6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1、6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示課標(biāo)要求素養(yǎng)要求掌握數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法那么,理解用 坐標(biāo)表示平面向量共線的條件,掌握三 點(diǎn)共線的判斷方法.通過數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算,理解平面向 量共線的坐標(biāo)表示形式,體會數(shù)學(xué)運(yùn)算 及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)知識探究教材知識探究B情境粉貝貝和晶晶同做一道數(shù)學(xué)題：“一人從A地到E地,依次經(jīng)過B地、C地、D地,且相鄰兩地之間的距離均為 502 km.問從A地到E地的行程有多少 其解答方法是：國 八貝貝：502+502+502+ 502=1 004+ 502+502=1 506+ 502=2 008(km).晶晶：502X4 = 2 008(km).可以看出,晶晶的計(jì)

2、算較簡捷,乘法是加法的簡便運(yùn)算,構(gòu)建了乘法運(yùn)算體系后, 給一類問題的解決帶來了很大的方便.問題1當(dāng)a/ b時(shí),a, b的坐標(biāo)成比例嗎提示橫縱坐標(biāo)均不為0時(shí)成比例.問題2如果兩個(gè)非零向量共線,你能通過其坐標(biāo)判斷它們是同向還是反向嗎提示 能.將b寫成2a形式,A0時(shí),b與a同向,入0時(shí),b與a反向.除新嘮理1 .平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x, y),那么有 電=(入x入),這就是說實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這 個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).2 .平面向量共線的坐標(biāo)表示利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算解決共線問題時(shí)可減少運(yùn)算量且思路簡單明快設(shè)a=(x1, y1), b= (x2, y2),其中bw0

3、.向量a, b(bw0)共線的充要條件是x1y2X2y1= 0.)3.中點(diǎn)坐標(biāo)公式x1 + x2X=Q ,假設(shè)Pi,P2的坐標(biāo)分別是(xi,yi),(x2,y2),線段PiP2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),x -2 ,_y1+y2y 2 ,那么此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.,教材拓展補(bǔ)遺微判斷xi x21 .右向重 a=(x1,yi), b= (x2, y2),且 a/b,那么 口= £.(x )2 .假設(shè)向量 a=(xi,yi),b=(x2,y2),且xiyi x2y2= 0,那么 a/b.(X)3 .假設(shè)向量 a=(xi,yi),b=(x2,y2),且xiy2 x2yi =

4、 0,那么 a / b.(V)提小 1.當(dāng)丫1/ = 0時(shí)不成立.兩向量共線的坐標(biāo)表示為xiy2 x2yi = 0,故2錯(cuò),3正確.微練習(xí)1 .平面向量 a=(i, 2), b=(2, m),且 a/b,那么 2a+3b=()A.( -2, -4)B.(-3, -6)C.(-4, -8)D.(-5, 10)解析 由 a/ b 得到 m = 4,所以 b=(2, 4),所以 2a+3b= (2, 4)+(6, 12) = ( 4, -8).答案 C2 .向量 a=(2, 4), b=(i, 1),那么 2ab =.解析 2a- b=2(2, 4)-(-1, 1)=(5, 7).答案(5, 7)3

5、 .P(2, 6), Q(-4, 0),那么PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為.解析 根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一1, 3).答案 (一1, 3)微思考1 .向量(共線)平行的用途是什么提示 利用向量平行(共線)可以證實(shí)向量共線、三點(diǎn)共線,解決有關(guān)平行問題.2 .當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí),如何利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)提示當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí),利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求點(diǎn)的坐標(biāo).比方A, B, P三點(diǎn)共線且|動|=3|陌,如果知道點(diǎn)A, B的坐標(biāo)就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).事實(shí)上,由|茹|=3|m|且A, B, P三點(diǎn)共線,可知AP=3PB或AP= 3PB,這樣根據(jù)向量 的坐標(biāo)運(yùn)算就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).課堂互動能型剖

