導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、二、邊際與彈性二、邊際與彈性三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)第六節(jié)一、一、 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 第二章 某一商品的某一商品的需求量需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水平，是指關(guān)于一定的價(jià)格水平，在一定的時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)在一定的時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的商品量。買的商品量。一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見函數(shù)一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見函數(shù)1. 需求函數(shù)需求函數(shù)消費(fèi)者對(duì)某種商品的消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求量需求量是由多種因素決定是由多種因素決定的，例如，人口、收入、季節(jié)、該商品的價(jià)格、的，例如，人口、收入、季

2、節(jié)、該商品的價(jià)格、其他商品的價(jià)格等。其他商品的價(jià)格等。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果除價(jià)格外，收入等其他因素在一定時(shí)期內(nèi)變化如果除價(jià)格外，收入等其他因素在一定時(shí)期內(nèi)變化很少，即可認(rèn)為其他因素對(duì)需求量無(wú)影響，則需求很少，即可認(rèn)為其他因素對(duì)需求量無(wú)影響，則需求量量 Q 便是價(jià)格便是價(jià)格 P 的函數(shù)，記的函數(shù)，記 Qf P稱稱 f 為為需求函數(shù)需求函數(shù)，同時(shí)，同時(shí) f（P）的反函數(shù)的反函數(shù)也稱為也稱為需求函數(shù)需求函數(shù)。 1PfQ一般說(shuō)來(lái)，商品價(jià)格的上漲會(huì)使需求量減少。因一般說(shuō)來(lái)，商品價(jià)格的上漲會(huì)使需求量減少。因此，此，需求函數(shù)需求函數(shù)是是單調(diào)減少單調(diào)減少的。的。人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面

3、簡(jiǎn)單的需求函數(shù)人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的需求函數(shù)線性函數(shù)：線性函數(shù)：QaPb ，其中，其中,0a b 冪函數(shù)：冪函數(shù)：aQkP，其中，其中0,0ka指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：ebPQa，其中，其中0,0ab例例 1,0QaPba b 設(shè)某商品需求函數(shù)為設(shè)某商品需求函數(shù)為討論討論 P = 0 時(shí)的需求量和時(shí)的需求量和 Q = 0 時(shí)的價(jià)格。時(shí)的價(jià)格。解：解：當(dāng)當(dāng)P = 0 時(shí)， Q = b，它表示當(dāng)價(jià)格為零時(shí)，它表示當(dāng)價(jià)格為零時(shí)，消費(fèi)者對(duì)商品的需求量為消費(fèi)者對(duì)商品的需求量為 b ，b 也就是市場(chǎng)對(duì)該也就是市場(chǎng)對(duì)該商品的商品的飽和需求量飽和需求量，也稱為，也稱為最大需求量最大需求量。當(dāng)當(dāng)Q =

4、0 時(shí)， P = b/a ，它表示當(dāng)價(jià)格上漲到，它表示當(dāng)價(jià)格上漲到b/a 時(shí)，沒有人愿意購(gòu)買該產(chǎn)品。時(shí)，沒有人愿意購(gòu)買該產(chǎn)品。2. 供給函數(shù)供給函數(shù) 某一商品的某一商品的供給量供給量是指在一定的價(jià)格條件下，是指在一定的價(jià)格條件下，在一定的時(shí)期內(nèi)，生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出出售在一定的時(shí)期內(nèi)，生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出出售的商品量。的商品量。 供給量供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一段時(shí)間內(nèi)除價(jià)格以外的其他因素變化很小，則一段時(shí)間內(nèi)除價(jià)格以外的其他因素變化很小，則供給量供給量 Q 便是價(jià)格便是價(jià)格 P 的函數(shù)，設(shè)的函數(shù)，設(shè) QP稱稱 為為供給函數(shù)。供給函數(shù)。一般說(shuō)來(lái)

