江蘇省南京市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)(理科)試題Word版含解析

1、南京市2019-2020學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研高二數(shù)學(xué)（理科）一、填空題。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 .已知命題pVx。，金蘭ex ,寫出命題p的否定：_.【答案】3x>0,cex【解析】【分析】“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”據(jù)此可解決問題.【詳解】解：二“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，命題 p： ? x>0, ex>ex,的否定是：？ x>0, exvex.故答案為：3x>0, eex.【點(diǎn)睛】本小題主要考查命題的否定.屬于基礎(chǔ)題.命題的否定即命題的對立面.“全稱量詞”與“存在量詞”正好構(gòu)成了意義相反的表述.如“對所有的都成立”與“至少有一

2、個(gè)不成立”；“都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題”的否定一定是“全稱命題”.本小題主要考查命題的否定.屬于基礎(chǔ)題.命題的否定即命題的對立面.“全稱量詞”與“存在量詞”正好構(gòu)成了意義相反的表述.如“對所有的都成立”與“至少有一個(gè)不成立”；“都是”與“不都是”等， 所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題”的否定一定是“全稱命題”.2 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線 尸=%的準(zhǔn)線方程為_.【答案】乙【解析】【分析】利用拋物線方程求出 p,即可得到結(jié)果.【詳解】解：拋物線 y2= 2x的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為：p= 1.拋物線的準(zhǔn)線方程為

3、：x=1故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.3 .已知f(x)=*smx ,則(0)的值為.【答案】1【解析】因?yàn)?f(x) = ex(sinx t cosx),所以 F(0) = 1.點(diǎn)睛：(1)求曲線的切線要注意“過點(diǎn) P的切線”與“在點(diǎn) P處的切線”的差異，過點(diǎn) P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn) P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn) P為切點(diǎn)八、.(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.4 .已

4、知復(fù)數(shù)工滿足(z-2>=l+i ( 為虛數(shù)單位)，則工的實(shí)部為_.【答案】3【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則得到z,結(jié)合實(shí)部定義得到答案.1 i (1 + )-1+1【詳解】解：由(z-2) i =1+i 得，z= 1 2 = - 1 3 = ij 1 2= 3-i ,所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為：3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，實(shí)部的概念，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.x-5.在平面直角坐標(biāo)系xDy中，P是橢圓C十/ = 1上一點(diǎn).若點(diǎn)P到橢圓。的右焦點(diǎn)的距離為2, 4 -則它到橢圓。的右準(zhǔn)線的距離為.播【答案】【解析】【分析】求出橢圓的離心率，利用橢圓的第二定義，求解即

5、可.2【詳解】橢圓C： 4y2=1,可得e = 丁，42由橢圓的第二定義可得：它到橢圓C的右準(zhǔn)線的距離為 d,_ 2 _43d芍I，2故答案為：型.3【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的第二定義，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.6 .已知實(shí)數(shù)x, y滿足三3+則w = x+2y的最小值為【答案】1【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解 的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.y< x-1【詳解】解：由實(shí)數(shù) x, y滿足| k三3 ，作出可行域如圖，由！解得B (3, - 1).W - V > ?tx + y - 21z1 z化z = x

6、+2y為y= %X4-,由圖可知，當(dāng)直線 y=-；x過B (3, 1)時(shí), 2 22 2直線在y軸上的截距最小，Z有最小值等于z=3+2X (- 1) =1.結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形7 .在平面直角坐標(biāo)系xDy中，“ m > 0 ”是“方程乂工+m/二I表示橢圓”的 條件.(填“充分 不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)有：“方程 x2+my=1表示橢圓”的充要條件為:,再判斷“ m>0”與“m?”的關(guān)系【詳解】解：由橢圓的性質(zhì)有：“方程x2+my=1表示橢圓”的充

