利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器

1、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) 000000000000指導(dǎo)教師學(xué) 院專 業(yè) 電子信息工程 年級(jí) 2199級(jí)答辯日期 2148 年 13 月 32 日利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器完成日期：指導(dǎo)教師簽字：答辯小組成員簽字：摘要數(shù)字濾波技術(shù)是數(shù)字信號(hào)處理的一個(gè)重要組成部分，濾波器的設(shè)計(jì)是信號(hào)處理的核心問題之一。數(shù)字濾波器是具有一定傳輸特性的數(shù)字信號(hào)處理裝置，其輸入輸出都是離散的數(shù)字信號(hào)，借助于數(shù)字器件或一定的數(shù)值計(jì)算方法，對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行處理，改變輸入信號(hào)的波形或頻譜，達(dá)到保留信號(hào)中有用成分去除無用成分的目的。實(shí)際應(yīng)用中，數(shù) 字濾波器往往作為模擬濾波器的一個(gè)組成部

2、分。本文介紹了有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)以及原理，根據(jù) FIR濾 波器的原理，著重介紹了 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法，給出了在MATLAM境下，用FIR 濾波器的過程和設(shè)計(jì)實(shí)例。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的FIR濾波器的各項(xiàng)性能指標(biāo)均達(dá)到了指定要求，設(shè)計(jì)過程簡(jiǎn)便易行。該方法為快速、高效地設(shè)計(jì)FIR 濾波器提供了一個(gè)可靠而有效的途徑。關(guān)鍵詞：數(shù)字濾波器；有限沖激響應(yīng) FIR;窗函數(shù)設(shè)計(jì)法；MATLAB4AbstractDigital filtering technique is an important component of digital signal processing.Th

3、e design of filter is one of the core problems in signal processing. Summary digital filter is a certain transport characteristics of digital signal processing electronics, its input and output are discrete digital signal, with the help of digital device or certain numerical calculation methods, on

4、the input signal processing, changing the input signal waveform or spectrum, reaches a retention signal removal of unwanted in useful component composition. Real applications, digital filters are often used as an integral part of the analog filter.This paper introduces the devision ,structure and pr

5、inciple of FIR digital filters.According to the principle of FIR filters, window function design method and frequency sampling method Park-McClellan of the FIR filters are introduced.In the environment of MATLAB ,design process of FIR filters and design examples are introduced with three methods. Th

6、e simulation results show that, the design of FIR filters of various performance indicators have reached specified requirements, design process is simple and easy. This method is rapid and efficient which provides a reliable and efficient way for FIR filter.Key words： digital filter； FIR ； window； M

7、ATLAB1. 緒論 11.1. 數(shù)字濾波器 11.2. 數(shù)字濾波器的概述 11.3. 研究目的和意義 12. FIR數(shù)字濾波器的簡(jiǎn)介 32.1. FIR數(shù)字濾波器的概念 32.2. FIR數(shù)字濾波器的工作原理 32.3. FIR數(shù)字濾波器的種類 32.4. FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn) 32.5. FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理 43. FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 53.1. 頻率抽樣設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)FIR濾波器簡(jiǎn)介 53.2. 等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介 53.3. 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR 濾波器介紹 64. 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR 數(shù)字濾波器 94.1. 基本原理分析 94.2. 窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 94.3. 設(shè)計(jì)

8、實(shí)例 124.4. 窗函數(shù)法計(jì)算中的主要問題 135. MATLAB簡(jiǎn)介與數(shù)字濾波器的 MATLA亞現(xiàn) 155.1. MATLAB軟件及其公司簡(jiǎn)介 155.1.1. MATLAB 簡(jiǎn)介 155.1.2. MATLAB 發(fā)展歷程 155.1.3. MATLAB 2012b 版新增功能 155.2. MATLAB實(shí)現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器 155.2.1. MATLAB實(shí)現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程 155.2.2. 程序流程圖及程序 165.2.3. 程序運(yùn)行結(jié)果圖 205.3. Sumilink 仿真 235.4. 結(jié)果與分析 285.4.1. MATLAB的”.m”文件實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR數(shù)字

