六年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教材

1、第一講 立體圖形及展開(kāi)同學(xué)們?cè)谖迥昙?jí)所學(xué)習(xí)的立體圖形主要是長(zhǎng)方體和正方體，從這一講開(kāi)始我們將一起研究數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的有關(guān)長(zhǎng)方體和正方體的問(wèn)題，幫助大家提高觀察能力和空間想像能力，以及掌握解答問(wèn)題的技巧和方法。這一講我們進(jìn)一步研究長(zhǎng)方體和正方體的特征及展開(kāi)圖例題選講例1:圖1所示的是一個(gè)正方體紙盒拆開(kāi)后平攤在桌面上的形狀。如果將這個(gè)展開(kāi)圖恢復(fù)成原來(lái)的正方體，圖中的點(diǎn)F、點(diǎn)G分別與哪個(gè)點(diǎn)重合?【分析與解答】為了研究方便，我們將正方體六個(gè)面分別標(biāo)上序號(hào)1、2、3、4、5、6，如果將l作為底面，那么4就是后面，5為右面，6為前面，2則是左面，3就是上面，(如圖2)。從圖中不難看出點(diǎn)F與點(diǎn)N，重合，

2、點(diǎn)G與點(diǎn)S重合。還有一種方法就是動(dòng)手制作一張展開(kāi)圖，折一折，結(jié)果就一目了然了，同學(xué)們不妨試試吧!例2:一只小蟲(chóng)從圖l所示的長(zhǎng)方體上的A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬行，依次經(jīng)過(guò)前面、上面、后面、底面，最后到達(dá)P點(diǎn)。請(qǐng)你為它設(shè)計(jì)一條最短的爬行路線(xiàn)?！痉治雠c解答】 因?yàn)樾∠x(chóng)在長(zhǎng)方體的表面爬行，所以我們可以將長(zhǎng)方體的前、后、上、下西個(gè)面展開(kāi)成平面圖形(如圖2)。又因?yàn)樵谄矫嫔稀皟牲c(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)度最短”，所以連接AP，則線(xiàn)段AP為小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)。練習(xí)與思考1.如圖所示的是一個(gè)正方體紙盒拆開(kāi)后平攤在桌面上的形狀。如果將這個(gè)展開(kāi)圖恢復(fù)成原來(lái)的正方體，圖中的點(diǎn)B、點(diǎn)D分別與哪個(gè)點(diǎn)重合?2.如圖所示的是一個(gè)棱長(zhǎng)

3、3厘米的正方體木塊，一只螞蟻從A點(diǎn)沿表面爬向B點(diǎn)。請(qǐng)畫(huà)出螞蟻爬行的最短路線(xiàn)。問(wèn)：這樣的路線(xiàn)共有幾條?3.將一張長(zhǎng)方形硬紙片，剪去多余部分后，折疊成一個(gè)棱長(zhǎng)為l厘米的正方體。這張長(zhǎng)方形硬紙片的面積最小是多少平方厘米? 4.一塊長(zhǎng)方形的鐵皮，長(zhǎng)28厘米，在這塊鐵皮的四角各剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的小正方形，然后通過(guò)折疊、焊接做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子。已知這個(gè)盒子的容積是960立方厘米，求原來(lái)長(zhǎng)方形鐵皮的面積。5.如圖所示的是一個(gè)正方體木塊的表面展開(kāi)圖，若在正方體的各面填上數(shù)，使其對(duì)面兩數(shù)之和為7，則A、B、c處填的數(shù)各是多少?第二講 長(zhǎng)方體和正方體的表面積在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有許多問(wèn)題涉及到長(zhǎng)方體和正方體表

4、面積的計(jì)算。這些知識(shí)不僅有趣而且具有一定的實(shí)用性和思考價(jià)值。解答長(zhǎng)方體和正方體表面積的問(wèn)題時(shí)，需要同學(xué)們具備較強(qiáng)的觀察能力、作圖能力以及空間想像能力，另外還要掌握一些解題的思路和技巧。例題選講例1:一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是88平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是以厘米為單位的數(shù)，且都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。 【分析與解答】要求長(zhǎng)方體的表面積，就要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。根據(jù)題意，前面與上面的面積之和是88平方厘米，也就是長(zhǎng)×高+長(zhǎng)x寬=88，即長(zhǎng)×(高+寬)=88因?yàn)殚L(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，我們把88分解質(zhì)因數(shù)得88=1l×2×2×2，

5、依題意，11不能分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)和，經(jīng)試驗(yàn)，有兩種情況符合條件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此長(zhǎng)方體的表面積可以有兩種情況。 解：8811×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×241+3。長(zhǎng)方體的表面積：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2422(平方厘米)例2:如圖，將3個(gè)表面積都是24平方米的正方體木塊粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積?！痉?/p>

6、析與解答】仔細(xì)觀察圖形，不難看出3個(gè)正方體塊粘成1個(gè)長(zhǎng)方體，共有2個(gè)粘接處，每一處都有2個(gè)面粘在一起，兩處共粘去4個(gè)面，因此粘成的長(zhǎng)方體的表面積等于(6×34)個(gè)面的面積，即24÷6×(6 x34)=56(平方厘米)。例3:如圖所示的是用19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體堆起來(lái)的立體圖形，其中有一些正方體看不見(jiàn)，那么這個(gè)立體圖形的表面積是多少?【分析與解答】仔細(xì)觀察圖形，雖然這個(gè)立體圖形是不規(guī)則的，但是從前面看到的面與從后面看到的面?zhèn)€數(shù)是相等，同理從左、右看到的面?zhèn)€數(shù)是相等的，從上、下看到的面是一致的，所以這個(gè)立體圖形的表面積等于(前面十上面+左面)×2，即(1

7、0+9+8)×2=54(平方厘米)。練習(xí)與思考1.有一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面兩個(gè)面面積和為209平方厘米，并且長(zhǎng)、寬、高都是以厘米為單位的數(shù)，且都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。2.將兩個(gè)長(zhǎng)都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，那么這個(gè)大長(zhǎng)方體表面積最大是多少平方厘米?3.如圖所示的是由17個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼成的立體圖形，求它的表面積。4.有一個(gè)長(zhǎng)方體,長(zhǎng)是8厘米,寬是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱長(zhǎng)是2厘米的若干個(gè)小正方體，這些小正方體表面積之和比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方厘米?第三講 長(zhǎng)方體和正方體的體積前一講，我們研究了長(zhǎng)方體和正方體表面積的計(jì)算

8、，其實(shí)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有關(guān)長(zhǎng)方體和正方體體積的知識(shí)也很重要。學(xué)習(xí)這一講的知識(shí)更需要我們具備較強(qiáng)的觀察能力和空間想像能力。 例題選講例1:如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，從上部和卞靠分別截去高2厘米和3厘米的長(zhǎng)方體后，便成為一個(gè)正方體，表面積減少了100平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米?【分析與解答】仔細(xì)觀察右圖，截去上下兩個(gè)長(zhǎng)方體后減少的表面積就是兩個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面積，也就相當(dāng)于減少的是高為(2+3)厘米的長(zhǎng)方體的側(cè)面積，因此高為5厘米的長(zhǎng)方體每個(gè)側(cè)面積是100÷425(平方厘米)，那么長(zhǎng)方體底面正方形的邊長(zhǎng)就是25÷5=5(厘米)，所以原長(zhǎng)方體的體積是：5×5