7、要條件為：S豐J又“m>0”是“”的必要不充分條件，所以，“ m>0”是“方程x2+my=l表示橢圓”的必要不充分條件，故答案為：必要不充分【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)與充分、必要條件，屬簡單題.28 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線、尸=I的頂點(diǎn)到它的漸近線的距離為 .4-【答案】5【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.2【詳解】解：雙曲線 -y2=1的一個(gè)頂點(diǎn)為 A (2, 0),4雙曲線的一條漸近線為 y=-x,即x-2y = 0,2|2-2 xq 2#則點(diǎn)到直線的距離公式 d =二=-4，+ 4 S故答案為：. 5【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)

8、到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).9 .在平面直角坐標(biāo)系xDy中，點(diǎn)點(diǎn)平面內(nèi)點(diǎn)P滿足港，曲=5,則PO的最大值是.【答案】.【解析】【分析】設(shè)P (x, y),由以？畝=15,得點(diǎn)P的軌跡是以C (2, 1)為圓心，靖為半徑的圓，得 PO 的最大值為|OC+半徑.y)，PB = (x, 2 y)【詳解】解：設(shè) P (x, y),則pa= (4-x,pl?蔡=15，x (x-4) +y (y-2) = 15, i Hl i L3即(x 2) 2+ (y1) 2=20,.點(diǎn)P的軌跡是以C (2, 1)為圓心，24為半徑的圓，PO的最大彳t為：| OC+半徑=3心.故答案為：3s【點(diǎn)睛】本

9、題考查了向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查了平面上一定點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的最值問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.2210.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F?分別是橢圓=但b >0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F? a3 b2且與x軸垂直的直線與橢圓交于 A, E兩點(diǎn).若工為銳角,則該橢圓的離心率的取值范圍是【答案】【解析】【分析】由題設(shè)知F1( -c,0),F2(c,0),A( -c,),B ( - c,由 APR是銳角三角形,aab3知tan / AF F 2< 1,所以11,由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍.<2c22【詳解】解：二點(diǎn) Fi、F2分別是橢圓 二十1=1 (a>

10、b>0)的左、右焦點(diǎn)，a3 I?-過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于 A、B兩點(diǎn)，b2b： F1 (- c,。)，F(xiàn)2(c,。)，A (c, ), B (c,-), aa 虹聲是銳角三角形， /AF F2V45 ,.tan/ AF F2V1, 士<1，2c整理，得b2< 2ac,a2 - c2< 2ac,兩邊同時(shí)除以a2,并整理，得e2+2e- 1>0,解得e>忘-1,或e<.屏1,(舍)， -0< ev 1,，橢圓的離心率e的取值范圍是( 艮1, 1).故答案為：(&-1, 1).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)

11、真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.11 .在平面直角坐標(biāo)系乂5一中，圓1與圓4/十/_2乂3 =。有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù);L的取值范圍是.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分析兩個(gè)圓的圓心與半徑，由圓與圓的位置關(guān)系可得 2-1W| CG| W2+1, 即1w (a-1) 2+ (a+2) 2W9,解可得a的取值范圍，即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，圓 C： (x-a) 2+ (y- a-2) 2= 1,其圓心G為(a, a+2),半徑為 門=1,圓 Q: x?+y2 - 2x3 = 0,即(x 1)之+寸=4,其圓心 G (1, 0),半徑 r2= 2,若兩圓有公共點(diǎn)，則 2- K | G

12、C2| <2+1,即 K (a1) 2+ (a+2) 2<9, 22變形可得：a+a+2>0 且 a +a- 2>0,解可得：-2w aw1,即a的取值范圍為-2, 1；故答案為：-2, 1.【點(diǎn)睛】判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系.(2)切線法：根據(jù)公切線條數(shù)確定.12 .如圖，在正四棱錐PABCD中，PA = AB,點(diǎn)為PA的中點(diǎn)，BD = kBN ,若MN_LAD,則 實(shí)數(shù)兀=AA+加【答案】4【解析】【分析】連結(jié)AC交BD于O,以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，O曲y軸，O四z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 利用向量法能求出實(shí)數(shù) 入.【

