北師大版-三角形的證明(全章節(jié)復(fù)習(xí)題)

1、-WORDB式-可編輯-專業(yè)資料等腰三角形（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 . 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，掌握等腰三角形的軸對(duì)稱性；2 .掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，會(huì)利用這些性質(zhì) 進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理、證明、計(jì)算和作圖.3 .理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明 過(guò)程.通過(guò)定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng) 學(xué)生邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力4 .理解反證法并能用反證法推理證明簡(jiǎn)單幾何題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1 .等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角， 底邊與腰的夾角

2、叫做底角.如圖所示，在 ABC中，AB=AC, A ABC是等腰三角 形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，/ A是頂角，/ B、/ C是底角.2 .等腰三角形的作法已知線段a,b（如圖）.用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使 AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a ;2 .分別以B,C為圓心，以b 為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A；3 .連接 AB,AC. ABC為所求作的等腰 三角形3 .等腰三角形的對(duì)稱性（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形；（2） / B = / C ;（3）BD =CD , AD為底邊上的中線（4）/ADB =/ADC =90° , AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰

3、三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線（底邊上的高線或中線）所在的直線是它的對(duì)稱軸.4 .等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形 等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每 個(gè)角的平分線（底邊上的高線或中線）所在的直線就是它的對(duì) 稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）./A=180180 - A2(2)等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特 殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1 .等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1 :等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“在同一個(gè) 三角形中，等邊對(duì)等角”.推

4、論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60 :性質(zhì)2 :等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線 互相重合.簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一”.2 .等腰三角形中重要線段的性質(zhì)等腰三角形的兩底角的平分線(兩腰上的高、兩腰上的 中線)相等.要點(diǎn)詮釋：這條性質(zhì)，還可以推廣到一下結(jié)論：(1)等腰三角形底邊上的高上任一點(diǎn)到兩腰的 距離相等。(2)等腰三角形兩底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離 相等.(3)等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩 腰上的高的交點(diǎn)到兩腰的距離相等，到底邊兩 端上的距離相等.(4)等腰三角形頂點(diǎn)到兩腰上的高、中線、角 平分線的距離相等.要點(diǎn)三、等腰三角形的判定定理1 .等腰三角形

5、的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三 角形.可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成：在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊 .要點(diǎn)詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì) 定理混淆.判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.(2)不能說(shuō)“一個(gè)三角形兩底角相等，那么兩腰邊相 等”，因?yàn)檫€未判定它是一個(gè)等腰三角形.2 .等邊三角形的判定定理三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形 .有一個(gè)角是60 °的等腰三角形是等邊三角形.3.含有30 角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30° ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)四、反證法在

6、證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個(gè)假設(shè) 由發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)論證，最后推由與學(xué)過(guò)的概念、基本事 實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，從而證 明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法叫做反證法.要點(diǎn)詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法， 一般適用于直接證明有困難的命題.一般證明步驟如下：(1 )假定命題的結(jié)論不成立；(2)從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件由發(fā)， 經(jīng)過(guò)推理論證， 得由與學(xué)過(guò)的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè) 條件相矛盾的結(jié)果；(3)由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說(shuō)明命題 的結(jié)論是正確的.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)角度的計(jì)算題Q1、如圖，在 AB

7、C 中，D 在 BC 上，且 AB =AC = BD , / 1 = 30 ° ,求/ 2的度數(shù).舉一反三:【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，AC=BC = BD , AD = AE, DE = CE ,求/ B的度數(shù).-學(xué)習(xí)資料分享各邊.類型二、等腰三角形中的分類討論、在等腰三角形中，有一個(gè)角為40° ,求其余各角.、已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13, 一邊長(zhǎng)為3,求其余舉一反三:【變式】已知等腰三角形的底邊BC=8cm,且|AC BC|=2 cm,那么腰AC的長(zhǎng)為（）.A . 10 cm 或 6 cm B . 10 cm C . 6 cm D . 8 cm或6

