人教版選修4-5第1章1.2基本不等式(二)

1、253C.a3+ b3+ c3 3abcD.a + b + c 3 3 abc解析 由 a2+ b2 2|ab|= |a|2 2|ab|+ |b|2=(|a| |b|)20,故選 A.答案2.函數(shù)y= x2(1 5x) 0 x 2|ab|()B.a+ b2 ab答案 A3._已知實數(shù) a, b, c 滿足 a+ b+ c= 0, a2+ b2+ c2= 1,則 a 的最大值是_解析利用不等式求解.因為 a+ b+ c= 0,所以 b+ c= a.因為 a2+ b2+ c2= 1, 所以一 a2+ 1 = b2+ c2=(b+ c)2 2bc= a2 2bc,所以 2a2 1 = 2bc b2+

2、 c2= 1 a2,所以 3a22,所以 a2 33a+ b b+ c a+ c當(dāng)且僅當(dāng) a= b= c 時，等號成立.知識點 2 利用平均值不等式求最值【例 2】 若正數(shù) a, b 滿足 ab= a+ b+ 3,求 ab 的取值范圍.解 方法一：ta、b R+,且 ab= a+ b+ 3333ab， a3b381ab.又 ab0， a2b2 81. ab9（當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時，取等號）. ab 的取值范圍是9，+）.方法二：tab- 3= a+ b2 . ab， ab2 .ab 30 且 ab0，ab3,即 ab9(當(dāng)且僅當(dāng) a= b 時取等號) ab 的取值范圍是9,+x).反思感悟：

3、注意平均值不等式應(yīng)用的條件是三個正數(shù)在求最值時，等號成立時未知數(shù)的值，如果不存在使等號成立的未知數(shù)的值，則最值不存在話變式遷移解tx(0,昜二 sin x0, y0.2 2 22. 242sin xcos xcos xy = sin xcosx=.丿=応丿=54= 27.故 yw27=彳3，此時，2sin2x= cost, tan2x=2,y 有最大值晉.J_1_a+ b b+ c a+ c (a + b + c)a+ b + c+土9.定要求出、22.求 y= sin xcosx，x 0，2 的最大值.1 2sin2x+。0 乙+ cofx31(238 4三 2知識點 3 平均值不等式的實際

4、應(yīng)用【例 3】 某產(chǎn)品今后四年的市場需求量依次構(gòu)成數(shù)列an,1, 2, 3, 4,并預(yù)測到年需求量第二年比第一年增長的百分率為Pi，第三年比第二年增長的百分率為 P2,第四年比第三年增長的百分率為P3,且 Pi+ P2+ P3= 1給出如下數(shù)據(jù)：2 2 1127,5,3,13則其中可能成為這四年間市場需求量的年平均增長率的是()A.BEC.D.解析 設(shè)這四年間市場年需求量的年平均增長率為x(x0),則 a4= a1(1 + x)3= a1(1 + P1)(1 + P2)(1 + P3), (1 + X)3= (1 + P1)(1 + P2)(1 + P3),3 (1 + X) = (1 + P

5、1)(1 + P2)(1 + P3)1 + P1+ 1+ P2+ 1 +P3|43三3=引.411 + x 3,即卩 X0, b0, c0.它的表面積 S= 2(ab+ bc+ ca) 2X3 (abc)2= 600.當(dāng)且僅當(dāng) a= b= c= 10 (cm)時取“=”號.所以它的表面積 S 的最小值為 600 cm2.答案 600課堂小結(jié)利用基本不等式解決實際問題的步驟：(1)理解題意，設(shè)出變量，一般設(shè)變量時,把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問 題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最 小值；回答實際問題.隨堂演練1.設(shè)