9、5;(2+5+3)=250(立方厘米)。例2:將兩塊棱長(zhǎng)相等的正方體木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和是96厘米，每塊正方體木塊的體積是多少立方厘米? 【分析與解答】根據(jù)題意，兩個(gè)正方體棱長(zhǎng)共有12×2=24(條)。當(dāng)它們拼在一起成為一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，由于兩個(gè)面重合，也就減少了4×2=8(條)棱長(zhǎng)，實(shí)際上就是拼成的長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和相當(dāng)于248=16(條)正方體棱長(zhǎng)總和，因此每條正方體棱長(zhǎng)為96÷16=6(厘米)，則每塊正方體木塊的體積是：6×6×6=216(立方厘米)。例3:如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4厘米，分別在前后、左右、上下各面中心鑿開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)1

10、厘米的正方形小孔直至對(duì)面，求它的體積?！痉治雠c解答】仔細(xì)觀察圖形，每個(gè)鑿去的小長(zhǎng)方體體積均為：1×1×4=4(立方厘米)，共鑿小長(zhǎng)方體3個(gè)，即4×3=12(立方厘米)，而實(shí)際上由于正中間相交，重復(fù)鑿去了2個(gè)1立方厘米的正方體小塊，因此，這個(gè)物體的體積是4×4×412+1×2=54(立方厘米)。練習(xí)與思考1 把一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)平均分成4段，每段長(zhǎng)6厘米，表面積增加24平方厘米，求原長(zhǎng)方體的體積。2 用大小相等的兩個(gè)正方體積木拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是80厘米，每個(gè)正方體的體積是多少立方厘米? 3如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為20厘米的正方

11、體木塊的前面、上面、右面中心位置，分別鑿一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形小孔直至對(duì)面，做成玩具，求這個(gè)玩具的 4 一個(gè)長(zhǎng)方體，它的前面和上面的面積之和是156平方厘米，并且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少?5一個(gè)表面積是36。平方厘米的長(zhǎng)方體，它恰好可以切成兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)小正方體的體積是多少立方厘米?6 一個(gè)長(zhǎng)方體，它的底面是一個(gè)正方形，它的表面積是190平方厘米，如果用一個(gè)平行于底面的平面將它截成兩個(gè)長(zhǎng)方體，則兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和是240平方厘米，求原來(lái)長(zhǎng)方體的體積。第四講 水面高度變化和等積變換水面高度變化問(wèn)題是涉及長(zhǎng)方體和正方體體積計(jì)算的變題，是指把一個(gè)物體放入盛水的長(zhǎng)方體或

12、正方體容器中，水面將上升；或者把一個(gè)物體從盛水的長(zhǎng)方體和正方體容器中取出，水面會(huì)下降一類(lèi)的問(wèn)題。解答時(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)觀察水面高度變化的現(xiàn)象，發(fā)揮空間想像力，發(fā)現(xiàn)體積變化的規(guī)律，從而解決實(shí)際問(wèn)題。等積變換問(wèn)題指的是物體經(jīng)過(guò)熔鑄、變換，改造成另一種形狀的物體，雖然形狀變了，但是體積沒(méi)有發(fā)生變化。解答時(shí)，應(yīng)該抓住體積不變這一突口，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行認(rèn)真分析，從而尋求解決問(wèn)題的方法。例題選講例1:在一個(gè)長(zhǎng)25分米，寬20分米的長(zhǎng)方體容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一個(gè)棱長(zhǎng)是50厘米的正方體鐵塊，那么容器中水深多少分米? 、【分析與解答】根據(jù)題意，正方體鐵塊沉入長(zhǎng)方體容器中后，水面會(huì)上升，而上升

13、部分的水的體積與正方體鐵塊的體積相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么現(xiàn)在的水深就迎刃而解了。 解：50厘米一5分米 5÷(25X20)+15 =O25+15 =1525(分米) 答：容器中水深1525分米。例2:一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為50厘米的正方形。水箱里直立著一個(gè)高10分米，底面邊長(zhǎng)是25厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這時(shí)水箱里的水深6分米?，F(xiàn)在把鐵塊輕輕地向上提起20厘米，那么露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)多少厘米?【分析與解答】露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分包括向上提起的20厘米和鐵塊提起后水面下降的高度兩部分。而下降部分水的體積就等于提起的20厘米的鐵塊的體積，因此水

14、面下降的高度就可以用高20厘米的鐵塊體積除以水箱的底面積求得。 解：25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 =25(厘米) 練習(xí)與思考1在一個(gè)長(zhǎng)20分米，寬15分米的長(zhǎng)方體容器中，有20分米深的水?，F(xiàn)在在水中沉入一個(gè)棱長(zhǎng)15分米的正方體鐵塊，這時(shí)容器中的水深多少分米?2一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)90厘米，寬40厘米。容器里直立著一個(gè)高1米，底面邊長(zhǎng)是15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這時(shí)容器里的水深05米。3一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體容器，裝滿(mǎn)了水?，F(xiàn)將正方體容器里的水倒人一個(gè)長(zhǎng)12分米，寬6分米，高5分米的長(zhǎng)方體水槽中，求現(xiàn)在長(zhǎng)方體水槽中水面到水槽口的距離。4現(xiàn)在

15、把鐵塊輕輕向上提起24厘米，那么露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)多少厘米?5一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從里面量長(zhǎng)8分米，寬6分米。先倒入165升水，再浸入一塊棱長(zhǎng)3分米的正方體鐵塊，這時(shí)水面離水箱口1分米。問(wèn)：這個(gè)水箱的容積是多少?6在一個(gè)長(zhǎng)15分米，寬12分米的長(zhǎng)方體容器中，水深10分米。如果在水中浸入一個(gè)棱長(zhǎng)是30厘米的正方體鐵塊，那么，容器中水深多少分米? 7有大、中、小三個(gè)底面是正方形的水池，它們底面的邊長(zhǎng)分別是5米、3米、2米，把兩堆碎石分別沉人中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？8一個(gè)長(zhǎng)方體容器里面裝有水，一塊

16、棱長(zhǎng)24厘米的正方體鐵塊浸沒(méi)在水中。現(xiàn)將鐵塊取出，水面下降18厘米；如果將一個(gè)長(zhǎng)18厘米，寬16厘米，高12厘米的長(zhǎng)方體鐵塊浸入水中：水面將上升多少厘米?第五講 列方程解題有數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，特別是需要逆向思維的應(yīng)用題，運(yùn)用算術(shù)方法解答比較困難，如果列方程解答，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，把未知數(shù)當(dāng)作已知數(shù)來(lái)考慮數(shù)量關(guān)系，抓住數(shù)量之間的相等關(guān)系，列出方程式解答就比較容易了。例題選講例1：御苑小學(xué)五(3)班的同學(xué)合買(mǎi)一件生日禮物送給班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小學(xué)五(3)班有多少名學(xué)生?【分析與解答】從給出的條件分析，用算術(shù)方法解答問(wèn)題有些困難，似乎數(shù)量關(guān)系