9、濾波器 285.4.2. MATLAB的Simulink仿真實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR數(shù)字濾波器286. 總結(jié) 29參考文獻(xiàn) 30致謝 31利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器1. 緒論1.1. 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器是一種對(duì)信號(hào)進(jìn)行過濾的過濾裝置。數(shù)字濾波器的功能是處理輸入的離 散信號(hào)，以及改變信號(hào)的頻譜。數(shù)字濾波器在60年代中期是一個(gè)術(shù)語。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和大規(guī)模集成電路的飛速 發(fā)展，數(shù)字濾波器可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)軟件和大規(guī)模集成數(shù)字硬件6o數(shù)字濾波器是一個(gè)針對(duì)離散時(shí)間進(jìn)行處理的系統(tǒng)。它的功能通俗地講，就是根據(jù)預(yù) 定的算法，將輸入的離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行處理、過濾，輸出為要求的離散時(shí)間信號(hào)。模擬 信號(hào)的數(shù)字濾波

10、處理對(duì)應(yīng)的模擬頻率，我們必須限制帶，采樣和輸入的模擬信號(hào)的模擬 數(shù)字轉(zhuǎn)換1。數(shù)字頻率的數(shù)字濾波器的輸入信號(hào)（2兀* F / FS , F為模擬信號(hào)的頻率， FS的采樣頻率，在模擬頻率差），根據(jù)奈奎斯特采樣定理，使光譜采樣信號(hào)不重疊，應(yīng) 小于折疊頻率（WS / 2 =兀）2,在冗的周期重復(fù)特性折區(qū)間其頻率響應(yīng)，和頻率 3=冗 對(duì)稱點(diǎn)。數(shù)字輸出信號(hào)的數(shù)字濾波處理，數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換，平滑處理，可以模擬信號(hào)。數(shù) 字濾波器具有精度高，可靠性高的特點(diǎn)，可編程的變化特征或重復(fù)使用，易于集成。數(shù) 字濾波器被廣泛應(yīng)用于語音信號(hào)處理，圖像信號(hào)處理，生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理等方面的應(yīng)用。數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通

11、等類型。也可以分為時(shí)不變的，時(shí)變 的，因果的，非因果的、線性的和非線性的。1.2. 數(shù)字濾波器的概述數(shù)字濾波一般使用于語音和圖像處理，模式識(shí)別，高清晰度電視，光譜分析應(yīng)用程 序的領(lǐng)域。在和模擬濾波器相比之下，數(shù)字濾波器可以滿足濾波器對(duì)幅度和相位特性的 嚴(yán)格要求。數(shù)字濾波器可以避免電壓漂移，溫度漂移和噪聲等問題，而模擬濾波器卻無 法克服上述問題。有限脈沖響應(yīng)（FIR）濾波，由于FIR系統(tǒng)為零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，容 易實(shí)現(xiàn)的FFT算法，運(yùn)算速度快，功能和設(shè)計(jì)線性相位更靈活，所以 FIR數(shù)字濾波器廣 泛應(yīng)用于工程實(shí)踐5o提到FIR數(shù)字濾波器，不得不提到分布算法。分布式算法是一種實(shí)現(xiàn)乘加運(yùn)算的方 法，與傳

12、統(tǒng)算法相比，乘加不同的是不同的執(zhí)行部分產(chǎn)品的操作順序。簡(jiǎn)單的說，在完 整的乘法和添加劑的作用是部分產(chǎn)品各相應(yīng)位置輸入數(shù)據(jù)之前添加到表格的繪制出相 應(yīng)的部分分布式算法，然后對(duì)產(chǎn)品的每一部分都積累形成的最終結(jié)果，但傳統(tǒng)的算法是 在所有的產(chǎn)品已添加到完成乘法添加操作。分布式的優(yōu)點(diǎn)是減少了硬件電路的體積，實(shí) 現(xiàn)流水線處理，從而提高執(zhí)行速度。1.3. 研究目的和意義在數(shù)字信號(hào)處理中，數(shù)字濾波器是一種最常用的單位。它是用于輸入信號(hào)x N頻率特性的具體變化，為Y N輸出序列。與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)具有以下優(yōu)點(diǎn)：1,相位響應(yīng)可以是嚴(yán)格線性的，所以它沒有延遲失真，只有固定的時(shí)間延遲。2,由于