5、，商品的市場(chǎng)價(jià)格越高，生產(chǎn)者愿意而一般說(shuō)來(lái)，商品的市場(chǎng)價(jià)格越高，生產(chǎn)者愿意而且能夠向市場(chǎng)提供的商品量也就越多。因此一般且能夠向市場(chǎng)提供的商品量也就越多。因此一般的的供給函數(shù)供給函數(shù)都是都是單調(diào)增加單調(diào)增加的。的。人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的供給函數(shù)人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的供給函數(shù)線性函數(shù)：線性函數(shù)：QaPb，其中，其中,0a b 冪函數(shù)：冪函數(shù)：aQkP，其中，其中0,0ka指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：ebPQa，其中，其中0,0ab使一種商品的市場(chǎng)需求量與供給量相等的價(jià)格（記使一種商品的市場(chǎng)需求量與供給量相等的價(jià)格（記為為P0），稱為），稱為均衡價(jià)格。均衡價(jià)格。例例2. 已知某商品的

6、需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為已知某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為14 1.5 ,54QPQP 求該商品求該商品均衡價(jià)格均衡價(jià)格。解：解：由供需均衡條件，有由供需均衡條件，有14 1.554PP 由此，得均衡價(jià)格由此，得均衡價(jià)格0193.455.5P 3. 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)表示了一定的時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入表示了一定的時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入量與產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量之間的關(guān)系。量與產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量之間的關(guān)系。生產(chǎn)要素生產(chǎn)要素包括資金和勞動(dòng)力等多種要素。為方便包括資金和勞動(dòng)力等多種要素。為方便起見，暫時(shí)先考慮只有一個(gè)投入變量，而其余投起見，暫時(shí)先考慮只有一個(gè)投入變量，而其余投入皆為常量的

7、情況。入皆為常量的情況。例例3. 在電力輸送過(guò)程中，如果用在電力輸送過(guò)程中，如果用 x 表示能量輸入，表示能量輸入，則能量輸出為則能量輸出為 y = f ( x )，其中，其中 2f xcccx 這里這里 c 0 為容量參數(shù)。為容量參數(shù)。規(guī)模報(bào)酬問(wèn)題：規(guī)模報(bào)酬問(wèn)題：當(dāng)投入增加一倍時(shí)，產(chǎn)出是否也增加一倍？當(dāng)投入增加一倍時(shí)，產(chǎn)出是否也增加一倍？例：例：設(shè)投入設(shè)投入 x 與產(chǎn)出與產(chǎn)出g ( x )的關(guān)系為的關(guān)系為 ag xcx由于由于22aagxcx，可見，可見，當(dāng)當(dāng)1時(shí)，規(guī)模報(bào)酬不變；當(dāng)時(shí)，規(guī)模報(bào)酬不變；當(dāng)1時(shí)，如果投入時(shí)，如果投入增加一倍，產(chǎn)量增加不到一倍，即規(guī)模報(bào)酬遞減；增加一倍，產(chǎn)量增加不到

8、一倍，即規(guī)模報(bào)酬遞減；當(dāng)當(dāng)1時(shí)，如果投入時(shí)，如果投入 增加一倍，產(chǎn)量增加超過(guò)增加一倍，產(chǎn)量增加超過(guò)一倍，即規(guī)模報(bào)酬遞增。一倍，即規(guī)模報(bào)酬遞增。4. 成本函數(shù)成本函數(shù)成本成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入的價(jià)格或費(fèi)用總額。投入的價(jià)格或費(fèi)用總額。成本成本由固定成本和可變成本組成。由固定成本和可變成本組成。固定成本固定成本是指是指支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用。包括廠房、設(shè)備折舊支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用。包括廠房、設(shè)備折舊以及管理人員工資等；以及管理人員工資等；可變成本可變成本是指支付可變生是指支付可變生產(chǎn)要素的費(fèi)用，包括原材料、燃料的支付以及生產(chǎn)要素的費(fèi)用，

9、包括原材料、燃料的支付以及生產(chǎn)工人的的工資，它隨著產(chǎn)量的變動(dòng)而變動(dòng)。產(chǎn)工人的的工資，它隨著產(chǎn)量的變動(dòng)而變動(dòng)。例例4. 設(shè)某廠的生產(chǎn)函數(shù)設(shè)某廠的生產(chǎn)函數(shù)24QL，其中，其中 L 表示表示勞動(dòng)力數(shù)量，求勞動(dòng)力價(jià)格為勞動(dòng)力數(shù)量，求勞動(dòng)力價(jià)格為1152時(shí)的可變成時(shí)的可變成本函數(shù)本函數(shù) CC Q解：解： 由由24QL，得，得2576QL ，這樣，這樣22115211522576QCLQ即可變成本函數(shù)即可變成本函數(shù)22CQ5. 收益函數(shù)收益函數(shù)總收益總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入，用收入，用 Q 表示出售的產(chǎn)品數(shù)量，表示出售的產(chǎn)品數(shù)量，R 表示總收益，表

