(wù)效率，我們根據(jù)超市顧客到達及服務(wù)問題的基本規(guī)律，建立了超市服務(wù)系統(tǒng)的隨機模型，并由此得出最佳服務(wù)方案，并對所建立的模型進行仿真模擬，驗證了所得模型的合理性。本方案可以用于超市服務(wù)方案的確定。關(guān)鍵詞：隨機摸擬；隨機數(shù)字；隨機變量；仿真摸擬；Poisson分布；指數(shù)分布；隨機模型、引言 超級市場門口排列著若干收款臺，顧客攜帶著采購的商品在收款臺前排隊等候驗貨付款。若在顧客少時，就能只接付款離開；若在購物高峰期，顧客就得排隊等待。作為顧客，我們所關(guān)心的是何時能付款后離開，作為超市又不可能為每一

2、個顧客提供一個收款臺，這樣會花費大量的金錢，但是他會增開幾個收款臺使得排隊的人數(shù)恢復(fù)到原來的水平。那么要增開幾個這樣的收款臺才能即不多花錢又能使顧客不至于排隊等太久呢？這就是本文所要探討的。1、隨機模型1.1基本假設(shè)：隨機服務(wù)過程滿足三個性質(zhì):顧客到達平穩(wěn)性、獨立增量性和普通性.根據(jù)排隊付款問題我們就這三個性質(zhì)做如下假設(shè),并由此得到關(guān)于顧客到達時刻和服務(wù)時間的概率分布。顧客到達平穩(wěn)性：設(shè)在時間內(nèi)到達顧客數(shù)只與時間間隔有關(guān)而與時間起點無關(guān)，若以記為在時間區(qū)間內(nèi)到達個顧客的概率，則顯然有： 獨立增量性：在內(nèi)來到個顧客這一事件與時刻以前發(fā)生的事件獨立。普通性：在充分小的時間間隔中，最多來到一個顧客，

3、即，若記 應(yīng)有，即普通性表明，在同一時間來兩個或兩個以上顧客實際上幾乎是不可能的，因此在后續(xù)的推導及計算時予以忽略。1.2主要結(jié)論引理1 若是連續(xù)函數(shù)，且對一切有 （1）則 證明：由知對任意，因此非負。一直用（1）式，對任意正整數(shù)及實數(shù)有 （2）在上式中取得以考慮 （3）記，則 ，因此對于任意正整數(shù)及成立 （4）這樣，我們已證得（4）對一切有理數(shù)成立，再用利用無理數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的連續(xù)性可以證明對無理數(shù)也成立，從而證明了引理。引理2：用表示 內(nèi)到達的顧客數(shù)，則服從參數(shù)為的Poisson分布，即。證明：對，考慮中來到個顧客的概率是，由獨立性增量性及全概率公式得 （5）特別地，表示在長度為的時間間隔

4、中沒有來顧客的概率，因此它關(guān)于單調(diào)下降，由引理知。其中，若，則，這說明不管怎么短的時間間隔內(nèi)都要來顧客，這種情形不在我們考慮之列。此外，因是概率，故應(yīng)有，而當時， ，這表示不來顧客，也不是我們想要的，所以應(yīng)有，從而存在使，因此當時，我們有 ，由（5）得，因此 令得 由于已知，故有，可解得，這樣下去，可解得一切。， ，這正是參數(shù)為的分布。從而，在該區(qū)間內(nèi)有一位顧客到達的概率為=，由基本假設(shè)(3)知沒有顧客到達的概率是。引理3：若服從參數(shù)為的分布，若以T表示顧客到達的時間間隔，則T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。證明：,而當時，因為在等待時間內(nèi)沒有顧客來，所以有， 時， ， 所以即為服從參數(shù)為的指數(shù)分布函數(shù)

5、的分布函數(shù)。又因為每個都為時間間隔,那么都滿足為的指數(shù)分布.同理每一位顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。由上面的討論有以下結(jié)論： 顧客接受服務(wù)時間為，由指數(shù)分布的無后效性，則在該區(qū)間有一位顧客接受完服務(wù)離去的概率為 沒有顧客離去的概率為。 多于一個顧客到達或離去的概率為，可以忽略。1.3隨機模型：綜上，在時刻，系統(tǒng)中有個顧客的概率滿足是由于假設(shè)時間內(nèi)已有個顧客,那么就能解釋為時間內(nèi)有個顧客，內(nèi)沒一人來到也沒一人離開的概率；即為一人到來一人離開的概率；為時間內(nèi)已有個顧客，內(nèi)沒人到來，有一人離開的概率；為時間內(nèi)已有個顧客，內(nèi)有一人到達而沒人離開。由此可以得到超市服務(wù)的隨機模型： 2、關(guān)于服務(wù)方案

6、問題當顧客平均到達率上升引起服務(wù)強度增加致使平均隊長L太大,甚至由于>1使隊長趨向無限時,在平均服務(wù)率不變的情況下就只能增加服務(wù)員。下面討論有2個服務(wù)員且他們的平均服務(wù)率相等的情況。2個服務(wù)員的排隊服務(wù)有兩種形式分別如下兩圖所示： 圖1 ； 圖2由相關(guān)的文獻資料3，我們可以知道，2個服務(wù)員的兩種服務(wù)形式平均隊長，等待時間之比為 注意到,就人們最關(guān)心的等待時間而言有,而當較大時圖1的形式可以比圖2的形式節(jié)省較多的等待時間,由此可見,對于設(shè)置多個服務(wù)員的隨機過程,如果僅從等待時間角度考慮應(yīng)該讓顧客只排一個隊。3、系統(tǒng)仿真3.1隨機數(shù)字的產(chǎn)生 對隨機現(xiàn)象進行摸擬，就是對隨機變量取值的模擬，也就