8、 cm類型三、等腰三角形的性質(zhì)及其運(yùn)用4、如圖，在 ABC中，邊AB>AC.求證：/ ACB >/ ABC舉一反三：【變式】已知：如圖，在 ABC AB=AC , / A=60BD是中線，延長(zhǎng) BC至點(diǎn)E,使CE=CD .求證：DB=DE .相交于5、已知：如圖， ABC的兩條高 BE、CD 點(diǎn)。，且OB=OC ,求證： ABC是等腰三角形.A舉一反三【變式1如圖，A ABC 中，AB=AC , / BAD= 點(diǎn)D、E在BC上，試說(shuō)明 ADE是等腰三角形.類型三、含有30 角的直角三角形6.如圖所示， ABC 中，/ ACB=90垂足是 D, / A=60.求證：BD=3AD.舉一

9、反三：【變式】如圖，等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)P, AP=3 , BP=4 , CP=5 ,求/ APB的度數(shù).類型四、反證法60 o求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于舉一反三：【變式】下列選項(xiàng)中，可以用來(lái)證明命題“若a2>1 ,則a>1”是假命題的反例是（）A . a= -2B . a= 1 C .a=1 D.a=2【鞏固練習(xí)】 一.選擇題1 .已知一個(gè)等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為5,6,則它的周長(zhǎng)為()A. 16 B . 17C. 16 或 17D . 10或122 .用反證法證明命題：如果 ABCD, ABLEF,那么CDII EF ,證明的第一個(gè)步驟是()A.假設(shè) CD

10、 II EF ;B.假設(shè) AB II EFC.假設(shè)CD和EF不平行D.假設(shè)AB和EF不平行3 .將兩個(gè)全等的且有一個(gè)角為30 °的直角三角形拼成如圖所示形狀，兩條長(zhǎng)直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)0s4 .已知實(shí)數(shù)x, y滿足|x -4|+（y -8）2=0,則以x, y的值 為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A. 20 或 16 B. 20C. 16 D .以上答案均不對(duì)5 .如圖，D是AB邊上的中點(diǎn)，將Mbc沿過(guò)D的直線折疊， 使點(diǎn)A落在BC上F處，若4=50工則nb 度數(shù)是（）A. 60B. 70C. 80D.不確定

11、6.如圖，在 ABC 中，AB=AC , BD線，若/ ADB=93 ° ,則/ A=(A. 31B.46.5 C. 56是/ ABC的平分D . 62二.填空題7 .如圖， ABC 中，D 為 AC 邊上一點(diǎn)，AD = BD = BC , 若/A = 40° ,則/ CBD =B C8 .等腰三角形的頂角比其中一個(gè)底角大30° ,則頂角的度數(shù)為.9 .用反證法證明“如果同位角不相等，那么這兩條直線不平行”的第一步應(yīng)假設(shè).10 .等腰三角形的一個(gè)角是70 ° ,則它的頂角的度數(shù)是.11 .如圖，AD是 ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出A

12、BC等腰三角形的是 .（把所有正確答案的序號(hào)都填寫在橫線上）/ BAD=/ ACD;/ BAD=/ CAD; AB+BD=AC+CD; AB BD=AC - CD .12 .如圖， ABC 的周長(zhǎng)為 32 ,且 AB=AC , AD ± BC 于 D , ACD 的周長(zhǎng)為 24 ,那么 AD 的長(zhǎng) 為.13 .已知：如圖，A ABC中，AB=AC, D是AB上一點(diǎn), 延長(zhǎng)CA至E ,使AE = AD .試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.£14.如圖，A ABGK / ACB=90于點(diǎn)E . AD± CE于點(diǎn)D .求證： BEC白 CDA.,AC=BC ,

13、 BEX CE15.用反證法證明：等腰三角形的底角是銳角.角的平分線的性質(zhì)（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性 質(zhì).2 .掌握角平分線的判定及角平分線的畫法.3 .熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.要點(diǎn)詮釋：用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD 平分/ ADB，點(diǎn)P是CD 上一點(diǎn)，且 PEXAD 于點(diǎn)E, PFLBD于點(diǎn)F,則PE = PF.要點(diǎn)二、角的平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)詮釋：用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判

