行波法與積分變換法——數(shù)學(xué)物理方程ppt課件

1、行波法(求解無界區(qū)域內(nèi)波動方程定解問題)積分變換法 (無界或有界區(qū)域)0,(2txuauxxtt xut0| xutt0|atxatx考慮代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得uuuuuxxx22uuuuuxxx222222uuu 同理有: 22tu2222222uuua 代入方程，得到 02u在上式中對 積分, 得 fu( 是 的任意可微函數(shù)) f再將此式對 積分, 2,fdftxu12fxatfxat其中 都是任意二次連續(xù)可微函數(shù). 12,ff利用初始條件，確定兩個函數(shù)的具體形式。 由第二式得012|(0)(0)tufxafxa xxafxaf21012| (0)(0)ttuafxaafxa xCda

2、xfxf0211 xxfxf21.12(0)(0)Cff其中 xCdaxxf0122121 xCdaxxf0222121由由, , xCdaxfxf0211 xxfxf21解得 atxatxdaatxatxtxu2121,代入通解表達式，得達朗貝爾達朗貝爾(DAlembert)(DAlembert)公式公式. .圖 3-1 u2x2( )fxaa t=0u2xa3au2x32a2a t=1/2u2x2at=1t=2考慮 的物理意義22()ufxat 隨著時間t 的推移u2的圖形以速度a 向x軸正向移動.物理意義物理意義: : 隨著時間隨著時間 t t 的推移的推移, , 的圖形以速度的圖形以速

3、度 a a 向向 x x 軸正方向移動軸正方向移動, , 也就是說也就是說, , 它表示一個以速度它表示一個以速度a a 向向x x 軸正方向行進的波軸正方向行進的波, , 稱為稱為右行波右行波. .同樣道理同樣道理, , 以速度以速度a a 向向x x 軸負方向軸負方向傳播的行波傳播的行波, , 稱為左行波稱為左行波. . atxfu22atxfu11在 平面上斜率為 的兩族直線 , 對一維波動方程的研究起到重要作用, 稱這兩族直線為一維波動方程的特征線, 變換tx a1稱為特征變換, 行波法也叫特征線法.atx atx 常數(shù)xat常數(shù) atx 0222dtadx2ttxxua u的積分曲線

4、, 這個常微分方程稱為它的特征方程 .一維波動方程的兩族特征線恰好是常微分方程,2GFuEuDuCuBuAuyxyyxyxx2220A dyBdxdyC dx一般的二階線性偏微分方程它的特征方程為(*)這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程(*)的特征曲線. 220dydyABCdxdx2dyBBACdxA記2( , )x yBAC稱其為二階線性偏微分方程的判別式0),( yx雙曲型方程0),( yx橢圓型方程0),( yx拋物型方程02u可以證明，當(dāng) 時，有兩條相異的實特征線因此特征線法對雙曲型方程都是有效的，沿著特征線做自變量替換 總可以把雙曲型方程化為 ( , )0 x y1122( ,

5、 ),( , )x ycx yc12( , ),( , )x yx y從而得到方程的通解12( )( )uff032yyxyxxuuu例 求下面問題的解:(3.1)解: 特征方程 03222dxdxdydy兩族積分曲線為 13Cyx2Cyx做特征變換 yxyx3203|xuy0|0yyu(3)0dydxdydx3uuuuuxxx22(3)(3)uuuuuxxx2222296uuu 2(3)(3)uuuuux yyy 2222232uuu yxyx3uuuuuyyy 22()()uuuuuyyy222222uuu 02u代入方程化簡得:yxyx3 21ffuyxfyxfyxu213,它的通解為1

6、f2f其中 , 是兩個二次連續(xù)可微函數(shù). 于是原方程的通解為 22133xxfxf 0321xfxf代入初始條件 , ，得 203|xuy0|0yyu第二式的兩端得關(guān)于 積分得x 12121130033fxfxffC 解得 212213443344fxxCfxxC2222343341,yxyxyxyxu所求問題的解為 2193344fxxC2222sincos0dyxdxdyx dx解 特征方程為特征曲線為 1cosCxxy2cosCxxy例 求方程22sincoscos0 xxxyyyyuxuxuxu的一般解.sin1dyxdx xyxcosxyxcos所以，做變換則原方程可以變?yōu)?02u)