6、折H題型一 向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例 11 a=(1, 2), b=(2, 1),求： (1)2a+3b; (2)a-3b;1 1(3)1a- 1b.可先進(jìn)行數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算,再進(jìn)行向量坐標(biāo)加減運(yùn)算2 3解 (1)2a+3b = 2(1, 2)+ 3(2, 1)=(2, 4)+(6, 3)=(4, 7).(2)a3b=(1, 2) 3(2, 1)=(1, 2)-(6, 3)=(7, - 1).2a H 1, 2) 一,2, 1)= -2, 1 二 二3' 37 2二6' 3 .規(guī)律方法 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減運(yùn)算法那么及數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行,解題時(shí) 要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)

7、算法那么【練習(xí) 11(1)向量 a=(5, 2), b=(4, 3),假設(shè) c 滿足 3a 2b+c=0,那么 c=()A.(-23, 12)B.(23, 12)C.(7, 0)D.(-7, 0)(2) M(3, 2), N(-5, 1), IMP = 2MN,那么 P 點(diǎn)坐標(biāo)為.解析(1)由 3a2b+c=0, .c= 3a +2b= 3(5, 2)+2( 4, 3)=( 23, 12), c=( 23, 12).13(2)設(shè) P(x, y), a IMP=(x 3, y+ 2), MN = (8, 1),由MP=MN得 P 1,一.一、3答案(1)A (2)1, -2題型二 向量平行(共線

8、)的判定在利用向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行判定時(shí),易出現(xiàn)坐標(biāo)之間的搭配錯(cuò)誤而致誤的情況【例2】(1)以下向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是()A.ei=(0, 0), e2= (1, 2)B.ei=(1, 2), &=(5, 7)C.ei = (3, 5), e2=(6, 10)13D.e1=(2, -3), 62= 2,41解析 A中向重e1為零向重,e1/e2； C中e1 = e2,e1 / e2； D 中 e1 = 4e2,e1 / e2,應(yīng)選 B.答案 B(2)a=(1, 2), b = ( 3, 2),當(dāng)k為何值時(shí),ka+b與a 3b平行平行時(shí)它 們是同向還是反向解 ka+b=

9、k(1, 2)+(3, 2)=(k3, 2k+ 2),a 3b= (1, 2)-3(-3, 2) = (10, 4),ka+b 與 a3b 平行,. . (k 3)X(-4)-10(2k+ 2) = 0,-1解得k=-31 八 2 一 1此時(shí) ka+b= -3-3, -3+ 2 =_3(a _ 3b),當(dāng)k= 3'時(shí),ka+b與a3b平行,并且反向.規(guī)律方法1.向量共線的判定方法利用向董并宣的電標(biāo)表造 式“1廠10產(chǎn)H直接證實(shí)利用手歧向量定理,由 推出a/訥2利用向量平行的條件求參數(shù)值的思路(1)利用共線向量定理a= ；b(bw0)列方程組求解.(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式直接求解.

10、【練習(xí) 2 假設(shè)a=(y/3,coso),b=(3, sina),且 a/b,那么銳角 后解析: a=(V3, cos o), b=(3, sin 蟲,all b,3sin a 3cos a= 0,即 tan 貨二 3,Pc冗工A冗又 0< 0<,故 a= 3.答案1 3題型三三點(diǎn)共線問題向量共線的坐標(biāo)表示是解決點(diǎn)共線求參數(shù)問題中列方程的重要依據(jù)【例 3】(1)OA=(k, 2), OB=(1, 2k), OC=(1-k, 1),且相異三點(diǎn) A, B, C共線,那么實(shí)數(shù)k=.解析 AB = OB OA = (1 k, 2k2), AC=OCOA= (1 2k, 3),由題意可 知A

11、B/AC,所以(一3)X(1 k)(2k2)(12k) = 0,解得 k= 4或卜=1,當(dāng) k= 1時(shí),A, B重合,故舍去.1答案； A(-1, 1), B(1, 3), C(1, 5), D(2, 7),向量 AB與CD平行嗎直線AB平行于直線CD嗎解 由于茹=(2, 4), CD = (1, 2),又由于 2X2 4X1=0,所以AB/CD,由于AC=(2, 6), AB=(2, 4),所以 2X42X6W0,所以A, B, C三點(diǎn)不共線,所以直線 AB與直線CD不重合,所以AB/CD.規(guī)律方法三點(diǎn)共線的條件及判斷方法(1)假設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y