14、定：若 PEXAD 于點(diǎn) E, PFXBD 于點(diǎn) F , PE = PF,則 PD 平分/ ADB要點(diǎn)三、角的平分線的尺規(guī)作圖 角平分線的尺規(guī)作圖(1)以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交 OA于D,交 OB 于 E.(2)分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧， 兩弧在/ AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.(3)畫射線OC.射線OC即為所求.要點(diǎn)四、三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線 交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心 .三角形有三個(gè)旁心.所以 到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如

15、圖所示：ABC的內(nèi)心為P,旁心為P2,P3,P4,這四個(gè)點(diǎn)到 ABC三邊所 在直線距離相等.【典型例題】類型一、角的平分線的性質(zhì).如圖，/ ACB =90,BD平分/ ABC交AC于D ,DE LAB于E, ED的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F.求證：AE = CF.02、如圖，4ABC 中，/C = 90： AC = BC, AD 平 分/ CAB,交 BC 于 D, DE ±AB 于 E,且 AB = 6 cm,則ADEB的周長(zhǎng)為（）A. 4 cm B. 6 cm C.10 cm D .以上都不對(duì)舉一反三:【變式】已知：如圖,AD是4ABC的角平分線，且ab：ac=73：應(yīng)，則 ABD

16、 與4ACD 的面積之比為B . V3：T2D. .2:33、如圖，OC是/ AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD XOA交于點(diǎn)D , PE XOB交于點(diǎn)E , F是OC 上除點(diǎn)P、O外一點(diǎn)，連接DF、EF ,則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論.類型二、角的平分線的判定4、已知,如圖， CE ±AB,BD ± AC, / B =/ C , BF =CF.求證：AF為/ BAC的平分線.舉一反三:【變式】如圖，在 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE XAB , DF，AC,垂足分別是 E, F, BE=CF.求證：AD是4ABC的角平分線.A【鞏固練習(xí)】|一.選擇題1 . A

17、D 是4ABC的角平分線，自D點(diǎn)向AB、AC兩邊作垂 線，垂足為E、F,那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.DE = DFB. AE = AF C.BD= CDD. /ADE = /ADF2 .如圖，在 Rt MBC 中，Z C= 90, BD 是/ ABC的平分線，交 AC于D ,若CD = n , AB = m ,則AABD的面 積是（）A. 1mnB . -mnC . mn D . 2 mn32/ B C3 .如圖，OP平分NMON ,PA_LON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA =2,則PQ的最小值為（）A.1B.2C.3D. 4O在/ APB的平分線上的B. MOD 白 COB

18、D.點(diǎn)O到/ APB兩邊的4 .到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（）A.三角形三條高線的交點(diǎn)B.三角形三條中線的交點(diǎn)C.三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)5 .如圖，下列條件中不能確定點(diǎn)是（）A. PBAA PDCC. AB ±PD , DC ±PB距離相等.6.已知，如圖，AB II CD , / BAC、/ ACD的平分線交于點(diǎn)O, OE XAC于E,且OE =5 cm,則直線AB與CDA. 5 cmB.10 cmC.15 cm的距離為（）D. 20 cm二.填空題7 .如圖，已知 / C = 90 ° , AD 平分/ BAC , BD =2

19、CD ,若點(diǎn)D到AB的距離等于 5 cm,則BC的長(zhǎng)為8 .如圖，在4ABC 中，Z C = 90, DE XAB , /1=/2,且AC =6 cm,那么線段 BE是4ABC 的, AE + DE =。9 .已知：如圖，在A ABC中，BD、CE分別平分/ ABC、/ ACB，且BD、CE交于點(diǎn)O ,過(guò)O作OP，BC于P,OM XAB 于 M , ON ±AC 于 N,則 OP、OM、ON 的大小關(guān)系為.占Dp C10 .如圖，直線11、12、13表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，可供選擇的地址有 處.11 .已知：如圖，在 RtAABC 中