10、示總收益， 表示平均收益，則表示平均收益，則R ,R QRR QRQ如果產(chǎn)品的價(jià)格如果產(chǎn)品的價(jià)格 P 保持不變，則保持不變，則,RPQ RP6. 利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)利潤(rùn)是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，即差，即 L QR QC Q例例6. 已知某產(chǎn)品價(jià)格為已知某產(chǎn)品價(jià)格為 P ，需求函數(shù)為，需求函數(shù)為 505QP成本函數(shù)為成本函數(shù)為502CQ，求產(chǎn)量，求產(chǎn)量 Q 為多少時(shí)利潤(rùn)為多少時(shí)利潤(rùn)L 最大？最大利潤(rùn)是多少？最大？最大利潤(rùn)是多少？解：解：由需求函數(shù)由需求函數(shù)505QP，可得，可得105QP 于是，收益函數(shù)為于是，收益函數(shù)為2105QRP QQ因此

11、，因此，20Q 時(shí)，最大利潤(rùn)為時(shí)，最大利潤(rùn)為30。這樣，利潤(rùn)函數(shù)為這樣，利潤(rùn)函數(shù)為 28505QLR QC QQ2120305Q 7. 庫(kù)存函數(shù)庫(kù)存函數(shù)設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期 T 內(nèi)，對(duì)某種物品的總需求量為內(nèi)，對(duì)某種物品的總需求量為Q ，由于庫(kù)存費(fèi)用及資金占用等因素。顯然一次進(jìn)，由于庫(kù)存費(fèi)用及資金占用等因素。顯然一次進(jìn)貨是不合算的，考慮均勻地分貨是不合算的，考慮均勻地分 n 次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨批量為批量為Qqn，進(jìn)貨周期為，進(jìn)貨周期為Ttn假定每件物品的貯存單位時(shí)間費(fèi)用為假定每件物品的貯存單位時(shí)間費(fèi)用為C1，每次進(jìn)，每次進(jìn)貨費(fèi)用為貨費(fèi)用為C2，每次進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨間隔時(shí)

12、間不，每次進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨間隔時(shí)間不變，以勻速消耗貯存物品，則平均庫(kù)存為變，以勻速消耗貯存物品，則平均庫(kù)存為 。2q在時(shí)間在時(shí)間 T 內(nèi)的總費(fèi)用內(nèi)的總費(fèi)用 E 為為1212QECTqCq其中其中112CTq是貯存費(fèi)，是貯存費(fèi)，2QCq是進(jìn)貨費(fèi)用。是進(jìn)貨費(fèi)用。8. 戈珀茲（戈珀茲（Gompertz）曲線）曲線戈珀茲戈珀茲 曲線是指數(shù)函數(shù)曲線是指數(shù)函數(shù)tbyka在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，經(jīng)常使用該曲線在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，經(jīng)常使用該曲線. . 當(dāng)當(dāng)初始期初始期 發(fā)展期發(fā)展期飽和期飽和期klg0,a 01b時(shí)，其圖形如圖所示時(shí)，其圖形如圖所示初始期初始期 發(fā)展期發(fā)展期飽和期飽和期k由圖可見戈珀茲曲線當(dāng)由圖可見戈珀茲曲線

13、當(dāng) t 0 且無(wú)限增大時(shí)，其無(wú)限且無(wú)限增大時(shí)，其無(wú)限與直線與直線 y = k 接近，且始終位于該直線下方。在產(chǎn)品接近，且始終位于該直線下方。在產(chǎn)品銷售預(yù)測(cè)中，當(dāng)預(yù)測(cè)銷售量充分接近到銷售預(yù)測(cè)中，當(dāng)預(yù)測(cè)銷售量充分接近到 k 的值時(shí)，的值時(shí)，表示該產(chǎn)品在商業(yè)流通中將達(dá)到市場(chǎng)飽和。表示該產(chǎn)品在商業(yè)流通中將達(dá)到市場(chǎng)飽和。tbyka二、邊際與彈性二、邊際與彈性1. 邊際概念邊際概念如果函數(shù)如果函數(shù) yf x在在處可導(dǎo)，則在處可導(dǎo)，則在00,x xx內(nèi)的內(nèi)的平均變化率平均變化率為為yx；在；在0 xx處的處的瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率0 x0000limxf xxf xfxx 經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱它為經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱它為 f x