13、不存在穩(wěn)定性問題，所以設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單。3,只含有真正的算法，不涉及復(fù)雜的算法，而不需要遞歸的。止匕外，我們也應(yīng)該看到，IIR濾波器由于其簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)，它主要是用來設(shè)計(jì)如低通， 高通，帶通和帶阻濾波器的分段恒定的性質(zhì)，而不是從模擬濾波器模式10 o但是，F(xiàn)IR濾波器是更靈活的，尤其是他易于適應(yīng)某些特殊應(yīng)用，如數(shù)字微分器或希爾伯特變換器， 所以，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有更大的適應(yīng)性和廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。352. FIR數(shù)字濾波器的簡(jiǎn)介2.1. FIR數(shù)字濾波器的概念FIR(Finite Impulse Response) 濾波器：有限脈沖響應(yīng)濾波器，是數(shù)字信號(hào)處理系 統(tǒng)中最基本的元素，它可以保證所有的幅頻特性

14、和嚴(yán)格的線性相位頻率特性，與單位取 樣響應(yīng)是有限的，所以該濾波器是穩(wěn)定系統(tǒng)。因此，F(xiàn)IR濾波器被廣泛用于通信領(lǐng)域，圖像處理，模式識(shí)別，等等。2.2. FIR數(shù)字濾波器的工作原理在FIR濾波器，首先將信號(hào)通過A/D模數(shù)轉(zhuǎn)換裝置，使得數(shù)字信號(hào)的8位逐次逼近 型，在A / D轉(zhuǎn)換器一般可用高的速度，無論是 Mac或分布式算法設(shè)計(jì)的FIR濾波器， 濾波器的輸出數(shù)據(jù)是一個(gè)序列，以使它的直覺反應(yīng)，還需要通過數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換，所以由 FPGA勺FIR濾波器的輸出應(yīng)當(dāng)與D/A模塊連接。FPGA勺內(nèi)部邏輯陣列的結(jié)構(gòu)和豐富的 互連資源，特別適合于數(shù)字信號(hào)處理任務(wù)，與一般的DSP5片的串行操作為主，更好的并行性和可擴(kuò)展

15、性，使用FPGA MACT快速算法，可以高速FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。2.3. FIR數(shù)字濾波器的種類目前，F(xiàn)IR濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)具有以下幾個(gè)方面：一是使用一個(gè)通用的數(shù)字濾波電路，該電路雖然簡(jiǎn)單易用，但其缺陷是長(zhǎng)度和秩序 不規(guī)范，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)不易完全滿足實(shí)際需要。 但由于多個(gè)擴(kuò)展可以滿足使用要求， 可這樣又會(huì)增加體積和功耗。因此在實(shí)際應(yīng)用中有一定的局限性。另一個(gè)是DSP芯片。隨著數(shù)字彳S號(hào)處理功能的 DSP5片可以被調(diào)用，可以實(shí)現(xiàn)相對(duì) 簡(jiǎn)單的FIR濾波器，缺點(diǎn)是芯片的程序順序執(zhí)行，所以速度限制。即使是同一家公司， 如果不同系統(tǒng)的DSP5片，其編程指令也不同，需要較長(zhǎng)的開發(fā)周期。還有一種是可編