20、，/ C = 90,沿著過(guò)點(diǎn)B的一條直線BE折疊A ABC ,使C點(diǎn)恰好落在AB邊的 中點(diǎn)D處，則/ A的度數(shù)等于.c12 .已知如圖點(diǎn)D是 ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)， 下列說(shuō) 法(1) AD = CD(2)D 至U AB、BC的距離相等(3) D至UABC的三邊的距離相等(4)點(diǎn)D在/ B的平分線上其中正確的說(shuō)法的序號(hào)是 .三.解答題13 .已知，如圖，/ C = / D = 90 ° ,E是CD上一點(diǎn),AE、BE 分另I平分/ DAB、/ ABC.求證：E是CD的中點(diǎn).14 .如圖，在A ABC 中，/ C = 90 ° , BD 平分/ ABC , DE LAB于E

21、,若 BCD與 BCA的面積比為 3 : 8,求4ADE 與4BCA 的面積之比.15 .已知：如圖，A ABC的外角/ CBD和/ BCE的平分線BF、CF交于點(diǎn)F.求證：一點(diǎn) F必在/ DAE的平分線上.線段的垂直平分線-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用 尺規(guī)作已知線段的垂直平分線.2 .會(huì)證明三角形的三條中垂線必交于一點(diǎn).掌握三角形的外心性質(zhì)定理.3 .已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形.4 .能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單 的幾何問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段的垂直平分線1 .定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于

22、這條線段的直線，叫做這條 線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線.2 .線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：(1)分別以點(diǎn)A, B為圓心，以大于：AB的長(zhǎng)為半徑 作弧，兩弧相交于 C, D兩點(diǎn)；(2)作直線CD, CD即為所求直線.要點(diǎn)詮釋：(1)作弧時(shí)的半徑必須大于 ：AB的長(zhǎng)，否則就不能得到 兩弧的交點(diǎn)了.(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.要點(diǎn)二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)， 是證明兩條線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給由了引輔助線的方法，“線段垂直平分

23、線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫由到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就由 現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)詮釋：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等的所有點(diǎn)的集合.要點(diǎn)四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心一一外心要點(diǎn)詮釋：1 .三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)（三線共點(diǎn)），該 點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2 .銳角三

24、角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三 角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重 合.3 .外心到三頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫生“已知，求作，作法和畫圖”，畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫生作法，但是必須保留痕跡.證明過(guò)程一般不用寫生來(lái).最后要點(diǎn)題即“ xxx即為所求”.【典型例題】類型一、線段的垂直平分線定理1、如圖， ABC AC>BC,邊AB的垂直平分線與AC交于點(diǎn) D,已知 AC=5 , BC=4 ,則 BCD的周長(zhǎng)是（）A. 9B.8 C.7 D.6BC舉一反三:【變式1】如圖，在 AB5, AB=

25、AC , / A=36, AB的垂直平分線 DE交AC于D ,交AB于E ,下述 結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. BD 平分/ ABCB. BCD的周長(zhǎng)等于 AB+BCC. AD=BD=BCAC的中點(diǎn)【變式21如圖所示，在ABC, DE是AC的中垂線，AE=3cm , A ABD 的周長(zhǎng)為 13cm ,則4 ABC 的周長(zhǎng)是類型二、線段的垂直平分線的逆定理2、如圖，已知 AB=AC, / ABD=/ ACD,求證： AD 是 線段BC的垂直平分線.舉一反三：【變式】如圖，P是/ MON 的平分線上的一點(diǎn), PAX OM,PB± ON,垂足分別為 A、B .求證：PO垂直平分 AB .類型三、線