7、cos(cos,21xyxfxyxfyxu其中 , 是任意的二次連續(xù)可微函數(shù). 1f2f于是，方程的通解為研究波在空間傳播問題.200010 (, ,0)( , , ) (, ,)( , , ) (, ,)tttttuaux y ztux y zx y zux y zx y z 三維波動方程的初值問題一、球?qū)ΨQ情形 cossinsincossinrzryrx2222222sin1)(sinsin1)(1 ururrurrru球坐標(biāo)系 假設(shè) 僅是 r 的函數(shù), 那么是r 和 t 的函數(shù), 此時稱定解問題是球?qū)ΨQ的。),(),(zyxzyx );,(tzyxu222222222rururzuyux

8、uu 球?qū)ΨQ波動方程0222222 rururatu進一步有0)()(22222 rruatru對球?qū)ΨQ問題對球?qū)ΨQ問題球?qū)ΨQ情形下，三維波動方程邊值問題可化為 2222200001()()0|0()|( )()|( )rttruruatrrururrrurrt這個問題我熟悉！由達朗貝爾公式001001()()()()21( ),02( , )()()()()21( ),02r atr atat rat rratratratratrdrataru r tratratatratrrdratar 二二. . 一般情況一般情況 dtudSturtruMMrSS 1),(41),(41),(2令 表示

9、 在球面 上的平均值。),(tru),(tzyxuMrS cos,sinsin,cossinrzryrx 其中M=M (x,y,z), 是球面 上的點, ,MrS二二. . 一般情況一般情況 dtudSturtruMMrSS 1),(41),(41),(2令表示以 M 為中心的單位球面，MS1表示 上的面積元素，dSMrS drdS2 d dddsin 表示單位球面上的面積元素， dtrzryrxutruMS 1),cos,sinsin,cossin(41),(),(), 0(tMutu 即而),(),(lim0tMutrur 以下推導(dǎo) 所滿足方程及初始條件。 ),(tru222221414M

10、rMrBBu dVrudVa rt高斯公式dSnurdnuduuuruMrMMSSS 24141cossinsincossin4111 進一步有： dSudtdVtururaMrMrSrB 02222224 兩邊關(guān)于 r 求導(dǎo)，得 dSutrurarMrS 22224 得dSturtruMrS ),(41),(2 2222244turrurra 由即22222turrurra 22222)(2rurrrurrurrurr 0)()(22222 ruratur可得：由22222)(turrtur 0)()(22222 ruratur由初值條件和 的表達式，有： ),(tru0001()()|,|

11、ttrururrt其中 分別是函數(shù) 在 上的球平均值。 01,01, MrS滿足如下定解問題： ur2222200001()()00,0()|0()|()|rttruruarttrrururrurt 22222()()0ruruatr方程的通解為12()()ruf ratf rat120121( )( )( )( )( )( )f rf rrrrfrfrra利用初始條件0001()()|,|ttrururrt有其中是兩個二次連續(xù)可微的任意函數(shù)2, f f1010201011( )( )( )211( )( )( )2rrf rrrdCaf rrrdCa 所以001()()()()( , )21

12、( )2r atr atratratratratu r trdar 解方程組得22212322212312311231(, )1(),(),(), )4(, )ur tu xryrzrt du xryrzrt d(, )( , )ur tu r t將 延拓到r0的范圍內(nèi)。并且( , )u r t同理 也是偶函數(shù)01( ),( )rr利用所以 ratratatratratrdarrratratatratratrdarratratratratrtru0)(212)()()()(0)(212)()()()(),( 由于 ，只考慮 的情形0r0 atr001() () () ()1( , )( )22