17、不明顯，但深入分析可以看出同學(xué)們買(mǎi)的是同一件生日禮物，因比價(jià)格是一定的，即每人出8元表示的總價(jià)與每人出6元表示的總價(jià)相等，可以列出以下方程式解答。 解：設(shè)御苑小學(xué)五(3)班有x名學(xué)生。 8x-84=6x+12 8x一6x=12+84 2x=96 x=48 答：御苑小學(xué)五(3)班有48名學(xué)生。例2：勝利大隊(duì)糧庫(kù)里的大米是面粉的2倍，現(xiàn)在用卡車(chē)運(yùn)走，每輛卡車(chē)裝4噸大米和3噸面粉，當(dāng)面粉運(yùn)完時(shí)，還剩2 0噸大米，糧庫(kù)里原來(lái)有大米和面粉共多少?lài)?【分析與解答】這道題的未知數(shù)量比較多：有大米、面粉的重量和卡車(chē)的數(shù)量，那么設(shè)哪個(gè)未知數(shù)為x比較合適呢?我們仔細(xì)分析一下等量關(guān)系，容易看出運(yùn)大米的卡車(chē)數(shù)量與運(yùn)面

18、粉的卡車(chē)數(shù)量相等，如果設(shè)面粉有x噸，則大米有2x噸，根據(jù)卡車(chē)數(shù)量相等可以列出方程(2x一20)÷4=x÷3再進(jìn)一步分析已知條件，可以看出另一個(gè)等量關(guān)系，即大米的重量等于面粉重量的2倍。我們?cè)O(shè)有x輛卡車(chē)，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程：4x+20=3x×2比較兩種方法，發(fā)現(xiàn)后一種方法列出的方程式比較容易解答。練習(xí)與思考1爸爸帶一些錢(qián)去買(mǎi)酸奶，如果買(mǎi)1 O瓶就剩下4元，如果買(mǎi)12瓶同樣的酸奶則差5.2元。問(wèn)：每瓶酸奶多少元?爸爸帶了多少錢(qián)？2.濱江小學(xué)體育室里的籃球是足球的3倍。體育課上，每班借8只籃球、5只足球，足球借完時(shí)還有84只籃球。問(wèn)：體育室原來(lái)有籃球和足球共多少只?

19、。3.某校五、六年級(jí)的學(xué)生乘公交車(chē)去秋游。如果每車(chē)坐60人，則有20人沒(méi)有座位；如果每車(chē)多坐5人，則有一輛車(chē)空出45個(gè)座位。請(qǐng)問(wèn)：一共有多少輛公交車(chē)?五、六年級(jí)去秋游的學(xué)生一共有多少人? 4.一條船從甲港到乙港順流麗下，再?gòu)囊腋鄯祷毓灿昧?小時(shí)，已知這船在靜水中的速度是每小時(shí)，20千米，水流速度是每小時(shí)5千米。請(qǐng)問(wèn)：甲、乙兩港之間的距離是多少千米?5.4個(gè)人的年齡之和是77歲，最小的是10歲，他與年齡最大的人的年齡之和比其他兩人的年齡之和大7。問(wèn)：年齡最大的人是多少歲? 6.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)上的數(shù)字是個(gè)位上數(shù)字的15倍，如果調(diào)換十位與個(gè)位上的數(shù)字，則新數(shù)比原數(shù)小18，求原來(lái)的數(shù)。 7.甲每分

20、鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲、乙從A地出發(fā)，丙從B地出發(fā)，丙遇到乙以后2分鐘又遇到甲，求A、B兩地的距離。第六講 假設(shè)法解題“假設(shè)法”是解決問(wèn)題常用的一種思維方法，是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，根據(jù)題目的條件或結(jié)論作出某種假設(shè)，然后根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推算，當(dāng)出現(xiàn)矛盾時(shí)，則分析矛盾產(chǎn)生的原因，并對(duì)照已知條件進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，最后找到解決問(wèn)題的方法。 例題選講例1:有5元和10元的郵票共20張，總面值125元。問(wèn)：5元的和10元的郵票各多少?gòu)?【分析與解答】假設(shè)20張郵票都是10元的，總面值應(yīng)該是10×20一200(元)，而實(shí)際上只有125元，實(shí)際比假設(shè)少20012575(元)，仔

21、細(xì)分析一下為什么比假設(shè)少75元呢?原因就是把5元的郵票當(dāng)作10元算的、，每張就多算10-5=5(元)，因此可以求出5元的郵票張數(shù)75÷5=15(張)則10元的郵票張數(shù)為2015=5(張)。 解：(10×20125)÷(10一5) =75÷5=15(張)5元的郵票張數(shù) 20-15=5(張)10元的郵票張數(shù) 答：5元的郵票15張，10元的郵票5張。 請(qǐng)同學(xué)想想如果假設(shè)2張郵票都是5元的應(yīng)該如何解答呢? 例2:中央百貨公司委托搬運(yùn)公司送1000只茶杯，雙方簽訂合同每只運(yùn)費(fèi)是O.3元如果打破1只，不但不付運(yùn)費(fèi)，而且還要照價(jià)賠償15元。結(jié)果搬運(yùn)公司共得運(yùn)費(fèi)291元

22、。問(wèn)：搬運(yùn)公司在搬運(yùn)過(guò)程中打破了幾只茶杯?【分析與解答】 假設(shè)在搬運(yùn)過(guò)程中沒(méi)有茶杯被打破，那么應(yīng)該得運(yùn)費(fèi)O3 x 1000=300(元)，而實(shí)際上卻少得了運(yùn)費(fèi)(300291)=9(元)，原因是打破了幾只茶杯，每打破1只不但拿不到運(yùn)費(fèi)，還要賠償，所以打破1只就損失：03+15=18(元)，因此在搬運(yùn)過(guò)程中打破了9÷18=5(只)。 解：(O3X1000291)÷(O3+15) =9÷18 =5(只)答：在搬運(yùn)過(guò)程中打破了5只茶杯。練習(xí)與思考1籠中共有雞兔100只，雞兔共有280只腳。問(wèn)：雞兔各有多少只?2某搬運(yùn)站為某商店運(yùn)800只花瓶，運(yùn)費(fèi)為每只3元，如果損壞一只，

23、不但不給運(yùn)費(fèi)還要照價(jià)賠償5元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)2352元。問(wèn)：搬運(yùn)公司在搬運(yùn)過(guò)程中打破幾只花瓶?3松鼠爸爸采松子,晴天可以采30個(gè),雨天只能采20個(gè)，它一連幾天共采了240個(gè)松子，平均每天采24個(gè)。問(wèn)：這幾天當(dāng)中有幾個(gè)晴天?幾個(gè)雨天?4甲、乙兩人進(jìn)行投飛鏢比賽，規(guī)定每中一次記10分，脫靶一次扣6分，兩人各投l0次，共得152分，其中甲比乙多16分。問(wèn)：甲、乙兩人各投中幾次？5蜘蛛有8只腳，沒(méi)有翅膀，蜻蜓有6只腳和2對(duì)翅膀，蟬有6只腳和1對(duì)翅膀，現(xiàn)在這三種小動(dòng)物共78只腳，13對(duì)翅膀。問(wèn)：每種小動(dòng)物各有幾只?6甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)的2倍，甲倉(cāng)庫(kù)每天運(yùn)出40噸，乙倉(cāng)庫(kù)每天運(yùn)出30噸，若干天后，乙倉(cāng)