26、段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用3、已知:如圖，AB=AC , DB=DC , E是AD上一點(diǎn).求 證：BE=CE .ADD為BC邊上的中點(diǎn),延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:4、如圖所示，在 RtABC 中，/ACB=90° , AC=BC ,CE ±AD 于點(diǎn) E , BF / AC 交 CE 的AB垂直平分DF .舉一反三：【變式】如圖，運(yùn)N ABC 中，AB=AC , / A=120 ° , AB的垂直平分線 MN 分別交 BC、AB于點(diǎn) M、N.求證:CM=2BM.類型四、尺規(guī)作圖歌5、如圖，A, B, C是新建的三個(gè)居民小區(qū)，我們已經(jīng) 在到三個(gè)小區(qū)距離相等的地方

27、修建了一所學(xué)校，你能確定學(xué) 校的位置嗎？線段的垂直平分線一一鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一.選擇題1 .如圖，在 Rt A ABC中，/ B=90, ED 是AC的垂直-WORDB式-可編輯-專業(yè)資料平分線，交AC于點(diǎn)D J則/c的度數(shù)為（：A. 30D . 60Ks Ec2.如圖， ABC, DE點(diǎn)D ,交AB于點(diǎn)E ,已知 ACD的周長(zhǎng)為12cm< BC 于點(diǎn) E.已知/ BAE=10 ° ,）B. 40C. 50是AB的垂直平分線，交 BC于AE=1cm ,則 ABC的周長(zhǎng)是（）A. 13cmB . 14cmD . 16cm3 .如圖，在 ABC中，/ A=105 MN

28、交 BE 于點(diǎn) C,且 AB+BC=BE( )A. 45B. 60D . 554 .如圖，已知宜角三角形 ABC 中，/C. 15cm,AE的垂直平分線 ，則/ B的度數(shù)是C. 50ACB=90 , E 為AB上一點(diǎn)，且 不一定成立的是A . AE=BEC. / CEB=2/ AAa/A EBCE=EB , ED± CB于D ,則下列結(jié)論中( )B . CE= - AB2D. AC= 1AB2-學(xué)習(xí)資料分享-WORDB式-可編輯-專業(yè)資料-學(xué)習(xí)資料分享等于()AA、 80B、 70C、60D、5(6.如圖所示，BE ±AC 若/ ABC = 54 ，貝!A. 25B. 27

29、AEA7 BC二.填空題7 . A ABC 中，若 AB AB于D點(diǎn)，且 , AC.8 .如圖，A AB中，AE P點(diǎn).(1)若/ a= 35 ° , (2)若 AB =5 cm ,0于點(diǎn) D ,且 AD = CD , BD = ED , IZ E=().C. 30D. 45-AC = 2cm , BC的垂直平分線交A ACD的周長(zhǎng)為 14cm，則 AB =3 =AC , AB的垂直平分線交 AC于貝U/ BPC =;BC = 3 cm ,則 A PBC的周長(zhǎng)=5.如圖，等腰AB葉，AB=AC , / A=20 .線段 AB的垂直平分線交 AB于D,交AC于E,連接BE ,則/ CB

30、E9.如圖，在 ABC中，BC邊上的垂直平分線 DE交邊BC 于點(diǎn)D ,交邊AB于點(diǎn)E .若 EDC的周長(zhǎng)為24 , ABC 與四邊形AEDC的周長(zhǎng)之差為12 ,則線段DE的長(zhǎng) 為.10.如圖，在 AB中，/ C= 90 ° , / A= 30 CD = 2cm , AB的垂直平分線 MN交AC于D ,連結(jié) BD , 則AC的長(zhǎng)是 cm .11.如圖，在ABC中，/ C= 90 , AB的垂直平分線MN 分別交 AC , AB 于點(diǎn) D , E .若/ CBD :/ DBA=12.如圖，在 AB>, AC = 16cm , AB的垂直平分線交AC 于 D,如果 BC =10 c