13、詳解】解：連結(jié) AC交BD于Q以O(shè)為原點(diǎn)，OAJ x軸，OB為y軸，O吻z軸，建立空 間直角坐標(biāo)系，設(shè) PA= AB= 2,貝U A （蟲，0, 0）,0）,正二（0, - 2渡，0）,設(shè) N （0, BD =入 UN' ,- 20=心一取夜-242一N （0,1°），MN=（ AT r23 4- MNL AQ . MN，AD,V 兒解得實(shí)數(shù)入=4.故答案為：4.AD （0,-也,0）, P （0, 0,也），M（, 0,彳），B （0, J：b, 0）,則盛=（0, b亦，0）,辰琬）,，b二.，A亞母一廠廠-，*，- ），ad =（一衣-亦，。），2a2=0,ZA1 【點(diǎn)

14、睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求03法，考查空間向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.13 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓,點(diǎn)式1) , P為拋物線y Jax上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，過點(diǎn)P作圓M的切線PH, E為切點(diǎn)，則PA+PE的最小值是.【答案】3【解析】【分析】設(shè)P (x, y),可得y2= 2x,求得圓M的圓心和半徑，求得切線長 | PB ,化簡可得| PB為P到 y軸的距離，結(jié)合拋物線的定義和三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì)，即可得到所求最小值.【詳解】解：設(shè) P (x, y),可得y2=2x,圓M (x 1) 2+y2= 1的圓心M (1, 0),半徑為1,1PBI十= | x

15、| ,即| PB為P至ij y軸的距離，拋物線的焦點(diǎn)F (1, 0),準(zhǔn)線方程為x=， 221 I可得 | pa+| PB = | PA+| PK - - = | PA+| PF -,7過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 K,可得A, P, K共線時(shí)，|PA+| PK|取得最小值|AR=W， 即有| PA+| PB的最小值為3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和方程的運(yùn)用，考查直線和圓相切的切線長求法，考查轉(zhuǎn)化思想和三點(diǎn)共線取得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.14.已知函數(shù)3入一4+ 44a 01只有一個(gè)零點(diǎn)，且這個(gè)零點(diǎn)為正數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是.【答案】【解析】【分析】先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)

16、的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合函數(shù)圖象求出a的取值范圍.【詳解】解：令 = 3x2- 3a2= 3 (x a) (x+a) = 0,解得 xi= a, X2=a,其中a>0,所以函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間如下：xC (-8, a), f (x)遞增；xC (-a, a), f (x)遞減；xC (a, +oo), f (x)遞增.因此，f (x)在x=- a處取得極大值，在 x= a處取得極小值，結(jié)合函數(shù)圖象，要使 f (x)只有一個(gè)零點(diǎn)x0,且x0>0,只需滿足：f (x)極大值=f (-a) < 0,即-a3+3a3- 6a2+4a< 0,整理得 a (a-1) (a-2)

17、 v 0,解得，aC (1, 2),故答案為：(1,2)【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題.二、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)x2 /打15.在平面直角坐標(biāo)系 工5一中，已知橢圓E：經(jīng)過點(diǎn)A«0),其離心率為 一.a2 b22(1)求橢圓E的方程；兀(2)已知P是橢圓E上一點(diǎn)，F(xiàn)i,瑪為橢圓E的焦點(diǎn)，且4F眄求點(diǎn)P到)軸的距離.X2 V24v''6【答案】(1) +-=1 (2)'16 43【解析】【分析】(1)橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A (4, 0),可得a=4.橢圓E的離心率e