6、 f(x) = In x, Ovavb,若 p= f( ab), q = fa2r, r = 2(f(a)+ f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()A.q=rvpC.q= r p解析 利用對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷p, q, r 之間的相等與不等關(guān)系.因為 ba0,故a0)為增函數(shù)，所以 fAfJab),即 1 1qp.又 r = 2(f(a)+ f(b) = 2 a+ ln b) = ln , ab= p.答案 B.5 r x 4x+ 5 ,2. 已知 x，則 f(x)二 2x2x_4 4 有()B.p=rvqD.p= r q4._ 用長為 16 cm 的鐵絲圍成一個矩形，則可圍成的

7、矩形的最大面積是 _2cm .解析 設(shè)矩形長為Xcm(0 x0, 8 x0,可得 SW吐|二0，則 4x+子的最小值是()入A.9B.3336C.13D.不存在解析/ x0， 4x+ 負(fù)=2x 2X|2 32x 2x = 3 需 6.答案 B2.設(shè) a， b， c (0,+x)且 a+ b+ c= 1,令 x= g 1 ) 1 1 j，則 x 的取值范圍為()- 1 、一 1 、w42X+|x+1-3x33243-答案3243A.p，8 丿B8,1丿C.1,8)D.8,+x)解析Vx二 a-1b-1c-1 xy 4, xy16,J 4盲 y，當(dāng)且僅當(dāng) t 1+4=1x y，x,y (0,+x)

8、,x=2,時取等號,滬8,此時(xy)min= 16.答案 A4.已知a，b,eR*，則計*c b+b+aA-.b c b c a , ac a2b2ab be c2小 小c+a a+b+c 二1+1+1+金+bc+ac+E+孑+Ob3+2解析ac bb2ac穿+詁 9.答案5.要制作一個容積為 4 m3，高為 1 m 的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米 20 元，側(cè)面造價是每平方米10 元，則該容器的最低總造價是_單位：元）.解析利用均值（基本）不等式解決問題.4設(shè)該長方體容器的長為 x m,則寬為；m.又設(shè)該容器的造價為 y 元，則 y= 20 x41-a 1-b 1-cab

9、c(b+c)(c+a)(a+b)2 be2ca 2 abA1D.最大值 161 4解析/ x, y (0,+x)且- + -= 1,x yabcabc當(dāng)且僅當(dāng) a= b= c 時取等號， x 8.答案 D3.已矢口x.14y 都為正數(shù)，且+ = 1,則 xy 有（xyA.最小值 16B.最大值 16C.最小值 16 1 =1+4 2 xy44xy x4(x0).因為 x +42x4二4 當(dāng)且僅當(dāng) x= 4，即 x= 2 時取“=”，所以 ymin= 80+ 20X4=160(元).答案 1606已知關(guān)于 x 的不等式|x+ a|vb 的解集為x|2vxv4.(1) 求實數(shù) a, b 的值；求

10、at+ 12+ ,bt 的最大值.解(1)由 |x+ a|vb,得一 b avxvb a,一 b 一 a=2,a=一 3,則解得 2b a = 4,lb= 1.+ 2 x+ 4X10 ,即 y = 80 + 20 x+3t+ 12 + , t=3 4 t + ( . 3)2+ 12 ( 4 t)2+( ,t)2=2 4 t +1= 4,答案 B8.如果圓柱的軸截面周長 I 為定值，那么圓柱的體積最大值是（）A. 63”B.3故(i一 3t+ 12+ t)max= 4.綜合提高7.已知圓柱的軸截面周長為6,體積為 V,則下列關(guān)系式總成立的是（A.VnB.VW n1C.V 8 冗1D.VWgn解析

11、設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為 h,則由題意得：4r + 2h = 6, 即 2r + h = 3,當(dāng)且僅當(dāng)4W=，即 t = 1 時等號成立,于是有 V=n2hnr + r + h333廠亍=n3=n當(dāng)且僅當(dāng) r=h 時取等號.C.4n解析 1= 4r+ 2h,即 2r+ h =2,2V= nh0,y0 時，x?y+ (2y)?xyx 的最小值為_解析 先利用新定義寫出解析式，再利用重要不等式求最值X2y24v2x2X2y2因為x?y= 礦，所以(2y)?x=2xy .又 x0, y0,故 x?y+ (2y)?x=xy+答案 210某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量 F(單位時間