24、庫(kù)的糧食運(yùn)完了，甲倉(cāng)庫(kù)還有80噸。問(wèn)：甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來(lái)各有糧食多少?lài)?7一堆硬幣：面值為1分、2分、5分三種，其中1分的個(gè)數(shù)是2分的ll倍，如果這堆硬幣共1元，那么5分硬幣有多少個(gè)? 8某班同學(xué)參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試題共50道。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)l題給3分，不答給1分，答錯(cuò)倒扣1分。請(qǐng)你說(shuō)明：該班同學(xué)得分總和一定是偶數(shù)。 第七講 代換法解題在一些較復(fù)雜的應(yīng)用題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，但是這些未知量是有一定的邏輯關(guān)系的。解題時(shí)，可以用其中一個(gè)未知量通過(guò)等量代換，代替其它未知量，從而使復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，這種解題的方法稱(chēng)為代換法。例題選講例1:一個(gè)足球的價(jià)格等于兩個(gè)籃球的價(jià)格，也等于

25、三個(gè)排球的價(jià)格，還等于一個(gè)籃球加一個(gè)排球和一個(gè)壘球的價(jià)格。那么一個(gè)足球等于多少個(gè)壘球的價(jià)格?【分析與解答】這道題條件比較多，我們把條件摘錄如下，列出等式：1個(gè)足球：2個(gè)籃球，1個(gè)足球=3個(gè)排球，一個(gè)足球=1個(gè)籃球+1個(gè)排球+1個(gè)壘球，由此可以推出2個(gè)籃球=3個(gè)排球，即1個(gè)籃球：15個(gè)排球，又1個(gè)籃球：1個(gè)排球+1個(gè)壘球，所以1個(gè)壘球一O5個(gè)排球，即2個(gè)壘球=1個(gè)排球，因此1個(gè)足球=2×3=6(個(gè))壘球。例2:5只同樣的紅球和18只同樣的綠球共重396克，已知1只紅球和3只綠球的重量相等，求每只紅球和每只綠球各重多少克?【分析與解答】摘錄條件：(1)5只紅球+18只綠球=396，(2)

26、1只紅球=3只綠球，由(2）可得5只紅球=15只綠球，因此用15只綠球代替（1）中5只紅球可得15只綠球+18只綠球=396，即33只綠球=396，所以每只綠球=396÷(15+18)=12(克)，每只紅球的重量=12×3=36(克)。 同學(xué)們想一想用幾只同樣的紅球可以代換18只綠球，又如何計(jì)算呢?例3:甲、乙、丙三人，甲的年齡比乙的2倍大3歲，乙的年齡比丙的2倍小2歲，三人年齡之和是109歲。問(wèn)：三人各幾歲?【分析與解答】摘錄條件(1)甲=2乙+3，(2)乙=2丙-2，由(2)可得2乙=4丙-4，又根據(jù)(1)可得甲=4丙=1，如果甲正好是丙的4倍，乙正好是丙的2倍，那么年

27、齡和應(yīng)是(109+l+2)=112(歲)，也就相當(dāng)于丙的(4+2+1)倍，因此丙的年齡=112÷7=16(歲)。乙的年齡：16X22=30(歲)，甲的年齡=30×2+3=63(歲)。 練習(xí)與思考1.2只紅球與4只藍(lán)球的重量相等，3只藍(lán)球的重量等于1只紅球加1只黑球的重量，那么幾只黑球的重量等于3只紅球加4只藍(lán)球的重量?2.百貨商店運(yùn)來(lái)400雙球鞋，分別裝在2個(gè)木箱和6個(gè)紙箱中，如果2個(gè)紙箱同1個(gè)木箱裝的鞋一樣多，那么每個(gè)木箱和每個(gè)紙箱各裝多少雙鞋? 3.有紅、黃、藍(lán)三色筆共94枝，已知紅色筆比黃色筆的2倍少2枝，黃色筆比藍(lán)色筆的2倍多4枝，求三色筆各多少枝?4.一批貨物，如

28、果用大號(hào)集裝箱要20只箱子，如果用小號(hào)集裝箱裝，要25只箱子，已知大號(hào)箱比小號(hào)箱可多裝貨物200千克，求這批貨物重多少千克? 5.學(xué)校圖書(shū)館購(gòu)買(mǎi)5本科技書(shū)和3本文學(xué)書(shū)共用去1475元，如果用1本文學(xué)書(shū)換回2本科技書(shū)，那么還要用去73元。問(wèn)：科技書(shū)和文學(xué)書(shū)每本的價(jià)格各是多少元?6.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的和是325，如果甲加上lO，乙減去5，丙乘以2，丁除以3，那么四個(gè)數(shù)恰好相等，求丁數(shù)。7.甲、乙兩數(shù)之差是1782，如果將乙的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位就與甲數(shù)相等。求甲、乙兩數(shù)分別是多少?第八講 消去法解題有些較復(fù)雜的應(yīng)用題，給出了兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，在解題時(shí)除了運(yùn)用前一講代換法來(lái)解答，還可以運(yùn)用另

29、一種方法消去法。消去法解題是指在求多個(gè)未知量時(shí)，通過(guò)比較已知條件，分析對(duì)應(yīng)未知數(shù)量的變化情況，設(shè)法消去其中一個(gè)未知量，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例題選講例1:媽媽第一次買(mǎi)了3千克蘋(píng)果和5千克桔子，共用去145元；第二次又買(mǎi)了3千克蘋(píng)果和7千克桔子，共用去185元。蘋(píng)果和桔子的單價(jià)各是多少元?【分析與解答】根據(jù)已知條件寫(xiě)出下列數(shù)量關(guān)系式： 3千克蘋(píng)果的價(jià)格+5千克桔子的價(jià)格=145元 3千克蘋(píng)果的價(jià)格+7千克桔子的價(jià)格=185元 比較、兩個(gè)等式，我們可以看出，145元與185元的差價(jià)正好是(75)千克桔子的價(jià)格。因?yàn)閮纱钨I(mǎi)的蘋(píng)果重量相同，根據(jù)這個(gè)條件，在解答時(shí)可以把3千克蘋(píng)果的價(jià)格消去，先求桔子的價(jià)格，

30、再求蘋(píng)果的價(jià)格。 解：(185145)÷(75) =4÷2 =2(元)桔子的單價(jià) (1452×5)÷3 =45÷3 =15(元)蘋(píng)果單價(jià) 答：蘋(píng)果的單價(jià)是15元，桔子的單價(jià)是2元。例2: 紫金小學(xué)買(mǎi)了4個(gè)足球和12個(gè)籃球，一共用去980元，育才小學(xué)買(mǎi)了同樣的8個(gè)足球和10個(gè)籃球，一共用去1 1 90元。每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元?【分析與解答】先列出數(shù)量關(guān)系式。 4個(gè)足球的價(jià)錢(qián)十12個(gè)籃球的價(jià)錢(qián)=980元 8個(gè)足球的價(jià)錢(qián)+10個(gè)籃球的價(jià)錢(qián)=1190元 與例1比較、兩個(gè)等式中沒(méi)有相同數(shù)量的量，這樣就不能直接消去其中的一個(gè)未知量。那怎么辦呢?仔細(xì)觀