7、是利用計算機產(chǎn)生一系列服從一定概率分布的數(shù)值。我們根據(jù)同余法遞推方法1，取，得到了本方案中所需的服從（0，1）上均勻分布的隨機數(shù)。 ， ；， ， ；， ， ；， ， ；， ， ；其余類推。3.2隨機變量的摸擬 對于給定分布的連續(xù)型隨機變量，可以利用在區(qū)間（0，1）上均勻分布的隨機數(shù)來摸擬，最常用的方法是反函數(shù)法。 由概率論的理論可以證明。若隨機變量Y有連續(xù)的分布函數(shù)，而X是區(qū)間（0，1）上均勻分布的隨機變量。令，則與有相同的分布，由此若已知的密度函數(shù)，由可得是區(qū)間 （0，1）上均勻分布的隨機變量，如果給定區(qū)間（0，1）上均勻分布的隨機數(shù)，則具有給定分布的隨機數(shù)可由方程中解出。 當我們需要摸擬服

8、從參數(shù)為的指數(shù)分布時，由，可得。因為和同為（0，1）區(qū)間上的均勻分布的隨機數(shù)，故上式可簡化為 。3.3服務(wù)方案的評價 我們就上述2個服務(wù)員的排隊系統(tǒng)進行摸擬仿真。在此之前，首先需要確定評定方案的標準。在這里我們將顧客在出口處逗留時間的長短作為標準，先設(shè)兩個單服務(wù)員系統(tǒng)中服務(wù)員的服務(wù)效率相同均為，那么雙服務(wù)員中服務(wù)效率為2。并假設(shè)每個顧客的服務(wù)時間在單服員系統(tǒng)中服從上的均勻分布，那么在雙服務(wù)員系統(tǒng)中由于服務(wù)效率提高了，假設(shè)在雙服務(wù)系統(tǒng)中每個顧客的服務(wù)時間服從上的均勻分布。以下按2.1和2.2的方法給出兩個系統(tǒng)的仿真摸擬：1.雙服務(wù)員系統(tǒng)：（參見附表1）雙服務(wù)員系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間為（等待時間

9、+服務(wù)時間）/總?cè)藬?shù)于是平均逗留時間為：（150+20）/30=5.67分2.單服務(wù)系統(tǒng)1：（參見附表2）單服務(wù)系統(tǒng)2：（參見附表3）同樣由將上述兩個表格的時間進行處理單服務(wù)員系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間為（等待時間+服務(wù)時間）/總?cè)藬?shù)于是平均逗留時間為：323/30=10.77分那么綜上對比的情況來看,明顯可以知道雙服務(wù)員的優(yōu)越性。結(jié)束語 本方案以超市服務(wù)系統(tǒng)為例，得出相應(yīng)的數(shù)學模型及結(jié)果，并加以仿真模擬驗證，為超市確定服務(wù)方案提供了理論依據(jù)。本方法可以推廣到類似服務(wù)系統(tǒng)，如醫(yī)院排隊掛號，客運售票之類的問題中，有廣泛的應(yīng)用前景。參考文獻：1劉來福，曾文藝數(shù)學模型與數(shù)學建模北京：北京師范大學出版社

10、，2002 2吳孟達，成禮智數(shù)學建模的理論與實踐。長沙：國防科技大學出版社，1998 3姜啟源數(shù)學模型。北京：高等教育出版社，1993 4復(fù)旦大學。概率論（第一冊 概率論基礎(chǔ)）高等教育出版社，19795高惠璇。統(tǒng)計計算。北京師范大學出版社，1995，北京Abstract For the sake of the exaltation supermarket service efficiency, we arrive according to the supermarket customer and basic regulation of the service problem, built up

11、 the random model of the supermarket service system, and get a the best service project from here, and carry on imitating the true emulation to the model build up, verifying the rationality of the income model.This project can used for the assurance of the supermarket service project.Keywords：Touch

12、draw up random；Random numeral；Change the quantity random；Imitate to really touch draw up；The Poisson distribute；Random model ；The index number distribute附表1雙服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號顧客到達時間間隔服務(wù)時間到達時刻服務(wù)時間等待時間離開時刻1565601127412411734516512446422422853525533368533503875638604486444404894548505310545340571

13、1355650611274634067133566507114567160771574784082164582508717668860941857937010019349644104208510450109214610861115227411540119236612160127245512850133256613162139266613960145275514451150283314634153296615261159304416140165附表2單服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號到達時間間隔服務(wù)時間到達時刻服務(wù)時間等待時間離開時刻15125120173118168125591025100357131138110499109489158118105610268131096692771512878818717101188110991988968310721121110811112023131212112013325101213112214527131114411115629811152114167附表3單服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號到達時間間隔服務(wù)時間到達時刻服務(wù)時間等待時間離開時刻2787801541081782276119289138812940925110984982591210859806714811671107816111078100