13、at rat rat rat rr atr atu r tdrar 001001lim( , )()()()1()()ru r tatatattatatattatat利用洛必達法則20002212002(0, )1(sincos ,sin sin ,cos )4 () sin d d(sincos ,sin sin ,cos )4()() sin d dutxatyatzatatatattxatyatzatatat 011(, )4MMatatSSu M tdSdSatatat即簡記成三維波動方程的泊松公式三、泊松公式的物理意義 從泊松公式出發(fā)，解釋波在三維空間的傳播現(xiàn)象.設(shè) 且， 3RT )

14、,(zyx TzyxTzyxzyx),(0),(0),( 1. 在任一固定點 的振動情況 ),(000zyxM 設(shè) ， 由 沿以 M 為中心，at 為半徑的球面的曲面 積分所決定。 TM ),(minQMdTQ ),(maxQMDTQ ),(tMu ,MatS0),( tMuM 點處于靜止?fàn)顟B(tài)，說明點處于靜止?fàn)顟B(tài)，說明 T 的振動尚未達到的振動尚未達到 M 點。點。 當(dāng) 時， 為空集，所以 TSMat adtt 1 當(dāng) 時， 不為空集，aDttt 21TSMat 0),( tMu所以M點處于振動狀態(tài), 說明 T 的振動已傳到 M 點。 當(dāng) 時， 為空集，說明振動已 傳過 M 點， M 點仍回復(fù)

15、到靜止?fàn)顟B(tài)。 aDtt 2TSMat 2. 在某固定時刻 ，初始時刻的振動所傳播的范圍 0tTP ),( 設(shè) ，T 是半徑為 R 的球體。由Poisson公式，只有與 M 相距為 的點上的初始擾動能夠影響 的值，故 P 點的初始擾動，在時刻 只影響到以 P 為球心，以 為半徑的球面 0at),(tMu0t0at22222)()()(:0tazyxSMat 當(dāng) P 在 T 內(nèi)移動時，球面族的包絡(luò)面所圍成的區(qū)域即為 T 內(nèi)各點的振動在 時刻所傳播的區(qū)域，稱為 T 在時刻 的影響區(qū)域。0t 總之，三維空間中有限區(qū)域 T上的初始振動，有著清晰的前陣面和后陣面，對空間的任一點，振動傳過后，仍回復(fù)到平衡狀

16、態(tài)，這種只在有限時間內(nèi)引起振動的現(xiàn)象稱為 Huygens 原 理。 在 足夠大時，包絡(luò)面以T 的心o(T)為心，分別以 和 為半徑的球面所夾部分。故 時刻的影響區(qū)域為 的球殼，球面 是振動到來的前峰，稱為波的 前 陣 面,球面 是振動傳過后的后沿，稱為波的后陣面。 0tRat 0RatrRat 000tRat 0)(0TORatS )(TORatS Rat 0Rat 0R解 例. 設(shè)已知三維波動問題中的初位移，初速度分別為： , 求解相應(yīng)的Cauchy問題。 0, zyxzyxddatddatddzyxatta 200220022200cossin)(sin)cos(sin)(sin)(41

17、ddatatatzyxtausin)()cossinsincos(sin412200 三. 降維法及二維波動方程考慮二維波動方程的初值問題 20001()0,0( , ),( , ),ttxxyytt tua uux ytux yx yux yx y 設(shè)解為 ,令 ，那么( , , )u x y t( , , , )( , , )u x y z tu x y t20001()0( , )( , )ttxxyyzztttua uuuux yux y由泊松公式 011( , , , )4MMatatSSu x y z tdSdSatatat222 2()()xya t球面 在平面 上投影 為 Ma