12、3),那么 A, B, C 三點(diǎn)共線的條件為(x2 x1)(y3 y1) (x3 X1)(y2 y1) = 0.(2)假設(shè)三點(diǎn)的坐標(biāo),判斷其是否共線可采用以下兩種方法：直接利用上述條件,計(jì)算(x2x1)(y3y.一 (x3x1)(y2 y1)是否為0;任取兩點(diǎn)構(gòu)成向量,計(jì)算出兩向量,如 Afe, AC,再通過兩向量共線的條件進(jìn)行 判斷.1【練習(xí)3】 A(1, 3), B 8, 2 , C(9, 1),求證：A, B, C二點(diǎn)共線.一 一1 一 7證實(shí) AB= 8-1, 2 + 3 = 7, 2 ,AC=(91, 1 + 3)=(8, 4),v7X4-|x 8 = 0,.AB/AC,且麗,AC有

13、公共點(diǎn)A,.A, B, C三點(diǎn)共線.核心素養(yǎng):至面提升IB i II i一、素養(yǎng)落地1 .通過數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過學(xué)習(xí)三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示方法提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2 .兩個(gè)向量共線條件的表示方法 a=(xi, yi), b=(x2, y2),當(dāng)bw0時(shí),a= /b.(2)xiy2 X2yi = 0.(3)當(dāng)X2y2*0時(shí),不=",即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例.X2 y23 .兩向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用,可分為兩個(gè)方面兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線.聯(lián)系平面幾何平行、共線知識,可以證實(shí) 三點(diǎn)共線、直線平行等幾何問題.要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線、 平行.(2)兩

14、個(gè)向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo),求參數(shù)的值,求軌跡方程.要注意方程 思想的應(yīng)用,向量共線的條件,向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).二、素養(yǎng)練習(xí)1 .以下各組向量中,共線的是()A.a=( 2, 3), b=(4, 6)B.a=(2, 3), b=(3, 2)C.a=(1, 2), b=(7, 14)D.a=( 3, 2), b=(6, -4)解析 選項(xiàng)A中,3X 4-(-2)X60,那么a與b不共線；同理,B, C中的兩向 量不共線；選項(xiàng) D中,2X6( 3)X(4)=0,那么有a/b.答案 D2 .向量a=(2, 1), b=(x1, 2),假設(shè)a/b,那么實(shí)數(shù)x的值為()A.2B.-2C

15、.3D.-3解析 由于 a/ b,所以 2X2(1)x(x1)=0,彳# x= -3.答案 D3 .假設(shè)點(diǎn) A(2, 0), B(3, 4), C(2, a)共線,那么 a =.解析AB=(5, 4), AC=(4, a),由于 A, B, C 三點(diǎn)共線,所以 AB/AC,故 5a ,1616 = 0,所以 a = 516答案旨54 .與向量a=( 3, 4)平行的單位向量是 解析 設(shè)與a平行的單位向量為e= (x, y),那么x2+y2=1,4x+3y= 0,3序4y53x= 5,4 v= -5.根底達(dá)標(biāo)、選擇題1 .向量 a=(3, 5), b=(cos a, sin o),且 a/A.|

16、b5B.3b,那么tan l等于( d.-!解析 由 a/ b,彳3 5cos a 3sin a= 0,即 tan a=53.答案 B2 .以下向量中,與向量A.(5, 4)c.3,1c=(2, 3)不共線的一個(gè)向量p等于()c /38. 1,萬c 1 1D. 3' 2A中向量與c解析 由于向量c= (2, 3),對于A, 2X4 3X 5= 7W0,所以 不共線.答案 A 3.以下各組向量中,能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是A.ei=(2, 2), e2=(1, 1)B.ei=(1, 2), &=(4, -8)C.ei = (1, 0), e2=(0, -1)1 .