18、= =也可得c=2滴.即可a 2得橢圓E的方程；/X2十/ =】2 7E0(2)由/ F1PF2 = ：,所以后?而2=0，可得x2+y2=12,由得P到y(tǒng)軸的距離.2 十 = 116 422【詳解】(1)因?yàn)闄E圓十三 = 1經(jīng)過點(diǎn).4(4,0),a b216所以1 ,解得a = 4. at-&#r又橢圓E的離心率£ = = ：,所以c：a 心所以 I? = a2 - c2= 4.因此橢圓E的方程為i-L=. 16 4(2)方法一：由橢圓E的方程 ' 十16二 1 ,知 Fi(一動(dòng),FRO).設(shè)式x,y) .因?yàn)橐褾|PF尸;，所以玩i，P網(wǎng)=0,所以T+yJ?.x

19、y+ = 116 4所以因=芋，即p到軸的距離為節(jié).方法二：由橢圓E的方程±*± =,知c=2由.設(shè)改。/).16 4兀因?yàn)閁PFz = -，。為Fi%的中點(diǎn)， 2所以O(shè)P = g = 275,從而/+/=12.fx +丫 _ I1116 44加4點(diǎn)所以閱=±,即P到)軸的距離為十.方法三：由橢圓E的方程±*± =,知l2GF匕=4石FFe = A在.設(shè)網(wǎng)工» 16 4因?yàn)閒FFFz = -,所以PF： + PF廣FF：=驍.由橢圓的定義可知，PF11 -PF2 = 2a = 8,所以 2PFr 吟=(PF - PF-(PF'

20、 + PF = 16,所以三角形的面積S = ；PFrP& = 4 .又8 =$再煙=2島,所以入&M=4,所以M = ?.x' V'r 32代入'+L=得，x- = -16 434而4而所以風(fēng)=:，即P到、軸的距離為十.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用橢圓的定義和向量數(shù)量積.屬于中檔題.16.如圖，正四棱柱,"CD-ABCD的底面邊長為白，側(cè)棱長為1,求：(1)直線Ag與直線AD1所成角的余弦值；(2)平面DAC與平面ABB1為所成二面角的正弦值.【答案】(1)匚(2)二152【解析】【分析】(1)以匚5，三二，dE1為正交基底建立

21、空間直角坐標(biāo)系D-xyz,利用向量法能求出直線AC與直線AD所成角的余弦值；(2)求出平面 DAC的一個(gè)法向量和平面 ABBA1的一個(gè)法向量，利用向量法能求出平面DAC與平面ABBA1所成二面角的正弦值.【詳解】(1)如圖，正四棱柱ABCD - AFiCPi的底面邊長為電，側(cè)棱長為1,故以 舊Z1正而用 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則0S0), a(也。,0), -%(在4】)，CQ&),卬0,04).(1)因?yàn)?人忑=電場,0)-(也0#=(OAl)-(AO) =(-0,1),所以.閔C| =應(yīng)十2+1 = & |曲| =也十口 I】=回：- 1t Ag AD】從

22、而：gq iadi n7E又異面直線所成的角的范圍是 (0-, 所以直線.C與直線AD所成角的余弦值為 噂.(2)R =m，Mo),而二(-屈0D設(shè)平面DA匚的一個(gè)法向量為n = (Xyz),取x=,可得y = l, £ = &,即同在正四棱柱ABCD-AB£Dj中，DA1平面AB%, 又血=(夜0,0) = 0(1,0,0),所以£ =(LQO)為平面ABB1%的一個(gè)法向量.、 廠 -1 niI1-因?yàn)?5(11,111) = - = 二 =一，且Own,三江，、U |n| - InJ 7- 1十 2 x 121所以向,%) = J 3因此平面DjAC與

23、平面ABBIA所成二面角的正弦值為 y .【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.17.在平面直角坐標(biāo)系*5中,已知圓C經(jīng)過拋物線y = xx-6與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn).(1)求圓。的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)式-2,5)的直線1與圓C相交于A , B兩點(diǎn)，若圓C在A, B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求直線I的方程.【答案】(1) x2 + y2-x -1 5y 6 = 0 ( 2) x =-2和4x 十 ”一7 = 0 .【解析】【分析】(1)方法一、求得拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)出圓的一般式方程，