31、察比較、兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式，不難看出式中足球數(shù)量是式中足球數(shù)量的2倍，如果把式中未知量的數(shù)量擴(kuò)大2倍，問(wèn)題就迎刃而解了。 解：根據(jù)已知條件可得8個(gè)足球的價(jià)錢(qián)+24個(gè)籃球的價(jià)錢(qián)：1960元 (1960一1190)÷(24一lO) =770÷14 =55(元)籃球的單價(jià) (98055×12)÷4 =320÷4 =80(元)足球單價(jià) 答：每個(gè)足球80元，每個(gè)籃球55元。練習(xí)與思考1.食堂第一次運(yùn)來(lái)6袋大米和4袋面粉，一共重400千克，第二次又運(yùn)來(lái)9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克?2.小明和小剛?cè)ド痰曩I(mǎi)文具用品，小明買(mǎi)了

32、1枝鋼筆和2塊橡皮共用去14元，小剛買(mǎi)同樣的2枝鋼筆和8塊橡皮共用去36元。問(wèn)：鋼筆和橡皮的單價(jià)各是多少元?，3.文峰水果超市購(gòu)買(mǎi)5筐蘋(píng)果和7筐梨共重135千克，第二天又購(gòu)買(mǎi)了同樣的蘋(píng)果3筐、梨5筐共重85千克。問(wèn)：每筐蘋(píng)果和每筐梨各多少千克?4.學(xué)校買(mǎi)來(lái)5包科技書(shū)和7包故事書(shū)共620本，6包科技書(shū)和3包故事書(shū)420本。問(wèn)：每包科技書(shū)和每包故事書(shū)各多少本?第九講 作圖法解題圖形具有直觀性，用作圖的方法可以將復(fù)雜應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系直觀地表示出來(lái)，使題目的已知條件和所求問(wèn)題一目了然，并借助直觀的圖形進(jìn)行分析、推理，進(jìn)而很快找到解決問(wèn)題的策略。這種方法我們稱(chēng)為作圖法解題，特別是對(duì)解答條件復(fù)雜、數(shù)量關(guān)系

33、不明顯的應(yīng)用題，能起到化難為易的作用。例題選講例1:雞與兔同籠共100只，一共有240只腳雞與兔各多少只? 【分析與解答】這是雞兔同籠問(wèn)題，我們?cè)谇皫字v已學(xué)會(huì)用其它方法解答，現(xiàn)在用作圖法來(lái)解答，讓同，學(xué)們體會(huì)一下這種方法的作用。圖1中兩個(gè)長(zhǎng)方形的總面積表示的是雞與兔腳的總個(gè)數(shù)，寬表示每只雞與兔的腳的個(gè)數(shù)。則長(zhǎng)就是要求的雞與兔的只數(shù)。仔細(xì)觀察圖2，陰影部分的面積表示雞與兔多出的腳，它應(yīng)該等于總面積減空白面積，即2402 x 100=40(只)，那么陰影部分的長(zhǎng)，也就是兔的只數(shù)應(yīng)為40÷(42)=20(只)，雞的只數(shù)就是1OO-20=80(只) 例2:甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相向開(kāi)出，

34、第一次相遇時(shí)離A地有90千米，然后各按原速度繼續(xù)行駛，到達(dá)目的地后立即沿原路返回，第二次相遇時(shí)離B地70千米處，求A、B兩地的路程?！痉治雠c解答】求A、B兩地的路程，題中既沒(méi)有給出甲、乙的速度，也沒(méi)有給出相遇時(shí)間，解答比較困難。下面我們借助線(xiàn)段圖來(lái)幫助分析。從圖上可以看出，甲、乙兩車(chē)從出發(fā)到第一次相遇共行駛了一個(gè)全程，當(dāng)兩車(chē)共行駛1個(gè)全程時(shí)，甲車(chē)行駛了90千米。從第一次相遇到第二次相遇，甲、兩車(chē)又共行駛了2個(gè)全程。因此從出發(fā)到第l二次相遇甲、乙兩車(chē)共行駛了3個(gè)全程，那么甲車(chē)就行駛了3個(gè)90千米，即90×3=270千米，而甲車(chē)比全程多行70千米。所以A、B的距離為27070=200(千

35、米)。練習(xí)與思考 1.有10分和20分的郵票共18張，總面值為280元。請(qǐng)問(wèn)：10分和20分的郵票各有幾張?2.張紅與李明同時(shí)從甲、乙兩地相向而行，第一次兩人相遇時(shí)離乙地400米。然后兩人繼續(xù)步行，各自到達(dá)目的地后立即返回，第二次相遇時(shí)離甲地200米，求甲、乙兩地的距離。3.兩根同樣長(zhǎng)的電線(xiàn),第一根用去60 米，第二根用去20米，剩下的電線(xiàn)，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍。問(wèn)：原來(lái)兩根電線(xiàn)各長(zhǎng)多少米?(先畫(huà)圖再列式計(jì)算)4.在一個(gè)除法算式里，被除除以除數(shù)商是25，余數(shù)是10，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是357，除數(shù)是多少? 5.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)，甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的總和是300，丁數(shù)比甲、乙

36、、丙、丁四個(gè)數(shù)的平均數(shù)少30，求丁數(shù)。6.甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相向而行，第一次相遇時(shí)離A地50千米，相遇后繼續(xù)按原速度行完全程，到達(dá)目的地后返回，第二次相遇時(shí)離A地25千米。問(wèn)：A、B兩地距離是多少千米?7.一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，往返共用20小時(shí)，去時(shí)用的時(shí)間是回來(lái)時(shí)的15倍，去時(shí)的速度比回來(lái)的速度每小時(shí)慢12千米。問(wèn)：往返共行了多少千米?第十講 倒推法解題在我們生活中經(jīng)常會(huì)遇到“還原問(wèn)題”，如把一盒包裝精美的玩具打開(kāi)，再把它重新包裝好，重新包裝的步驟與打開(kāi)的步驟正好相反。其實(shí)在數(shù)學(xué)中，也有許多類(lèi)似的還原問(wèn)題。解決這類(lèi)問(wèn)題最常用的方法就是倒推法，即從結(jié)果入手，逐步向前逆推，最終找到原問(wèn)

37、題的答案。例題選講例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走半，第二只拿走余下的一半多3個(gè)，第三只拿走第二只取剩的一半少3個(gè)，第四只拿走第三只取剩的一半多3個(gè)，第五只拿走第四只取剩的一半，最后還剩3個(gè)，這堆桃原來(lái)有多少個(gè)?【分析與艉答】l|這道題條件比較多，順向思考很困難,如果根據(jù)最后的結(jié)果倒推還原，解決起來(lái)就輕松了。曲于第五只猴子拿走余下的一半，還剩3個(gè)，所以第五只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：3×2=6(個(gè))，同理，第四只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：(6+3)×2=18(個(gè))，第三只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：(183)×2=30(個(gè))，第二只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：(30+3)