17、D.e1=(1, 2), 62= 2,1解析 選項(xiàng)C中,a, e2不共線,可作為一組基底.答案 C4 .向量 a=(1, 2), |b|=4|a|, a/ b,那么 b可能是()A.(4, 8)B.(8, 4)C.(-4, -8)D.(-4, 8)解析由a/ b可排除A, B, C,應(yīng)選D.答案 D5 .向量區(qū)=(k, 12), PB=(4, 5),比=(10, k),假設(shè) A, B, C 三點(diǎn)共線,那么 k 的 值為()A.-2B.11C.2 或 11D.2 或 11解析 AB=PB-FA=(4-k, 7), BC=無一附=(6, k- 5),由題知麗/吃, 故(4k)(k5)(7)X6=

18、0,解得 k=11 或 k= -2.答案 C二、填空題6 .設(shè)向量a=(1, 0), b=(1, 1),假設(shè)向量2a+b與向量c= (6, 2)共線,那么實(shí)數(shù) 入=.解析2a+b=(入 0)+(1, 1) = (狂 1, 1),由于(a+b)/c,所以 2(狂 1) 6=0,解得人=2.答案 2., 一 1 7.A(2, 0), B(0, 2),假設(shè)AC = AB,那么點(diǎn)C的坐標(biāo)是.3解析 設(shè) C(x, y),那么AC=(x 2, y),麗=(2, 2),所以(x2, y)= I,弓,得 x=g, y=(,3 3334 2答案4, 2 3 38.設(shè)5A=(2, 1), OB=(3, 0), O

19、C=(m, 3),假設(shè) A, B, C 三點(diǎn)能構(gòu)成三角形, 那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析 /A, B, C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形, aB, aC不共線.又. Afe=(1, 1), AC=(m2, 4),1X41X(m2)w0.解得mw 6.m的取值范圍是m|m C R且mw 6.答案m|mCR 且 mw6三、解做題9 .如下圖,在平行四邊形 ABCD 中,A(0, 0), B(3, 1), C(4, 3), D(1 , 2), M,N分別為DC, AB的中點(diǎn),求AM, CN的坐標(biāo),并判斷AM, CN是否共線.5 53 1解由可得m 2,2,n 2,萬,5 5-55所以aM= - 2 , CN= -

20、2,一萬,5- 2X5- 22 =0,所以AM和CN共線.10 . A( 2, 4), B(3, 1), C(-3, 4)且CM = 3CA, CN=2CB,求點(diǎn) M,N的坐標(biāo).證實(shí) 法一vA(-2, 4), B(3, 1), C(-3, 4), .CA=( 2, 4)-(-3, 4) = (1, 8),CB=(3, 1)( 3, 4)=(6, 3).v(CM = 3CA, CN = 2CB, .CM = 3(1, 8) = (3, 24), CN=2(6, 3) = (12, 6).設(shè) M(xi, yi), N(x2, y2), .CMl = (xi + 3, yi + 4) = (3, 2

21、4),x2 + 3=i2, y2 + 4 = 6.x2=9,y2=2.CN = (x2+3, y2 + 4)=(12, 6),xi + 3= 3,yi + 4=24,xi = 0,解得 ccy1 = 20, .M(0, 20), N(9, 2).法二設(shè)O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 那么由 CMl = 3CA, cN=2CB,可得 Om OC=3(OAOC),On-OC=2(oB-OC), OMl = 3OA 2Ot, ON = 2OB OC. OMl = 3(2, 4)-2(-3, 4)=(0, 20),ON = 2(3, 1)(3, 4) = (9, 2). .M(0, 20), N(9, 2).水平提

22、升111.平面上有A(2, 1), B(1, 4), D(4, 3)三點(diǎn),點(diǎn)C在直線AB上,且AC = 21B C,連接DC延長至E,使|C EfE D|,那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為.解析.京=2吃, .A為BC的中點(diǎn),AC = BA,設(shè) C(xc, yc),那么(xc2, yc+1) = (1, 5),.C點(diǎn)的坐標(biāo)為(3, 6),又|庭| = 4由|,且E在DC的延長線上,.CE=-1ED,4,設(shè) E(x, y), 1,八、那么(x 3, y+ 6)= 4(4 x, -3-y),x3= 1(4 x),8得d解得3,1y+6= 4 (3-y) ,y= -7.故點(diǎn)E的坐標(biāo)是I, 7 .38 答案 3, 一712