16、程邏輯器件的使用,FPGA7CPLD FPGAii有規(guī)則塊陣列和豐富的互 連資源的內(nèi)在邏輯，特別適用于細(xì)粒度和實(shí)現(xiàn)的并行 FIR濾波器結(jié)構(gòu)的高度，與通用DSP 芯片的串行操作龍頭相比，并行性和可擴(kuò)展性更好。2.4. FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)數(shù)字信號(hào)處理的主要目的是研究數(shù)字或符號(hào)的序列表示的信號(hào)波形,并用數(shù)字的方式來處理這些序列，將其轉(zhuǎn)變成在一個(gè)形式感多大希望，為了估計(jì)信號(hào)的特征參數(shù)，或 削弱冗余分量信號(hào)和增強(qiáng)信號(hào)中的有用成分。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器可以用嚴(yán)格的線性相位，振幅特征也可以有任意 的。止匕外，F(xiàn)IR濾波器的單位取樣響應(yīng)是有限的，所以過濾器必須是穩(wěn)定的。再次，只 要有一定的延遲

17、后，任何非因果序列的有限長(zhǎng)度可以變成一個(gè)有限長(zhǎng)度的序列的因果關(guān) 系，所以總是用因果系統(tǒng)。最后，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應(yīng)是有限的，通過傅立葉變 換，對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，從而可以大大提高計(jì)算效率。然而，為了獲得良好的衰減特性的 FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器H(z)的階次比IIR濾波器的要高。2.5. FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理一個(gè)截止頻率為®c(rad/s)的理想數(shù)字低通濾波器，其傳遞函數(shù)的表達(dá)式是:Hd(ej)(e>m®c =0, oc < o < n I c c(2.5-1)由式2.5-1可得，此沖激響應(yīng)具有無限性和因果性，所以這樣的濾波器在實(shí)際中是 不可能實(shí)

18、現(xiàn)的。為了產(chǎn)生有限長(zhǎng)度的沖激響應(yīng)函數(shù)，我們?nèi)禹憫?yīng)為 h(n),長(zhǎng)度為N, 其系數(shù)函數(shù)為H(z):N 二 H(z)八 h(n)z n 與(2.5-2)用山表示截取hd(n)后沖激響應(yīng)，即h(n)=6(n)hd(n),式子中6(n)為窗函數(shù)，長(zhǎng) 度為N。當(dāng)p=(N-1)/2時(shí)，截取的一段h(n)對(duì)(N-1)/2對(duì)稱，可以設(shè)計(jì)出有線性相位的 濾波器。一般來說，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器輸出y(n)的Z變換形式Y(jié)(z)與輸入x(n)的Z變換形式之 間的關(guān)系如下：1_nY(z) = H(z)X(z)=(h(0)+h(1)z +h(n)z )X(z)(2.5-3)根據(jù)上述的Z變換和結(jié)構(gòu)圖可得出FIR濾波器的差分方

19、程表示形式。對(duì)式2.5-3進(jìn) 行反Z變換，可得：y(n) =h(1)x(n) h(2)x(n -1)h(n)x(1)(2.5-4)圖2.5-1卷積型濾波器式(2.5-4)為FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域表示方法，其中x(n)是在時(shí)間n的濾波器的輸 入抽樣值。根據(jù)式(2.5-4)即可對(duì)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。從上面可以看出，根據(jù)濾波器的設(shè) 計(jì)方法，使整個(gè)設(shè)計(jì)過程的運(yùn)算量將是巨大的。設(shè)計(jì)完成后對(duì)已設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響 應(yīng)進(jìn)行校核，運(yùn)算量也很大。在數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程中，需要與設(shè)計(jì)要求的變化和過 濾效果，繼續(xù)調(diào)整，以達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)。在這種情況下，應(yīng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，利用MATLAB 工具，可以快速和有效的數(shù)字濾波器

20、的設(shè)計(jì)，大大減少了計(jì)算量。3. FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1. 頻率抽樣設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)FIR濾波器簡(jiǎn)介頻率采樣法是根據(jù)頻域采樣定理，從頻域出發(fā)，對(duì)給定的理想濾波器的頻率響應(yīng)H (ejw)加以等間隔的抽樣,得到hd(k):Hd(k) = Hd(ejw) w,謾卜k=0,1, -Nl(3.1-1)ll/_jw再利用Hd(k)可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H億)及頻率響應(yīng)H(e )0在每個(gè)采樣點(diǎn)的頻率響應(yīng)的加權(quán)內(nèi)疊加插值功能擴(kuò)展的結(jié)果。但對(duì)于一個(gè)無窮序 列，頻率采樣法必須有一個(gè)給定的近似誤差，誤差取決于理想的形狀的頻率響應(yīng)曲線， 轉(zhuǎn)換更溫和的理想的頻率響應(yīng)特性，插值函數(shù)值越接近理想值，誤差越小。在相應(yīng)的過