38、5;2=66(個(gè))，第一只猴子拿之前應(yīng)該有桃子：66×2=132(個(gè))，即這堆桃有132個(gè)。例2:甲、乙、丙三人各有若干元錢(qián)，甲拿出與乙相同多的錢(qián)給乙，也拿出與丙相同多的錢(qián)給丙；然后乙也按甲和雨手中的錢(qián)分別給甲、丙相同的錢(qián)；最后丙也按甲和乙手中的錢(qián)分別給甲、乙相同的錢(qián)，此時(shí)三人都有48元錢(qián)。問(wèn)：開(kāi)始時(shí)三人各有多少元錢(qián)?【分析與解答】從第三次丙給甲、乙錢(qián)逐步向前推算，根據(jù)三人最后都有48元，那么在丙給甲、乙添錢(qián)之前：甲：48÷2：24(元)， 乙：48÷224(元)， 丙：48+24+2496(元)； 第二次在乙給甲、丙添錢(qián)之前： 甲：24÷212(元)，

39、 乙：24+12+48=84(元)， 丙：96÷2=48(元)； 第一次在甲給乙、丙添錢(qián)之前： 甲：12+42+2478(元)， 乙：84÷2=42(元)， 丙：48÷2=24(元)。 所以開(kāi)始時(shí)甲有78元，乙有42元，丙有24元。例3:甲、乙、丙三人共有48張郵票，第一次甲先拿出與乙的郵票數(shù)相等的張數(shù)給乙；第三次乙拿出與丙的郵票數(shù)相等的張數(shù)給丙；第三次丙又拿出與這時(shí)的甲的郵票數(shù)相等的張數(shù)給甲，最后三人的郵票數(shù)相等，三人原來(lái)各有多少?gòu)堗]票?【分析與解答】此題條件復(fù)雜，因此我們可以用列表的方法，從最后的果一步步按每次的變化倒推，這樣就容易看清題中的數(shù)量關(guān)系了。列表如

40、下：練習(xí)與思考1.張強(qiáng)去銀行取款，第一次取了存款的一半多100元，第二次取了余下的一半少50元，第三次取了余下的一半多50元，這時(shí)他的存折上還剩下575元。問(wèn)：張強(qiáng)原來(lái)有存款多少元?2.書(shū)架上有上、中、下三層書(shū)，共2400本一先從上層拿出與中層同樣多的書(shū)放進(jìn)中層，再?gòu)闹袑幽贸雠c下層同樣多的書(shū)放進(jìn)下層，最后從下層拿出與上層現(xiàn)在同樣多的書(shū)放進(jìn)上層，這時(shí)三層書(shū)同樣多。問(wèn)：開(kāi)始時(shí)，上、中、下三層各有多少本書(shū)?3.做一道整數(shù)加一個(gè)學(xué)生把個(gè)位上的7看作5，把十位上的5看作7，把百位上的9看作6，結(jié)果得出和為775。問(wèn)：正確的答案應(yīng)該是多少?4.有26塊磚，兄弟兩人爭(zhēng)著去挑,弟弟走在前面，剛擺好磚哥哥趕來(lái)了

41、。哥哥見(jiàn)弟弟挑得太多，就拿來(lái)一半給自己。弟弟覺(jué)得自己能行，又從哥哥那里拿來(lái)一半。哥哥不讓?zhuān)艿苤缓媒o哥哥5塊，這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問(wèn)：開(kāi)始時(shí)，弟弟準(zhǔn)備挑多少塊?5.甲、乙、丙三個(gè)瓶子共裝了24升水,現(xiàn)在把甲瓶的水分別倒給乙、丙兩瓶，使乙、丙兩瓶的水比原來(lái)增加1倍；之后，又將乙瓶的水按上面的要求倒給甲、丙；最后，再按上面的要求將丙瓶的水倒一部分給甲、乙兩瓶，這樣倒了三次后，三個(gè)瓶中的水一樣多。問(wèn)：開(kāi)始時(shí)甲、乙、丙三瓶各裝水多少升?第十一講 分?jǐn)?shù)大小的比較在分?jǐn)?shù)計(jì)算中經(jīng)常要比較分?jǐn)?shù)的大小，同學(xué)們已經(jīng)知道根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以將兩個(gè)異分子分母的分?jǐn)?shù)變?yōu)榉肿酉嗤蚍帜赶嗤那闆r進(jìn)行比較。但在有些

42、時(shí)候比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，要根據(jù)分?jǐn)?shù)的具體情況采取靈活的方法來(lái)比較它們的大小，這一講我們就來(lái)研究比較分?jǐn)?shù)大小的方法。例題選講例1:比較 、和，這三個(gè)分?jǐn)?shù)中最大的是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)?最小的是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)?【分析與解答】仔細(xì)觀察這三個(gè)分?jǐn)?shù)，分子、分母都不相同，如果把它們通分比較當(dāng)然可以，但較麻煩。再看分5子，都是60的約數(shù)，因此可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將這三個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子都是60的分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行比較 解：=，=，= 因?yàn)?> > ，所以 > > ，即 最大， 最小。例3:比較右兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大?。汉?。【分析與解答】觀察這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，它們的分子和分母都不相同，用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把它們變?yōu)榉肿酉嗤?/p>

43、分母相同來(lái)比較都很麻煩。這時(shí)我們可以借助一個(gè)中間數(shù)“”作為“橋梁”進(jìn)行間接比較。解：因?yàn)?gt; ，而> ，所以>。練習(xí)與思考1把下面各組中的分?jǐn)?shù)按從大到小的 順序排列： 、 2已知 > > ，（ ）中可以填人的最大整數(shù)是多少?最小整數(shù)是多少? 3比較下列兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大?。汉?。 4比較和的大小。5寫(xiě)出三個(gè)大于而小于的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)。6在分?jǐn)?shù)、中，最大的是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)?最小的是哪一個(gè)分?jǐn)?shù)?第十二講 分?jǐn)?shù)求和的解題技巧在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常常遇到一些分?jǐn)?shù)求和的問(wèn)題。當(dāng)然，這些求和的問(wèn)題并不是只用一般通分的方法就能解決的。這一講我們來(lái)研究一些特殊的分?jǐn)?shù)求和的解題技巧。例題選講例1:先觀察下

44、列各式的特點(diǎn)，找出規(guī)律再解答下列各題。（1）+ （2）+【分析與解答】仔細(xì)觀察這兩組算式，不難發(fā)現(xiàn)從第二個(gè)分?jǐn)?shù)開(kāi)始，每個(gè)分?jǐn)?shù)都是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的一半，如果加上與它相同的分?jǐn)?shù)就得到前面的分?jǐn)?shù)了。因此我們可以借一個(gè)分?jǐn)?shù)先加，最后再減去。如第(1)小題借 逐次往左遞加就得到2個(gè) ，最后第(1)題結(jié)果就是 ×2=同學(xué)們想一想，第(2)題該如何解答 ? 例2:從計(jì)算了前五道算式的結(jié)果中找出規(guī)律，填寫(xiě)出第六道算式的結(jié)果。+=1=+=2=+=1=+=3=+=2=+=？【分析與解答】上面六道算式是求分母為3、4、5、6、7、8的所有真分?jǐn)?shù)的和。觀察計(jì)算結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)分母增加1，結(jié)果就遞增，如果每題結(jié)果都