14、在在0 xx處的處的邊際函數(shù)邊際函數(shù)值。值。設(shè)在點(diǎn)設(shè)在點(diǎn)0 xx處，處，x從從0 x改變一個(gè)單位時(shí)，改變一個(gè)單位時(shí)，y的增量的增量y的準(zhǔn)確值為的準(zhǔn)確值為01x xxy ，當(dāng)當(dāng)x改變量很小時(shí)，則由微分的應(yīng)用知道，改變量很小時(shí)，則由微分的應(yīng)用知道，y的近似值為的近似值為01dx xxyy 01x xxfxx fx當(dāng)當(dāng)1x 時(shí)，標(biāo)志著時(shí)，標(biāo)志著 x 由由 x0 減少一個(gè)單位。減少一個(gè)單位。定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f x在在x處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù) fx的的邊際函數(shù)邊際函數(shù)。為為 f x fx在在 x0 處的值處的值0fx為為邊際函數(shù)值邊際函數(shù)值。即：。即：當(dāng)當(dāng)x = x0時(shí)，時(shí)，x 改變

15、一個(gè)單位，改變一個(gè)單位，y 改變改變0fx個(gè)單位。個(gè)單位。例例1 1解：解：（1） 邊際成本邊際成本2. 2. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)（2） 邊際平均成本邊際平均成本總成本函數(shù)總成本函數(shù) C Q的導(dǎo)數(shù)，稱為的導(dǎo)數(shù)，稱為邊際成本邊際成本。 00limlimQQC QQC QCC QQQ 平均成本平均成本 C Q的導(dǎo)數(shù)，稱為的導(dǎo)數(shù)，稱為平均邊際成本平均邊際成本。 C QCQQ 2QC QC QQ一般說(shuō)來(lái)，總成本一般說(shuō)來(lái)，總成本 C Q等于固定成本等于固定成本0C與可變與可變成本成本 1C Q之和，即之和，即 01C QCC Q于是，邊際成本為于是，邊際成本為 011C QCC

16、 QC Q顯然，顯然，邊際成本與固定成本無(wú)關(guān)邊際成本與固定成本無(wú)關(guān)。例例2. 設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn) Q 單位的總成本為單位的總成本為 211001200QC Q 求求： （1）生產(chǎn)）生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本和平均成本；個(gè)單位時(shí)的總成本和平均成本；（2）生產(chǎn)）生產(chǎn)900個(gè)單位到個(gè)單位到1000個(gè)單位時(shí)的總成本個(gè)單位時(shí)的總成本的平均變化率；的平均變化率；（3）生產(chǎn)）生產(chǎn)900個(gè)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。個(gè)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義?？偝杀竞瘮?shù)：總成本函數(shù)： 211001200QC Q 解：解：（1）生產(chǎn)）生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本為個(gè)單位時(shí)的總成本為 290090011001200QC

17、 Q1775平均成本為平均成本為 900QC QC QQ17759001.97 （2）生產(chǎn)）生產(chǎn)900個(gè)單位到個(gè)單位到1000時(shí)總成本的平均時(shí)總成本的平均變化率為變化率為總成本函數(shù)：總成本函數(shù)： 211001200QC Q 解：解： 10009001000900C QCCQ1933 17751.58100總成本函數(shù)：總成本函數(shù)： 211001200QC Q 解：解： （3）邊際成本函數(shù)）邊際成本函數(shù) 21200600QQC Q當(dāng)當(dāng)Q = 900 時(shí)的邊際成本為時(shí)的邊際成本為 90018001.51200QC Q它表示當(dāng)產(chǎn)量為它表示當(dāng)產(chǎn)量為 900 個(gè)單位時(shí)，再增加個(gè)單位時(shí)，再增加 一個(gè)單位，需