18、tS0 MatC dcosddS設(shè)其上面積微元為 ，則由投影關(guān)系有：222()()()cosatxyzatat其中 v 表示 dS 的單位法向量與 之夾角， d又上、下兩球面的投影有對稱關(guān)系，故022212221( , )( , , , )2()()()( , )()()()MatMatu x y z td da tatxyd datxy 柱面波 常見的兩種積分變換常見的兩種積分變換-傅立葉變換傅立葉變換-拉普拉斯變換拉普拉斯變換. ixFefx dx 12ixf xFed F假如 滿足上面的條件，我們可以定義傅立葉逆變換為:( )f x如果函數(shù) 在 上絕對可積，它的傅立葉變換定義如下(,)

19、有時把 記為 。 F Ff一. 傅立葉變換反演公式反演公式傅立葉變換的性質(zhì): 1） 線性性質(zhì) 設(shè) f, g 是絕對可積函數(shù)， 是任意復(fù)常數(shù)，那么 , ( )( )FfgF fF g F fi F f2） 微分性質(zhì) 設(shè) f , 絕對可積函數(shù)，那么 f dF xfiF fd3乘多項式 設(shè) f , x f 絕對可積，那么 4伸縮性質(zhì) 設(shè) f (x) 絕對可積，那么 10()( )()(),.|F f axF faaa 6） 卷積性質(zhì) 設(shè)f , g 是絕對可積函數(shù)， 令 fg xfxt g t dt FfgFf F g 那么5平移性質(zhì) 設(shè) f (x) 絕對可積，那么 ()(),.iyF f xyeF

20、fyR 2200,uuxR ttxu xx 例例 用積分變換法解方程：用積分變換法解方程：解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換, ,ixu x tUtu x t edx x 方程可變?yōu)?20,|tdUtUtdtUt 設(shè) 2,tUte 可解得 由于221412xttFeet 22412xttFeet 即 22441122, xxttUtFeFFett 那么從而方程的解 241( , )2stu x txs edst 1,( , )u x tFUt 2141*2xtFFet 241*2xtet 2141( )2xtFFFet 22( , ),0,0uuf x txR ttxu xx 例例 用積分變換法解方

21、程用積分變換法解方程解： 作關(guān)于 的傅立葉變換。設(shè)xdxetxutUtxuxi, x方程變?yōu)?20,|tdUtUtFtdtUt ,f x tFt 22()0,( , ).tttUteFed 用常數(shù)變易法可解得 22412xttFeet 而 224401212(),( , ).()xtxttUtFetFFedt 那么 1,( , )u x tFUt 2214401212()( , )()xtxttFFetFFedt 利用反演公式有2141*2xtFFet 214012()( , )*()xttFFf xedt 241*2xtet 24012()( , )*()xttf xedt 2()412xt

22、edt 24012()()( , )xttfdedt 例 用積分變換法求解初值問題：200( , )(,0)|( )|( )ttxxtt tua uf x txtuxux 解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換。設(shè),u x tUt( )( ),x( )( ).x ,f x tFt于是原方程變?yōu)?222,d UtaUtFtdt 滿足初始條件0,|,tUt 0,|tdUtdt 222200,|,|ttd UtaUtFtdtUtdUtdt 齊次方程的解齊次方程的解12( , )cossinUtCa tCa t設(shè)非齊次方程的解為設(shè)非齊次方程的解為12( , )( )cos( )sinUtC ta tC ta t

23、1212( , )( )-sin( )sin( )cos( )cosUtC t aa tC t aa tC ta tC ta t令令12( )cos( )sin0C ta tC ta t12( , )( )()sin( )cosUtC taa tC t aa t12222212( , )( )sin( )cos( )cos( )sinUtC t aa tCt aa tC t aa tC t aa t 那那么么代入方程代入方程122222122212( )sin( )cos( )cos( )sin( )cos( )sin)( , )C t aa tC t aa tC t aa tC t aa t

24、aC ta tC ta tFt 得得12( , )( )sin( )cosFtC ta tC ta ta12( )cos( )sin0C ta tC ta t12( , )( )sin( , )( )=cosFtC ta taFtCta ta 積分12( , )( )sin( , )( )=cosFtC ta taFtCta ta 方程通解為01( , )cossin( , )sin()tUtCa tDa tFatda 由初始條件0sin( , )( )cos( )1( , )sin()ta tUta taFatda 取傅立葉逆變換，得 12xatxat1( )cos ( )( )2iatia