45、用2做分母，于是我就可以看出，分母是幾的所有真分?jǐn)?shù)的和都可以寫(xiě)成以2為分母，分子是比分母少1的分?jǐn)?shù)。因此第六道算式的結(jié)果為 。練習(xí)與思考1計(jì)算下列各題：（1）+ （2）12計(jì)算：+3計(jì)算：1+2+4+256+5124（+）+（+）+（+）+（+）+ 第十三講 平均數(shù)專(zhuān)題簡(jiǎn)析把幾個(gè)不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過(guò)移多補(bǔ)少，使它們完全相等，求得的相等的輸就是平均數(shù)。如何靈活運(yùn)用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問(wèn)題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)例1某3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是2，如果把其中一個(gè)數(shù)改為4，平均數(shù)就變

46、成了3，被改的數(shù)原來(lái)是多少？分析解答： 原來(lái)三個(gè)數(shù)的和是2×3=6，后來(lái)個(gè)數(shù)的和是3×3=9，9比6多出了3，是因?yàn)榘涯莻€(gè)數(shù)改成了4，因此，原來(lái)的數(shù)應(yīng)該是4-3=1。3×3-2×3=34-3=1答：被改的數(shù)原來(lái)是1。隨堂練習(xí)：1、已知九個(gè)數(shù)的平均數(shù)是72 ，去掉一個(gè)數(shù)后，余下數(shù)的平均數(shù)是78，去掉的數(shù)是多少？2、有五個(gè)數(shù)，平均數(shù)是9，如果把其中的一個(gè)數(shù)改為1，那么這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8。這個(gè)改動(dòng)的數(shù)原來(lái)是多少？例2把五個(gè)數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)時(shí)38，前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是27，后三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是48，中間一個(gè)數(shù)是多少？分析解答： 先求五個(gè)數(shù)的和：38

47、5;5=190。在秋初前三個(gè)數(shù)的和：27×3=81，后三個(gè)數(shù)的和：48×3=144。用前三個(gè)數(shù)的和加上后三個(gè)數(shù)的和，這樣，中間的那個(gè)書(shū)就算了兩次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個(gè)數(shù)。 27×3+48×3-38×5=35答：中間一個(gè)數(shù)是35。隨堂練習(xí)：1、甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲乙的平均年齡是18歲，乙丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？2、十名參賽者平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？拓展訓(xùn)練1、 化肥廠(chǎng)在一星期前3天平均每天生產(chǎn)化

48、肥250噸，后4天共生產(chǎn)化肥1126噸， 這個(gè)星期平均每天生產(chǎn)化肥多少?lài)崳?、 修一條渠，第一天修3小時(shí)，平均每小時(shí)修4.5千米;第二天修5小時(shí),平均每小時(shí)修5.3千米,這兩天平均每天修多少千米?平均每小時(shí)修多少千米?第十四講 倍數(shù)問(wèn)題（一） 專(zhuān)題分析：倍數(shù)問(wèn)題是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的重要內(nèi)容之一，它是指已知幾個(gè)數(shù)的和或者差以及幾個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。    解答倍數(shù)問(wèn)題，必須先確定一個(gè)數(shù)（通常選用較小的數(shù)）作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，即1倍數(shù)，再根據(jù)其他幾個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)的關(guān)系，確定“和”或者“差”相當(dāng)于這樣的幾倍。最后用用除法求出1倍數(shù)。  &#

49、160; 和數(shù)÷（倍數(shù)1）較小數(shù)    差數(shù)÷（倍數(shù)1）較小數(shù)例1 兩根同樣長(zhǎng)的鐵絲，第一根剪去18米，第二根剪去26米，余下的鐵絲第一根是第二根的3倍。原來(lái)兩根鐵絲各長(zhǎng)多少米？分析解答：這兩根鐵絲的差保持不變，而剩下的鐵絲的差依然是原來(lái)鐵絲的差。根據(jù)余下的鐵絲第一根是第二根的3倍。則余下的鐵絲相差2倍。這樣很容易計(jì)算第二根余下的鐵絲是：（2618）÷（31）4（厘米）則原第二根鐵絲長(zhǎng)30厘米。隨堂練習(xí)：1、兩根繩子一樣長(zhǎng)，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)多少米？2、一筐蘋(píng)果和一筐

50、梨的個(gè)數(shù)相同，賣(mài)掉40個(gè)蘋(píng)果和5個(gè)梨后，剩下的梨是蘋(píng)果的6倍。原來(lái)兩筐水果一共有多少個(gè)？例2 甲組有圖書(shū)是乙組的3倍，若乙組給甲組6本，則甲組的圖書(shū)是乙組的5倍。原來(lái)甲組有圖書(shū)多少本？分析解答：甲組的圖書(shū)是乙組的3倍，若乙組拿出6本，甲組相應(yīng)的也拿出6×318（本），則甲組仍是乙組的3倍，事實(shí)上甲組不但沒(méi)有拿出18本，反而接受了乙組的6本，這樣24本正好對(duì)應(yīng)后來(lái)兩組的（532）倍。因此后來(lái)乙組的圖書(shū)是：（6×36）÷（53）12（本）。則原來(lái)乙組為18本，甲組就是18×354（本）。隨堂練習(xí)：1、原來(lái)小明的畫(huà)片是小紅的3倍，后來(lái)二人個(gè)買(mǎi)了5張，這樣小明的

51、畫(huà)片就是小紅的2倍。原來(lái)二人各有多少?gòu)埉?huà)片？2、一個(gè)書(shū)架分上下兩層，上層的書(shū)的本數(shù)是下層的4倍，從下層拿出5本放入上層后，上層的本數(shù)正好是下層的5倍。原來(lái)下層有幾本書(shū)？拓展訓(xùn)練1、幼兒園買(mǎi)來(lái)的蘋(píng)果的個(gè)數(shù)是 梨的3倍，吃掉10個(gè)梨和6個(gè)蘋(píng)果后，還有蘋(píng)果正好是梨的5倍。原來(lái)買(mǎi)來(lái)蘋(píng)果和梨共多少個(gè)？2、兩個(gè)數(shù)的和是682，其中一個(gè)數(shù)的個(gè)位是0，如果把這個(gè)0去掉，就得到另一個(gè)數(shù)。這兩個(gè)數(shù)各是多少？ 第十五講 倍數(shù)問(wèn)題（二） 例1 幼兒園買(mǎi)來(lái)蘋(píng)果的個(gè)數(shù)是梨的2倍，如果每組領(lǐng)3個(gè)梨和4個(gè)蘋(píng)果，結(jié)果梨正好分完，蘋(píng)果還剩16個(gè)。兩種水果原來(lái)各有多少個(gè)？分析解答：因?yàn)樘O(píng)果是梨的2倍，如果每組領(lǐng)梨3個(gè)，領(lǐng)蘋(píng)果就應(yīng)為