18、增加一個(gè)單位，需增加 成本成本 1.5 個(gè)單位。個(gè)單位。（或減少）（或減少）（或減少）（或減少）（3 3）邊際收益）邊際收益定義：定義：00()( )( )limlimQQRR QQR QR QQQ ( )( )R QPQQ P Q，總收益函數(shù)總收益函數(shù)( )R Q的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為稱為邊際收益函數(shù)邊際收益函數(shù)。設(shè)設(shè) P 為價(jià)格，為價(jià)格，( )PP Q，因此，因此( )( )( )R QP QQP Q解：解：2()205QRQP QQ21515(20)2555QQQRQ1515( )2551715QQR QRQ總收益為總收益為銷售銷售15個(gè)單位時(shí)，總收益?zhèn)€單位時(shí)，總收益平均收益平均收益15152

19、()(20)145QQR QQ(20)(15)3202551320155RRRQ邊際收益邊際收益當(dāng)銷售量從當(dāng)銷售量從15個(gè)單位到個(gè)單位到20個(gè)單位時(shí)的平均變化率為個(gè)單位時(shí)的平均變化率為例例4. 當(dāng)某廠家打算生產(chǎn)一批商品投放市場(chǎng)，已知當(dāng)某廠家打算生產(chǎn)一批商品投放市場(chǎng)，已知該商品的需求函數(shù)為該商品的需求函數(shù)為 210eQPP Q，其中，其中Q為需求量，為需求量，P為價(jià)格，且最大需求量為為價(jià)格，且最大需求量為6，求，求該商品的收益函數(shù)和邊際函數(shù)。該商品的收益函數(shù)和邊際函數(shù)。解：解：2()10(06)QR QPQQeQ2()5(2)(06)QR QQ eQ（4）邊際利潤(rùn)邊際利潤(rùn)定義：定義：00()(

20、)( )limlimQQLL QQL QL QQQ 邊際利潤(rùn)表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了邊際利潤(rùn)表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了Q 單位產(chǎn)品，單位產(chǎn)品，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤(rùn)再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤(rùn)收益函數(shù)收益函數(shù)邊際收益函數(shù)邊際收益函數(shù)總利潤(rùn)函數(shù)總利潤(rùn)函數(shù)L Q的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為稱為邊際利潤(rùn)邊際利潤(rùn)。 C Q一般情況下，總利潤(rùn)函數(shù)一般情況下，總利潤(rùn)函數(shù) L Q等于總收益函數(shù)等于總收益函數(shù) R Q與總成本函數(shù)與總成本函數(shù)之差。即之差。即 L QR QC Q則邊際利潤(rùn)為則邊際利潤(rùn)為 L QR QC Q顯然，邊際利潤(rùn)可由邊際收入與邊際成本決定，顯然，邊際利潤(rùn)可由邊際收入與邊際成本決定， C QR QC Q

21、C Q 時(shí)，時(shí)， 000L Q ( )250 10L QQ20( )(20)50QL QL25()(25)0QL QL35( )(35)100QL QL例例5.Q某工廠對(duì)其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后某工廠對(duì)其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后得出總利潤(rùn)得出總利潤(rùn)()L Q（元）與每月產(chǎn)量（元）與每月產(chǎn)量（噸）的關(guān)系（噸）的關(guān)系為為2()2505LL QQQ，試確定每月生產(chǎn)，試確定每月生產(chǎn)20噸，噸，25噸，噸，35噸的邊際利潤(rùn)，并作出經(jīng)濟(jì)解釋。噸的邊際利潤(rùn)，并作出經(jīng)濟(jì)解釋。解：解： 邊際利潤(rùn)函數(shù)為邊際利潤(rùn)函數(shù)為20( )50QL Q25()0QL Q35( )100QL Q上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量

22、為每月上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月2020噸時(shí)，再增加一噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將增加噸，利潤(rùn)將增加5050元，當(dāng)產(chǎn)量為每月元，當(dāng)產(chǎn)量為每月2525噸時(shí)，再噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)不變；當(dāng)產(chǎn)量為增加一噸，利潤(rùn)不變；當(dāng)產(chǎn)量為3535噸時(shí)，再增加噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將減少一噸，利潤(rùn)將減少100100此處說(shuō)明，對(duì)廠家來(lái)說(shuō)，此處說(shuō)明，對(duì)廠家來(lái)說(shuō)，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤(rùn)越高并非生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤(rùn)越高. .邊際利潤(rùn)邊際利潤(rùn)（5）邊際需求邊際需求定義定義Q若若 Qf P是需求函數(shù)，則需求量是需求函數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù) ddQfPP稱為稱為邊際需求函數(shù)邊際需求函數(shù)。 Qf P的反函數(shù)的反函數(shù)