24、代入三點(diǎn)坐標(biāo)，解方程組可得D, E, F,即可得到所求圓方程；方法二、由拋物線方程與圓的一般式方程，可令 y=0,可得D, F,再由拋物線與y軸的交點(diǎn)，可得 E,即可得到所求圓方程；7E(2)求圓C的圓心和半徑，圓 C在A B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，可得/ ACB ,求得C到2直線l的距離，討論直線l的斜率是否存在，由點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算可得所求直線方程.【詳解】(1)方法一：拋物線y =與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)圓C的方程為x2 I y2 I Bx-l Ey+ F = 0,1 4 . 2D + F =D = -1.貝“9+ F =,解得 E = 5,36 - 6E - F = 0,lF=

25、-6,所以圓C的方程為x2 + y2-x + 5y-6 = O.方法二：設(shè)圓('的方程為十/十Dx十Ey F = 0.令丫 = 0,得儲(chǔ)+ Dx-F =。.因?yàn)閳AC經(jīng)過拋物線y =x"x-8與X軸的交點(diǎn)，所以X* + Dx+F = 0與方程x二x - 6 =。同解，所以 D = - I , F = - 6 .因此圓 C:x2- I y3-x + Ey-6 = 0.因?yàn)閽佄锞€y與¥軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 電-6),又所以點(diǎn)電' 6也在圓上，所以36 - 6E - 6 = 0 ,解得E = 5 .所以圓1c的方程為x%yLx +5y-6 = 0.(2)由(1)可得，圓：

26、C:(x一夕 + = I 55故圓心半徑，=存.因?yàn)閳AC在啟，E兩點(diǎn)處的切線互相垂直，所以2所以c到直線的距離日=存*萬二萬.當(dāng)直線：的斜率不存在時(shí)， 2 = -2 ,符合題意；當(dāng)直線：的斜率存在時(shí)，設(shè) W.5=k(x+2),即kx-y-(2k+5) = 0,15|k +b 2k + 5|q所以 上解得k=-&所以直線ly-5= -（X 1-2）,即也十%-7 = 0.綜上，所求直線1的方程為x = - 2和+- 7 = 0.方法三：當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y-5 = k（x十2）也為M），H（x溫,將直線I的方程代入圓C的方程得:x I (kx 1 2k T 5)* -

27、 x + 5(kx 卜 2k5) - 6 = 0 ,即41?+ 15k- 14k2 + 30k + 44因?yàn)閳AC在點(diǎn)A, E兩點(diǎn)處的切線互相垂直，所以 CA.LCB,- -1155所以 CA，CH = O,即&-,® I ”y”？ =。， 上上££L 1門 ,15=15所以r.21r113即(1 k)XX (2k + k - -)(X卜 x2) + 4k l 30k -+= 0,2/4k2+15k-l3113即4kT 30k + 44 十(2k，十一k - 7+ 4kl + 3g十 一 =0,15 21+k2 /2（I +（16+ 120k + 201）-

28、（4k。15k-=0,44即150k+200 =。,解得k=-所以直線I: y - 5 =-承+ 2）, 即4其十3y - 7 = 0.當(dāng)直線-的斜率不存在時(shí)，1： x = - 2 ,符合題意；綜上，所求直線1的方程為工=-2和4x十匆-7 = 0.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法和方程思想，考查直線和圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用分類討論思想方法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.18 .如圖，從一個(gè)面積為1而的半圓形鐵皮上截取兩個(gè)高度均為x的矩形，并將截得的兩塊矩形鐵皮分別以AB,ARi為母線卷成兩個(gè)高均為 某的圓柱（無底面，連接部分材料損失忽略不計(jì)）.記 這兩個(gè)圓柱