31、m , 那么 BCD的周長(zhǎng)是 cm .三.解答題：13 .已知 ABC 中，AD是/ BAC的平分線，AD的垂直 平分線交BC的延長(zhǎng)線于F.求證：/ BAF= /ACF .14 .如圖，在四邊形 ABCD 中，AD / BC , E為CD的中 點(diǎn)，連接 AE、BE , BE ±AE ,延長(zhǎng) AE交BC的延長(zhǎng) FC=AD ; (2) AB=BC+AD15 .為了推進(jìn)農(nóng)村新型合作醫(yī)療制度改革，準(zhǔn)備在某鎮(zhèn)新建一個(gè)醫(yī)療點(diǎn)P,使P到該鎮(zhèn)所屬A村、B村、C村的村 委會(huì)所在地的距離都相等（A、B、C不在同一直線上，地理位置如下圖），請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法確定點(diǎn)P的位置.要求：寫生已知、求作；不寫作法

32、，保留作圖痕 跡.三角形的證明全章復(fù)習(xí)與鞏固 （提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .經(jīng)歷回顧與思考的過(guò)程，深刻理解和掌握定理的探索和證 明.2 .結(jié)合具體實(shí)例感悟證明的思路和方法，能運(yùn)用綜合、分析 的方法解決有關(guān)問(wèn)題.3 .能正確運(yùn)用尺規(guī)作圖的基本方法作已知線段的垂直平分線 和角的平分線，以及繪制特殊三角形.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】作公理（三角形全等判定3個(gè)公理，全等三角形性質(zhì)公理），推論1.等腰三角形等腰三角形性質(zhì)定理，三貓合一:判定定理反證法等辿三角形含有30。的直角三角形的性用勾股定理三角形的證明"直角三角形勾股定理的逆定理定理馬逆定理的關(guān)系I直角三角形的全等判定（HL）/線段的垂直平分線定理及逆定理

33、?續(xù)段的垂直平分線J三角形的三邊垂直平分線定理基本作圖及作等膻三角形角平分線的定理及逆定理 4角平分線1角平分線的作法三角形內(nèi)角平分線定理【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1 .三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等.判定:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2 .等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等 邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊 上的高互相重合（即“三線合一”）3 .等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都 等于60 ° ;

34、等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性 質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有 3條對(duì)稱軸.判定定理：有一個(gè)角是 60 °的等腰三角形是等邊三角 形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.4 .含30 °的直角三角形的邊的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30° ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋：等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì) 算也很常見，因此對(duì)于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于 心，不如邊長(zhǎng)為 a的等邊三角形他的高是會(huì),面積是 a2；含有30的直角三角形揭示了三角形中邊與角的關(guān)4系，打破了以往那種只有角或邊的關(guān)系，同時(shí)也為我們學(xué) 習(xí)三角函數(shù)

35、奠定了基礎(chǔ).要點(diǎn)二、直角三角形1 .勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方， 那么這個(gè)三角形是直角三角形 .2 .命題與逆命題命題包括題設(shè)和結(jié)論兩部分；逆命題是將原命題的題設(shè) 和結(jié)論交換位置得到的；正確的逆命題就是逆定理3 .直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL ）要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理在語(yǔ)言敘述的時(shí)候一定要注意，不 能說(shuō)成“兩條邊的平方和等于斜邊的平方”，應(yīng)該說(shuō)成“三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方”直角三角形的全等判定方法，還有4 SS,SAS,ASA,AAS, 一

36、共有5種判定方法.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線1 .線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的 垂直平分線上.2 .三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到 三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.3 .如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn) A、B為圓心，以大于；AB的長(zhǎng) 為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) M、N;作直線MN ,則直線MN 就是線段AB的垂直平分線.要點(diǎn)詮釋：注意區(qū)分線段的垂直平分線性質(zhì)定理和判定定理，注意二者的應(yīng)用范圍；利用線段的垂直平分線定理可解決兩條線段的和距 離最

37、短問(wèn)題.要點(diǎn)四、角平分線1 .角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)， 在這個(gè)角的平分線上.2 .三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn) 到三條邊的距離相等.3 .如何用尺規(guī)作圖法作由角平分線 要點(diǎn)詮釋：注意區(qū)分角平分線性質(zhì)定理和判定定理，注意二者的應(yīng)用范圍；幾何語(yǔ)言的表述，這也是證明線段相等的一種重要的 方法.遇到角平分線時(shí)，要構(gòu)造全等三角形 .【典型例題】類型一、能證明它們么1.如圖， ACD和4BCE都是等腰直角三角形，/ACD= / BCE=90 , AE 交 CD