23、1PfQ是價(jià)格函數(shù)，價(jià)格是價(jià)格函數(shù)，價(jià)格對(duì)需求的導(dǎo)數(shù)對(duì)需求的導(dǎo)數(shù) 1ddPfQQ稱為稱為邊際價(jià)格函數(shù)邊際價(jià)格函數(shù)。由反函數(shù)求導(dǎo)法則可知，邊際需求函數(shù)與邊際價(jià)格由反函數(shù)求導(dǎo)法則可知，邊際需求函數(shù)與邊際價(jià)格函數(shù)互為倒數(shù)，即函數(shù)互為倒數(shù)，即 11fPfQ解：解：d( )2dPQ PPQ 它的它的經(jīng)濟(jì)意義經(jīng)濟(jì)意義是價(jià)格為是價(jià)格為4 4時(shí)，價(jià)格上漲（或下降）時(shí)，價(jià)格上漲（或下降）1 1個(gè)單位，需求量將減少（或增加）個(gè)單位，需求量將減少（或增加）8 8個(gè)單位個(gè)單位. .當(dāng)當(dāng)4P 時(shí)的邊際需求為時(shí)的邊際需求為4( )8PQ P 定義定義3. 彈性概念彈性概念設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) yf x在點(diǎn)在點(diǎn)0 xx處可導(dǎo)，函數(shù)

24、處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量的相對(duì)改變量0000f xxf xyyf x與自變量與自變量的相對(duì)改變量的相對(duì)改變量0 xx之比之比00/y yx x，稱為函數(shù)，稱為函數(shù) f x從從0 xx到到0 xxx兩點(diǎn)間的平均相對(duì)變化率，兩點(diǎn)間的平均相對(duì)變化率，或稱或稱兩點(diǎn)間的彈性兩點(diǎn)間的彈性。注意：注意：兩點(diǎn)間的彈性是有方向性的。兩點(diǎn)間的彈性是有方向性的。記作記作0 x xEyEx，或，或0Ef xEx即即0000000000/limlim/xxx xEyy yy xxfxExx xx yf x 彈性函數(shù)的定義彈性函數(shù)的定義對(duì)一般的對(duì)一般的x，若，若 f x可導(dǎo)且可導(dǎo)且 0f x ，則有，則有00/limli

25、m/xxEyy yy xxyExx xx yy 是是x的函數(shù)，稱為的函數(shù)，稱為 f x的的彈性函數(shù)彈性函數(shù)（簡(jiǎn)稱（簡(jiǎn)稱彈性彈性）函數(shù)函數(shù) f x在點(diǎn)在點(diǎn)x處的彈性處的彈性 Ef xEx反映了反映了x的變化幅度的變化幅度xx對(duì)對(duì) f x變化幅度變化幅度yy的大小的影響，的大小的影響，也就是也就是 f x對(duì)對(duì)x變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。0Ef xEx表示在點(diǎn)表示在點(diǎn)0 xx處，當(dāng)處，當(dāng)x產(chǎn)生產(chǎn)生1%的改變時(shí)，的改變時(shí)， f x近似地改變近似地改變0%Ef xEx。由彈性的定義由彈性的定義EyxyyyExyx邊際函數(shù)邊際函數(shù)平均函數(shù)平均函數(shù)彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)上可理解為邊際函數(shù)

26、與平均函數(shù)之比。彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)上可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比。常見函數(shù)的彈性常見函數(shù)的彈性（a , b , c , 為常數(shù)為常數(shù)） （1）常數(shù)函數(shù)）常數(shù)函數(shù) f xC的彈性的彈性0ECEx（2）線性函數(shù)）線性函數(shù) f xaxb的彈性的彈性E axbaxExaxb（3）冪函數(shù)）冪函數(shù) f xax的彈性的彈性E axEx常見函數(shù)的彈性常見函數(shù)的彈性（a , b , c , 為常數(shù)為常數(shù)） （4）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù) xf xba的彈性的彈性lnxEbaxaEx（5）對(duì)數(shù)函數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù) lnf xbax的彈性的彈性ln1lnE baxExax（6）三角函數(shù)的彈性）三角函數(shù)的彈性sincotExxxEx