29、的體積之和為 V.(1)將V表示成X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出X的取值范圍；(2)求兩個(gè)圓柱體積之和 V的最大值.【答案】(1) V =)60x -呂萬3).'W (0,) (2)7C "' ' 2 ' n【解析】2,與【分析】(1)設(shè)半圓形鐵皮的半徑為r,自下而上兩個(gè)矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為ri,出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出 x的取值范圍；(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷 V (x)的單調(diào)性，得出 V (x)的最大值.【詳解】(1)設(shè)半圓形鐵皮的半徑為1,自下而上兩個(gè)矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為 因?yàn)榘雸A形鐵皮的面積為1冊，所以，2 =15凡 即廣="

30、.因?yàn)?叫=2*三/,所以“=430 - 6 , 7C同理工叫=叫"(次,即以=137-收.7L所以卷成的兩個(gè)圓柱的體積之和V = f(x) =(E； m今-x =60x =.7EL回因?yàn)? 所以x的取值范圍是(0.J).2(2)由 f(x) = %0x =,得 = %60 - 1,回令f(K)= 0,因?yàn)楣蔾 = 2,回 ,當(dāng) XEQ21 時(shí)，當(dāng) xE(，工一)時(shí)，f 6尸 0 ,所以f(x)在21上為增函數(shù)，在(之雪上為減函數(shù)， 所以當(dāng)x = 2時(shí)，f(x)取得極大值，也是最大值.因此的最大值為f(2) = -.7C答：兩個(gè)圓柱體積之和 ¥的最大值為 【點(diǎn)睛】本題考查了

31、圓柱的結(jié)構(gòu)特征，圓柱與體積計(jì)算，用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，屬于中檔題.1219 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xDy-中，F(xiàn) , F.分別為橢圓c-±+匕=的左、右焦點(diǎn).動(dòng)直線I過4 3點(diǎn)七,且與橢圓C相交于.4, B兩點(diǎn)(直線：與x軸不重合).(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,而，求點(diǎn)B坐標(biāo)；(2)點(diǎn)設(shè)直線AM,的斜率分別為七, 3,求證：占+ k廣。；(3)求面積最大時(shí)的直線|的方程.8 3布【答案】(1) B(-,-y-) (2)見證明；(3) X=1【解析】【分析】(1)由已知得到直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+1,與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系

32、數(shù)的關(guān)系及斜率公式即可證明 k1+k2= 0；(3) 4AEB的面積S=：|F1F2|?| y1 - y?| =|yy?| 二8十-4鄧?.把(2)中的根與系數(shù) 2I I的關(guān)系代入，可得 S=121 ，一設(shè)函數(shù)f (x) =9x + - (x>1),利用導(dǎo)數(shù)可得 列,t + 1)+ + GxJ t +111f (x)=9x在1 , +8)上單調(diào)遞增，得到當(dāng) t2+1 = 1,即t = 0時(shí)，9 (t2+1)取最 X廣7小值10.由此可得直線l的方程為x=1.【詳解】(1)因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)f1a0),艇),我,所以直線I的方程為¥=業(yè)K.I).f1-鳳-1),由解得二疝或1垢所以峭

33、,-理. 55(2)因?yàn)橹本€I與x軸不重合，故可設(shè)直線1的方程為x = ty十I .設(shè)坳必),(k = 6T,由，£十f = I得4+3tly2+6年-9 = 0,.43'6t9所以 1 y2= 、， y，2= j，4+ 3t4 + 3t因?yàn)锳, E在直線：上，所以乂1八-1,叼-%- 1 ,所以Y?Yl >r22*力-3（y1 + y3）從而.=ty3 ty2 - 3（% -乂野？ - 3）96t因?yàn)?Wi- 3（yi+y。= 2t .（-;）3'（-;） = 0,4 I 3t-4 -I 3r所以k -i % = 0.（3）方法一：糊口的面積& =權(quán)內(nèi)