21、 渡頻帶的插入連續(xù)采樣點(diǎn)，擴(kuò)展過渡帶上連續(xù)，使通帶和阻帶之間的轉(zhuǎn)換是比較緩慢， 可以提高近似的質(zhì)量。選取wC 0,2冗內(nèi)N個(gè)采樣點(diǎn)的約束條件為：:H (k) = H (N -k)中(m)=9(Nm) 0wkwN1(3.1-2)其中，增大阻帶的衰減的主要方法有兩種：1)過渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì)2)加寬過渡帶寬如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)No其代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便；適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻 率響應(yīng)少有幾個(gè)難以控制截止頻率的非零值。3.2. 等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介通常線性相位濾波在不同的頻帶內(nèi)逼近的最大容許誤差要求

22、不同。等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則就是通過通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)其最大誤差達(dá)到最小值，jwjw、即使得Hd(e )和H(e )之間的最大絕對(duì)誤差最小。jw等波紋切比雪夫逼近是米用加權(quán)逼近誤差 E(e ),它可以表示為：E(ejw) =W(ejw)(Hd(ejw)-H(ejw)(3.2-1)jw其中，W(e )為逼近誤差加權(quán)函數(shù)在誤差要求高的頻段上，可以取較大的加權(quán)值， 否則，應(yīng)當(dāng)取較小的加權(quán)值。盡管按照FIR數(shù)字濾波器單位取樣響應(yīng)h(n)的對(duì)稱性和N的奇、偶性，F(xiàn)IR數(shù)字 濾波器可以分為4種類型，但濾波器的頻率響應(yīng)可以寫成統(tǒng)一的形式：jwT2)w2 j(二 2)kH(e)=e 2e

23、2 H(w)(3.2-2)式3.2-2中，k的范圍是0 ,1,其中式中的H()是純實(shí)數(shù)，代表幅度，表達(dá)式的統(tǒng)一的形式是：Hd(ejw) = Q( )P()(3.2-3)其中，Q(cc)為的固定函數(shù)，P為M個(gè)余弦函數(shù)的線性組合。3.3.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器介紹實(shí)際應(yīng)用的窗函數(shù)，可分為以下主要類型：1、幕窗-采用時(shí)間變量t為某種幕次的函數(shù)，矩形窗、三角形窗、梯形窗都是幕2、三角函數(shù)窗-正弦或余弦函數(shù)等組合成復(fù)合函數(shù)，如漢寧窗、海明窗等;3、指數(shù)窗-采用指數(shù)時(shí)間函數(shù)，如e”形式，例如高斯窗等。卜面介紹幾種常用窗函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)(1)矩形窗矩形窗屬于時(shí)間變量的零次幕窗，函數(shù)形式為(t)=*To,t

24、 MT(3.3-1)相應(yīng)的窗譜為:2 sin TW()二- T(3.3-2)矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號(hào)通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點(diǎn)是主瓣比 較集中，可是同時(shí)使旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，還使變換中摻雜了高頻干擾和泄漏，出現(xiàn) 負(fù)譜2。圖3.3-1矩形窗的時(shí)域及頻域波形(2)三角窗亦稱費(fèi)杰(Fejer)窗，是幕窗的一次方形式，其函數(shù)形式是:3(t) = "%kT0, t <T(3.3-3)三角窗的主瓣寬約等于矩形窗的主瓣寬的兩倍。但三角窗旁瓣小，而且無負(fù)旁瓣, 如下圖所示。圖3.3-2三角窗的時(shí)域及頻域波形(3)漢寧(Hanning)窗漢寧窗又稱開余弦窗，其時(shí)域表達(dá)式為：1,1