27、，costanExxxEx 彈性的四則運(yùn)算彈性的四則運(yùn)算12121212( )( )( )( )( )( )(1)( )( )Ef xEfxf xfxE f xfxExExExf xfx 1212( )( )(2)E fx fxEf xEfxExExEx1212( )( )( )( )(3)f xEfxEf xEfxExExEx函數(shù)彈性的圖解方案函數(shù)彈性的圖解方案m( , ( )A x f x( )yf xyyOxx對(duì)于給定的函數(shù)對(duì)于給定的函數(shù) yf x的幾何意義知的幾何意義知（如圖所示），由邊際函數(shù)（如圖所示），由邊際函數(shù)tan my 又平均函數(shù)為又平均函數(shù)為 tanf xx則則tantan

28、mEyEx 注：注：常用符號(hào)常用符號(hào)表示需求的價(jià)格彈性的絕對(duì)值表示需求的價(jià)格彈性的絕對(duì)值ddP QQP 1. 1. 需求的價(jià)格彈性需求的價(jià)格彈性 需求的需求的價(jià)格彈性價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起的需求量的反應(yīng)程度以后引起的需求量的反應(yīng)程度. .用公式表示為用公式表示為0dlimddpQPQPEPQPQ 三、三、 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)解：解：d100dQP 2010021000EP 例例1 1 某需求曲線為某需求曲線為1003000QP ，求，求 P = 20時(shí)時(shí)的彈性。的彈性。，當(dāng)，當(dāng) P = 20時(shí)，時(shí)，Q = 1000，所以，

29、所以幾種特殊的價(jià)格彈性幾種特殊的價(jià)格彈性從理論上來(lái)說(shuō)，有以下四種特殊的需求彈性：從理論上來(lái)說(shuō)，有以下四種特殊的需求彈性：（1）需求的價(jià)格彈性等于）需求的價(jià)格彈性等于0。也就是說(shuō)，這種商品。也就是說(shuō)，這種商品完全沒有彈性，不管價(jià)格如何變，其需求量都不會(huì)完全沒有彈性，不管價(jià)格如何變，其需求量都不會(huì)發(fā)生變化。這種商品的發(fā)生變化。這種商品的需求曲線的圖形是一條需求曲線的圖形是一條垂直的直線。垂直的直線。POQ()aD0dE（2）需求的價(jià)格彈性為無(wú)窮大。它表明商品在一）需求的價(jià)格彈性為無(wú)窮大。它表明商品在一定價(jià)格條件下，有多少就可以賣掉多少；然而想把定價(jià)格條件下，有多少就可以賣掉多少；然而想把價(jià)格稍微提

30、高一點(diǎn)點(diǎn)，價(jià)格稍微提高一點(diǎn)點(diǎn)，就可能一個(gè)也賣不掉。就可能一個(gè)也賣不掉。這種商品的需求曲線為這種商品的需求曲線為一條水平的直線。在這一條水平的直線。在這市場(chǎng)里，不同企業(yè)的產(chǎn)市場(chǎng)里，不同企業(yè)的產(chǎn)品是同質(zhì)的，價(jià)格由市品是同質(zhì)的，價(jià)格由市場(chǎng)供需關(guān)系所決定；場(chǎng)供需關(guān)系所決定；POQ( )bDdE POQ( ) cD1dE（3）單位彈性。即需求曲線上各點(diǎn)的彈性均為）單位彈性。即需求曲線上各點(diǎn)的彈性均為1，也就是說(shuō)，在任何價(jià)格水平下，價(jià)格變動(dòng)一個(gè)百分也就是說(shuō)，在任何價(jià)格水平下，價(jià)格變動(dòng)一個(gè)百分比時(shí)，需求量均按同樣的百分比變化。這種商品的比時(shí)，需求量均按同樣的百分比變化。這種商品的需求曲線是一條雙曲線，其方程