25、ta tee其中的傅立葉變換.sina t1,( )20,atatxatgx其它是而所以 取傅立葉逆變換，得 ( , )Ut ()0()1211,22x a tx attx atx a txatxats dsdf sdsaa()01,211( )( )tata tu x txatxatgxfgx daa傅立葉逆變換是一種把分析運算化為代數(shù)運算的傅立葉逆變換是一種把分析運算化為代數(shù)運算的有效方法有效方法,但但1.傅立葉變換要求原象函數(shù)在傅立葉變換要求原象函數(shù)在R上絕對可積上絕對可積,大部大部分函數(shù)不能作傅立葉變換分函數(shù)不能作傅立葉變換2.傅立葉變換要求函數(shù)在整個數(shù)軸上有定義傅立葉變換要求函數(shù)在整

26、個數(shù)軸上有定義,研研究混合問題時失效究混合問題時失效.二二. . 拉普拉斯變換拉普拉斯變換定義定義: f (t): f (t)定義在定義在 上，若其滿足下列條件上，若其滿足下列條件f (t)f (t)分段光滑；分段光滑；存在常數(shù)存在常數(shù) M M 和和 使得使得 則稱則稱f (t)f (t)為初始函數(shù)為初始函數(shù), , 稱為稱為f (t)f (t)的增長指數(shù)的增長指數(shù). .0,)00s 0|( )|s tf tMe0stee反例反例定理定理: : 設(shè)設(shè)f (t)f (t)是一以是一以 為增長指數(shù)的初始函數(shù)為增長指數(shù)的初始函數(shù), ,則經(jīng)變換則經(jīng)變換得到的函數(shù)得到的函數(shù)F(p)F(p)是是 上的解析函

27、數(shù)上的解析函數(shù). .00s 0:ptL f tF pf t edt0(Re)ps上述變換稱為拉普拉斯變換1!nnpnt, 2, 1 , 0n例例 (Re0)p 000010111nptnptnptptnnptt edtt det eedtpppntedtp 22010(1)!nptptnnn ntedtpnnedtpp22(2)cos,patpa(Re0)p 22(3) sinaatpa反演公式：在反演公式：在 f (t) f (t) 的每一個連續(xù)點均有的每一個連續(xù)點均有 ()1122s is itpts if tF p edF p e dpi 其中，0,.psiss1(1)a tepa(Re

28、Re )pa基本性質(zhì)基本性質(zhì): : 1） 線性性質(zhì) 設(shè) f, g 的拉普拉斯變換分別 為L( f ), L(g ), 是任意復(fù)常數(shù)，那么 , ( )( )LfgL fL g2） 微分性質(zhì) 假設(shè) , 那么 pFtfL: 0:fppFtfL 00 :2fpfpFptfL 000:111nnnnnffpfppFptfL6） 卷積性質(zhì) 0 xfg xfxt g t dt定義4延遲性質(zhì) pFestfLps1,0.pL f atFaaa5伸縮性質(zhì) L fgL f L g那么3積分性質(zhì) 01tLf s dsF pp例 設(shè) 求解常微分方程的初值問題 tyy 1| , 0|32 00tttyyeyyy解 對 進行拉普拉斯變換, 設(shè) , 那么t pFty11pet )(0ppFyppFy 00 2ypypFpy 12pFp于是原方程變?yōu)?11321)(2ppFppFpFp由上式得: 318111411183ppppF對 進行拉普拉斯逆變換, 得 pF 3311848ttty teee0, 0,222txxuatu0|0tu 0|xuf t解 問題歸結(jié)為求解下列定解問題: 例 一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0，求桿上溫度分布規(guī)律。對 t 進行拉普拉斯變換怎么變換？為什么？曉得 的值了0|tu,ppx