25、1(t ) =_ (T 22(3.3-4)0,t力相應(yīng)的窗譜為:sin TWM1 sin( T2 |L 二)sin( T -二)T 一二(3.3-5)由此式可以看出，漢寧窗的時(shí)間窗的頻譜是3個(gè)矩形窗之和，或者說是3個(gè)sin(t) 型函數(shù)之和，而括號(hào)中的兩項(xiàng)是為了讓旁瓣互相抵消， 消去高頻干擾和漏能，于是向左、 右各移動(dòng)了冗“個(gè)單位。由此可知，漢寧窗主瓣加寬、降低，旁瓣則減小，所以漢寧 窗優(yōu)于矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于降低頻率的分辨率，加寬分析帶寬。(4)海明(Hamming)W海明窗是余弦窗的，也可以稱為改進(jìn)的開余弦窗，它的時(shí)間函數(shù)表達(dá)式：cc(t )= <r1一 (0. 54T0

26、,t| >Tc二 t0. 4 cos ),t mT(3.3-6)其窗譜為:sin T 八sin( T 二)sin( T 一 奠)W(: 1.08 0.46 - (3.3-7)T1(二T 二T - -海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權(quán)系數(shù)不同。海明窗加權(quán)的系數(shù)能使旁瓣達(dá)到 更小。有上述分析可得知，海明窗比漢寧窗衰減速度慢。海明窗與漢寧窗都是很有用的 窗函數(shù)。(5)高斯窗高斯窗是一種指數(shù)窗。其時(shí)域函數(shù)為：1 at2-e 一 以t) = T(3.3-8)式中a為常數(shù)，決定了函數(shù)曲線衰減的快慢。選取適當(dāng)?shù)?a值，則截?cái)嘣斐傻挠绊?就比較小。高斯窗譜無負(fù)的旁瓣，第一旁瓣衰減達(dá)一55 dBo高斯窗的

27、頻率分辨率低，故而主瓣較寬。所以高斯窗函數(shù)可以用與截?cái)嘀笖?shù)衰減信號(hào)等一些非周期信號(hào)根據(jù)不同 的窗函數(shù)的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)倪x擇窗函數(shù)可以抑制信號(hào)的截?cái)喈a(chǎn)生的能量泄漏和柵欄效應(yīng)。 圖3.3-3是窗函數(shù)的時(shí)域和頻域波形。矩形窗的特點(diǎn)是主瓣窄，旁瓣大，頻率識(shí)別精度 最高，幅值識(shí)別精度最低；布萊克曼窗的特點(diǎn)是主瓣寬，旁瓣小，頻率識(shí)別精度最低， 但幅值識(shí)別精度最高。圖3.3-3幾種常用的窗函數(shù)的時(shí)域和頻域波形對(duì)于窗函數(shù)，還有一些要求：1)主瓣歸一化的幅度下降到-3dB。2)最大邊瓣峰值A(chǔ)(dB)。3)邊瓣譜峰漸進(jìn)衰減速度D(dB/cot)。所以，有最小的A、B,和最大的D是理想的窗函數(shù)應(yīng)當(dāng)具有的條件4.利用窗函

28、數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器4.1. 基本原理分析設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為H(ej巧，hd(n)是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng),H(z)為 系統(tǒng)函數(shù)。N 1(4.1-1)H (ej ) ='、h(n)enn =01 hd (n) = H d (e )e d 2 二-二(4.1-2)N 1H (z)=" h(n)z，t(4.1-3)一般說來，hd(n)是無限長(zhǎng)的，需要求對(duì)Hd 的一個(gè)逼近。故，當(dāng)采用窗函數(shù)設(shè) 計(jì)法時(shí)，可加窗設(shè)計(jì)濾波器(4.1-4)h(n) = (n)hd(n)其中，G(n)的窗長(zhǎng)度有限，在區(qū)間0 & n < N外值為0 ,且關(guān)于中間點(diǎn)對(duì)稱(4.1-5)(n)