34、 |yy=|力-y=瓜十¥:4¥，?.6t9由（2）知，¥i I y2= , ¥力=,4+ 3t4 + 3tiai廠 心十i故J 4 -I 3r 4 + 3r +4）_ I_ =12=12 個(gè)1亞八尸十6("1)-1門山不+6，I設(shè)函數(shù)氏x) = % x 1).K 1 1因?yàn)?#163;的=9-瓦0,所以f(x)=%”在L-向上單調(diào)遞增， XX、I所以當(dāng)十1 = 1,即t = o時(shí)，%廣+1)“4取最小值10. r +1即當(dāng)t =。時(shí)，AAFB的面積取最大值，此時(shí)直線I的方程為x=l.方法二：口叫舊的面積S =；怛網(wǎng)|-卜河= |yy=扃 f)

35、'4丫也. 6t9由(2)知， + 打=-,訂力=；,4-i 3t4i,3tE6t _94 I1 3C+3故 二(一 十 4； = 4乖 k ；J 4 13rl4+3C#3八 4,- ht1 + 4) - 1,- | /1。1二蟲3 x T工=4甲式卜 L)飛(3f - 4)21 3r + 4 3V + 4因?yàn)?尸+ 4>4,所以。一W；, 3r+ 4 41 1所以二一二二，即=0時(shí)，AAFiB的面積取最大值.女4 4因此，3AF3的面積取最大值時(shí)，直線：的方程為x=l.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用換元法及導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力

36、，屬難題.20.已知函數(shù) f(x) = alnx + - , a E R .x(1)若a = 2 ,且直線y二x十m是曲線y = f(x)的一條切線，求實(shí)數(shù) m的值；(2)若不等式*、)1對任意工£(1.十電恒成立，求a的取值范圍；(3)若函數(shù)h(x) = fg-x有兩個(gè)極值點(diǎn)與 , 乂式乂修)，且hfxJ-Mxi)工；，求a的取值范圍.【答案】(1).(2)(3)口.一二【解析】 【分析】(1)代入a的值，根據(jù)切線方程得到關(guān)于&的方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，解出m即可；11(2)問題轉(zhuǎn)化為 alnx+ - 1>0,記g (x) =alnx+- 1,通過討論a的范圍，求出函數(shù)的

37、KX單調(diào)區(qū)間，從而確定 a的范圍即可；I1(3)法一：求出 h(X2) h (xj 的解析式，記 m (x) = 2 (x + -)lnx -x , x>1,根 XX據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 a的范圍即可；1法二：由 h (x) =f (x) - x=alnx+-x, x>0,以及 h (x)有兩個(gè)極值點(diǎn) x1, x2 (x1x2), x得到 Xi+X2= a, xiX2= 1,設(shè) t2 = (t>1),從而 h(X2) - h (xi) <-等價(jià)于 h (t) = (t +-)i 211Int + t三-,t > 1,記m (x) = ( x)Inx + x, x&g

38、t;1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.1.2 【詳解】(1)當(dāng) a = 2 時(shí)，f(x) = 21nx + - ,=-.X乂 XI設(shè)直線y = X十m與曲線y = fg相切于點(diǎn)(x0Jlnxy + ),貝U1 ,即4=2乂0斗1 = 0解得河=1 ,即切點(diǎn)為(1,1),因?yàn)榍悬c(diǎn)在y = x十m上，所以I = I十m ,解得m =0 .(2)不等式fx»l可化為Mnx + - 1 >0.記g(x) = alnx - 1 , 則對任意x E (L + e)恒成立.J，門 I考察函數(shù) g(x) = alnxx>0 , g(x)=-=XX J當(dāng)a£0時(shí)，g&)c。，虱x)在(0,十上單調(diào)遞減，又 就D =。,所以虱2)弋虱1) = 0,不合題意；1 1 當(dāng)3口時(shí)，xE(0), g(K)&