12、內(nèi)經(jīng)過 測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度 v(假設(shè)車輛以相同速度 v 行駛， 單位：米/秒)、平均車長 1(單位： 米)的值有關(guān)，其公式為(1) 如果不限定車型，1= 6.05,則最大車流量為 _ 輛/時；(2) 如果限定車型，I = 5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_ 輛/時.解析 把所給 I 值代入，分子分母同除以 v,構(gòu)造基本不等式的形式求最值.900.當(dāng)且僅當(dāng) v = 11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為、/ z76 000v76 000當(dāng)1=5時，F(xiàn)= v2+ 18v+ 100=100 仝v+ + 18vD.443.2 2 2 24y x x + 2y2xy 2

13、xy2,當(dāng)且僅當(dāng) x= 2y 時，等號成立.76 000 vF= v2+ 18v + 20l|.亠“76 000v(1)當(dāng)=605時，F(xiàn)= v2+18v+121 =76 00076 0002 3 (X 2) X+ 12= 24,12當(dāng)且僅當(dāng) 3(X2)=-,X 23X2即卩 S矩形AMPN取得最小值 24平方米.12(3)令 g(X)= 3x+X(x4),設(shè) X1X24,則 g(Xl) g(X2)二 3(X1 X2)+12(X2 X1)X1X211如圖所示，將一矩形花壇 ABCD 擴建成一個更大的矩形花壇 AMPN,要求 B 在 AM上, D 在 AN 上且對角線 MN 過 C 點，已知|AB

14、|= 3 米，AD 匸 2 米.(1)要使矩形 AMPN 的面積大于 32 平方米，則 AN 的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?(2) 當(dāng) AN 的長度是多少時，矩形 AMPN 的面積最??？并求最小面積;(3) 若 AN 的長度不少于 6 米，則當(dāng) AN 的長度是多少時，并求出最小面積.解 設(shè) AN 的長為 x 米(x2)，矩形 AMPN 的面積為 y. |AN| = |AM|，|AM|_x 2，3x2S矩形AMPN=(x2)X 2丄/口3x2(1)由 S矩形AMPN32 得 X232,x2 , 3X 32x+ 640,8即(3x 8)(x 8)0,二 2x8,矩形 AMPN 的面積最小?即 AN 的長的取

15、值范圍是8 88-8- 3 33 ( X1 X2) ( X1X2- 4)X1X2X1X24,二 X1 X20, X1X216,二 g(xi) g(X2)0,. g(x)在4 ,)上遞增.12 y= 3(X2) + + 12 在6,+x)上遞增.X 2當(dāng) x=6 時，y 取得最小值，即 S矩形AMPN取得最小值 27 平方米.12.甲、乙兩地相距 s km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 c km/h， 已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分 與速度v(km/h)的平方成正比，比例常數(shù)為 b，固定部分為 a 元.(1) 把全程運輸成本 y 元表示為速度

16、v (km/h)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；(2) 為了使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？解(1)因為汽車每小時的運輸成本為 bv2+ a(元)，全程時間為 V(小時)，故 y=v(bv2+ a)，即 y= sa+ bv，v (0，c.(2)由于a+ bv2 . ab，當(dāng)且僅當(dāng) v=；善時取等號，故1若b 三 c，則當(dāng)v =: b 時，y 取最小值.2若 bc，則先證 y= sa+ bv ,v (0,C為單調(diào)減函數(shù)，事實上，當(dāng) V1、V2 (0,V1、V2 (0, c , V1V2, V1 V20,V1,V2=Sb(V1V2)aV1V2bV1V2c，且 V1VV2,=S(V1V2)b