38、于點(diǎn) F, BD 分別交 CE、 AE于點(diǎn)G、H .試猜測(cè)線段 AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系， 并說(shuō)明理由.舉一反三:【變式】將兩個(gè)全等的直角三角形 ABC和DBE按圖1方 式擺放，其中/ ACB= /DEB= 90 , / A=/ D=30 ，點(diǎn) E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F .(1)求證：AF+EF=DE ;(2)若將圖1中的 DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 民、 且0° VaV 60° ,其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫由變換后 的圖形，并直接寫由你在(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立；(3)若將圖1中的 DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 B , 且60°

39、; V0V 180° ,其它條件不變，如圖3.你認(rèn)為(1) 中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫生證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫由AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.類型二、直角三角形2.下列說(shuō)法正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)是（兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直 角三角形全等.C 3 D 4.如圖：AB=AD , /ABC= / ADC=90 , EF 過(guò)點(diǎn) C,8£，£5于£, 口5，£5于5, BE=DF .求證：Rt A BC

40、E iRt ADCF .D類型三、線段垂直平分線.如圖，在銳角 ABC 中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，AD、CE相交于F, BF的中點(diǎn)為P, AC的中點(diǎn) 為Q ,連接PQ、DE .(1)求證：直線 PQ是線段DE的垂直平分線；(2)如果 ABC是鈍角三角形，/ BAC > 90結(jié)論是否成立？請(qǐng)按鈍角三角形改寫原題，畫由相應(yīng)的圖 形，并給予必要的說(shuō)明.【變式】在4ABC中，AB=AC , AB的垂直平分線交 AB于N,交BC的延長(zhǎng)線于 M , / A=40度.(1 )求/ M的度數(shù)；(2)若將/ A的度數(shù)改為80° ,其余條件不變，再求/ M的大??；(3)你發(fā)現(xiàn)了怎樣的

41、規(guī)律？試證明；(4)將(1)中的/ A改為鈍角，(3)中的規(guī)律仍成立嗎？類型四、角平分線.如圖， ABC 中，/ A=60, /ACB的平分線 CD和/ABC的平分線 BE交于點(diǎn)G.求證：GE=GD .E舉一反三：【變式】如圖：在4ABC中，/C=90° AD是/ BAC的平 分線，口£，人8于£, F在AC上，BD=DF ;證明：CF=EB .(2) AB=AF+2EB .三角形的證明全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1 .有一塊邊長(zhǎng)為24米的正方形綠地，如圖所示，在綠地旁 邊B處有健身器材，由于居住在A處的居民踐踏了綠地， 小明想在A處樹立一個(gè)標(biāo)牌“

42、少走米，踏之何忍”請(qǐng)你計(jì)算后幫小明在標(biāo)牌的“”填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字是A.3米 B.4米 C.5米2.設(shè)M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊 三角形，Q表示等腰直角三角形，則下列四個(gè)圖中，能表示它們之間關(guān)系的是（3 .如圖，EA ±AB , BC ±AB , EA=AB=2BC , D 為 AB 中 點(diǎn)，有以下結(jié)論：(1)DE=AC ; (2)DE，AC; / CAB=30 ° ; (4) / EAF= /ADE o其中結(jié)論正確的是()A、(1), (3) B、(2), (3) C、(3), (4) D、(1), (2), (4)4 .如圖，AABC 中，/C=90, AC=BC , AD 平分/ CAB交BC于點(diǎn)D , DE ±AB ,垂足為E ,且AB=6cm ,則4DEB的周長(zhǎng)為（）A、4cmB、6cmC、8 cmD、 10cm5 .如圖，BD=BC=ADA、30ABC 中，AB=AC，點(diǎn) D,則/ A的度數(shù)為（）在AC邊上，且D、70B、36C、