31、為需求曲線是一條雙曲線，其方程為P Q = =K。例如，例如，當(dāng)一個(gè)人從每月的工資中當(dāng)一個(gè)人從每月的工資中拿出一定數(shù)量的錢，如拿出一定數(shù)量的錢，如100元，購(gòu)買書時(shí)，其個(gè)人對(duì)元，購(gòu)買書時(shí)，其個(gè)人對(duì)書的需求曲線就是一條雙書的需求曲線就是一條雙曲線；曲線；POQMAB( )d1dE1dE1dE （4）需求曲線是一條傾斜的直線（如圖）。這里需求）需求曲線是一條傾斜的直線（如圖）。這里需求曲線的各點(diǎn)的彈性都是變化的。曲線的各點(diǎn)的彈性都是變化的。在其上端點(diǎn)（在其上端點(diǎn)（A），），dE ；在其上端點(diǎn)（；在其上端點(diǎn)（B），），0dE 需求曲線的中點(diǎn)（需求曲線的中點(diǎn)（M），），1dE需求曲線的需求曲線的 AM

32、 部分，部分，1dE，稱之為，稱之為彈性需求彈性需求；需求曲線的需求曲線的 MB 部分，部分，1dE，稱之為，稱之為非彈性需求非彈性需求。例例9.設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為1002QP，050P，其中，其中 P 為價(jià)格，為價(jià)格，Q 為需求量：為需求量：（1）當(dāng)）當(dāng) P = 10，且價(jià)格上漲，且價(jià)格上漲 1%時(shí)，需求量時(shí)，需求量 Q 是是增加還是減少，變化百分之幾？增加還是減少，變化百分之幾？（2）討論商品價(jià)格變化時(shí)，需求量變化的情況。）討論商品價(jià)格變化時(shí)，需求量變化的情況。解：解：（1）需求彈性）需求彈性 ddP QPQP 21002PP 50PP故故100.25由于由于 P 和

33、和 Q 是按相反方向變化的，在是按相反方向變化的，在 P =10，且價(jià)格上漲且價(jià)格上漲1%時(shí)需求量時(shí)需求量Q則減少則減少（2）當(dāng)）當(dāng)01，即，即0150PP時(shí)，因時(shí)，因0P ，故，故500P，即，即25P 。因而當(dāng)價(jià)格因而當(dāng)價(jià)格 P 在在0與與25之間變化，且上漲（下降）之間變化，且上漲（下降）1%時(shí)，需求量減少（增加）時(shí)，需求量減少（增加）%，小于價(jià)格上漲，小于價(jià)格上漲（下降）的百分比（因（下降）的百分比（因1）；）；當(dāng)當(dāng)1，即，即150PP，得，得25P 這表明這表明 P = 25時(shí)，需求量的變動(dòng)與價(jià)格變動(dòng)按相同時(shí)，需求量的變動(dòng)與價(jià)格變動(dòng)按相同的百分比進(jìn)行；的百分比進(jìn)行；當(dāng)當(dāng)1，即，即15

34、0PP時(shí)，顯然得時(shí)，顯然得25P %于是，當(dāng)于是，當(dāng)2550P且價(jià)格且價(jià)格 P 上漲（下降）上漲（下降）1%時(shí)，需求量減少（增加）時(shí)，需求量減少（增加），大于價(jià)格上漲，大于價(jià)格上漲（下降）的百分比（因（下降）的百分比（因1）。）。需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷售總額）的關(guān)系需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷售總額）的關(guān)系總收益總收益 RP QP f P邊際總收益邊際總收益 RP fPf P 1Pf PfPf P 1f P邊際總收益邊際總收益 1Rf P （1）若）若1，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度此時(shí)，邊際收益大于零，即價(jià)格上漲，總收益增加，此時(shí)，邊際收益大于零，即價(jià)格上漲，總收益增加，價(jià)格下跌，總收益減少；價(jià)格下跌，總收益減少；（2）若）若1，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度此時(shí)，邊際收益小于零，即價(jià)格上漲，總收益減少，此時(shí)，邊際收益小于零，即價(jià)格上漲，總收益減少，價(jià)格下跌，總收益增加；價(jià)格下跌，總收益增加；綜上