52、6個(gè)，這樣才會(huì)一起分完。可實(shí)際每組只分4個(gè)蘋(píng)果，少分2個(gè)，剩下的16個(gè)蘋(píng)果就告訴我們有8個(gè)組。因此蘋(píng)果的個(gè)數(shù)是：8×41648（個(gè)），梨有24個(gè)。隨堂練習(xí)：同學(xué)們帶著水果去看敬老院的老人，帶的蘋(píng)果是橘子的3倍，如果每位老人拿2個(gè)橘子和4個(gè)蘋(píng)果，那么，橘子正好分完，蘋(píng)果還多14個(gè)。問(wèn)同學(xué)們把蘋(píng)果分給了幾位老人？ 例2 有兩筐橘子，如果從甲筐拿出8個(gè)放進(jìn)乙筐，兩筐的橘子就同樣多；如果從乙筐拿出13個(gè)放到甲筐，甲筐里的橘子是乙筐的2倍。甲乙兩筐原來(lái)各有多少個(gè)橘子？分析解答：“如果從甲筐拿出8個(gè)放進(jìn)乙筐，兩筐的橘子就同樣多；”表示兩筐橘子相差16個(gè)，“如果從乙筐拿出13個(gè)放到甲筐，”表示現(xiàn)在

53、兩筐的橘子差距是1613×242（個(gè)）“甲筐里的橘子是乙筐的2倍”說(shuō)明現(xiàn)在倍數(shù)差是211（倍），這樣就可以計(jì)算現(xiàn)在乙筐的橘子數(shù)是：42÷142（個(gè)）則原來(lái)就是55個(gè)。甲筐的計(jì)算就容易了。隨堂練習(xí)：甲乙倉(cāng)庫(kù)存有貨物，若從甲倉(cāng)庫(kù)取31噸放入乙倉(cāng)庫(kù)，則兩倉(cāng)庫(kù)存貨物同樣多；若乙倉(cāng)庫(kù)取14噸放入甲倉(cāng)庫(kù)，則甲倉(cāng)庫(kù)的貨物是乙倉(cāng)庫(kù)的4倍。原來(lái)兩倉(cāng)庫(kù)各存貨物多少?lài)崳?拓展訓(xùn)練1、養(yǎng)雞場(chǎng)新買(mǎi)來(lái)100只小雞，其中，母雞只數(shù)的4倍比公雞只數(shù)的3倍多120只。買(mǎi)來(lái)母雞、公雞各多少只？思路：題中已知母雞和公雞只數(shù)的和是100只，就可以計(jì)算它們的4倍是400只。又因?yàn)槟鸽u只數(shù)的4倍比公雞只數(shù)的3倍多12

54、0只，從400只去掉120只，就是公雞只數(shù)的7倍，則公雞的只數(shù)是40只，母雞就是60只。2、有兩塊地共有80公頃，第一塊地的3倍比第二塊地的2倍少10公頃。這兩塊地各有多少公頃？3、養(yǎng)雞場(chǎng)的母雞只數(shù)是公雞的6倍，后來(lái)公雞和母雞各增加60只，結(jié)果母雞的只數(shù)就是公雞的4倍。原來(lái)養(yǎng)雞場(chǎng)一共養(yǎng)了多少只雞？思路：養(yǎng)雞場(chǎng)原來(lái)母雞的只數(shù)是公雞的6倍，如果公雞增加60只，則母雞應(yīng)增加360只，這樣才能保證母雞是公雞的6倍，實(shí)際上母雞只增加了60只，少增加的300只就是母雞只數(shù)是公雞只數(shù)的4倍。所以現(xiàn)在的公雞數(shù)是：60×（61）÷（64）150（只）原來(lái)的總數(shù)為：（15060）×（

55、16）630（只）。4、今年，爸爸的年齡是小明的6倍，再過(guò)4年，爸爸的年齡就是小明的4倍。今年小明多少歲？練習(xí)七：第十六講 假設(shè)法解題專(zhuān)題分析：假設(shè)法解題是一種常用的思維方法，在一些應(yīng)用題中，要求兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，思考時(shí)可以先假設(shè)要求的兩個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)相等，或者先假設(shè)兩種要求的未知量是同一種量，然后按題中的已知條件進(jìn)行推算，并對(duì)照已知條件，把數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾加以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，最后找到答案。例1 有5元和10元的人民幣共14張，共100元，問(wèn)5元和10元的人民幣各多少?gòu)垼糠治鼋獯穑合燃僭O(shè)有14張5元的，則總數(shù)是70元，那么與實(shí)際相差30元，所以這30元就是10元人民幣少出來(lái)的，因此10遠(yuǎn)人民

56、幣的張數(shù)是30÷（105）6（張）。也可以假設(shè)有14張10元的隨堂練習(xí)：1、籠中共有雞兔100只，雞和兔的腳共248只，求籠中雞兔各多少只？2、一堆2分和5分的硬幣共39枚，共值1.5元。問(wèn)2分和5分的銀幣各有多少枚？3、營(yíng)業(yè)員把一張5元的人民幣和一張5角的人民幣換成了28張票面為一元和一角的人民幣。求換來(lái)的這兩種人民幣各多少?gòu)?？? 有一元、二元、五元的人民幣50張，總面值為116元。已知一元的比二元的多2張，問(wèn)三種面值的人民幣各有多少?gòu)?？分析解答：如果減少2張一元的，那么，總張數(shù)就是48張，總面值就是114元，這樣一元和二元的張數(shù)就同樣多了。假設(shè)48張都是5元的，則總面值為240

57、元，比實(shí)際多了126元，這126元不僅包括把一元的假設(shè)為5元，而且包括把二元的假設(shè)為5元，這樣在兩張5元中就多了7元。所以二元的就有18張，一元的就有20張，五元的有12張。隨堂練習(xí)：1、有3元、5元和7元的電影票400張，一共價(jià)值1920元。其中7元的和5元的張數(shù)相等，三種價(jià)值的電影票各有多少?gòu)垼?、有一元、五元、十元的人民幣共14張，總計(jì)66元，其中一元的比十元的多2張，問(wèn)三種人民幣各有多少?gòu)垼?、有1角、2角、4角、5角的郵票共26張，總計(jì)6.9元。其中，1角和2角的張數(shù)相等，4角和5角的張數(shù)相等。求這四張郵票各有多少?gòu)?？拓展練?xí)1、有黑白棋子一堆，其中黑子個(gè)數(shù)是白子個(gè)數(shù)的2倍。如果從這堆棋子中每次取出黑子4個(gè)，白子3個(gè)，那么取了多少次后，白子余1個(gè)，而黑子余18個(gè)？思路：假設(shè)每次取出3個(gè)白子，黑子應(yīng)取出6個(gè)，那么白子剩下1個(gè)時(shí)，黑子應(yīng)剩下2個(gè)。而實(shí)際剩下了18個(gè)，是因?yàn)槊看紊偃×?個(gè)黑子。所以取了（18）÷（64）8（次）。2、有黑白棋子一堆，其中黑子個(gè)數(shù)是白子個(gè)數(shù)的3倍。如果從這堆棋子中每次同時(shí)取出黑子6個(gè)，白子3個(gè)，那么取了多少次后，白子余5個(gè)