29、=(N -1 -n)頻率響應(yīng)根據(jù)(4.1-5),由卷積定理得出；1；H(ej )=Hd(ej ) (ej )(4.1-6)2 二理想的頻率響應(yīng)被窗函數(shù)的離散時(shí)間傅立葉變換 以儂)“平滑” 了。采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)出來的濾波器的頻率響應(yīng)對(duì)理想響應(yīng)H d巧的逼近程度，由兩個(gè)因素決定：即，主瓣的寬度和旁瓣的幅度大小。理想的情況是 叫ej")主瓣的寬度窄，旁瓣的幅度小。但長(zhǎng)度固定的窗函，不能獨(dú)立 地將主瓣的寬度變窄，旁瓣的幅度變小。窗函數(shù)的性質(zhì)為：1、窗函數(shù)隨著長(zhǎng)度N的增加，主瓣的寬度減小，過渡帶也隨之變小。關(guān)系為:NB = C其中:B是過渡帶的寬度；C是一個(gè)參數(shù)，且取決于窗函數(shù)。如矩形 窗

30、為4冗。調(diào)整N只能控制過渡帶的寬度，但改變不了主瓣和旁瓣的相對(duì)比例。2、窗函數(shù)的旁瓣的幅度大小取決于窗函數(shù)的選擇。減小旁瓣的幅度，可以增加主瓣的能量含量，可以減少通帶和阻帶的波動(dòng)，使通帶趨 近水平，阻帶盡量達(dá)到最大衰減。旁瓣幅度的減小會(huì)使過渡帶會(huì)變寬。3、取不同的窗函數(shù)對(duì)幅度特性的整形效果。4.2. 窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法也叫傅里葉級(jí)數(shù)法。 一般是先給出所要求的理想的濾波器的頻率響N 1jH(ej )八 h(n)enj應(yīng)Hd(e )，要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器頻率響應(yīng)nw來逼近Hd(e )設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的，因而先由Hd(ej巧的傅里葉反變換導(dǎo)出hd(n),即hd (n)=。H d (ej

31、 )ej nd 2以士(4.2-1)由于H Me*)是矩形頻率響應(yīng)特性，故hd(n) 一定是無限長(zhǎng)序列，且是非因果的，而FIR濾波器的h(n)必然是有限長(zhǎng)的，所以要用有限長(zhǎng)的h(n)來逼近無限長(zhǎng)的hd(n),最 有效的方法是截?cái)鄅d(n)或者說用一個(gè)有限長(zhǎng)度的窗口函數(shù)序列6(n)來截取hd(n),即h(n) = Mn)hd(n)(4.2-2)所以，選擇的關(guān)鍵就是窗函數(shù)序列的長(zhǎng)度及形狀的。我們以一個(gè)截止頻率為8c的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例來討論。設(shè)低通特性的群延時(shí)為,即Hd( ej )e-1, -oc < o < tec =<0, ©c < O

32、 < 冗，一元 < 0(4.2-3)這表明，在通帶忖Lc范圍內(nèi)，九侄多的幅度是均勻的，其值為1,相位是一外利用(1)式可得1 ,、1 c _i. - i. n . c sin ! c( n - . ) 1hd(n) = e/ej nd =' c -2二-。二 c(n 一 二)(4.2-4)hd(n)是中心點(diǎn)在口的偶對(duì)稱無限長(zhǎng)非因果序列，取矩形窗 RN(n),得到有限長(zhǎng)的h(n),即 s(n) =RN(n)但是按照線形相位濾波器的約束，h(n)必須是偶對(duì)稱的，對(duì)稱中心應(yīng)為長(zhǎng)度的一半(N-1)/2 ,因而必須& =(N-1)/2 ,所以有h(n) =hd(n)(n)I&

33、lt;hd(n),0<n < N -10,n為其他(4.2-5)將(4.2-4)代入(4.2-5),可得0ch(n) = < ti/ N-1、 ,0 < n < N -1c(n2)(4.2-6)0,n為其他值此時(shí)，一定滿足h(n) = h(N -1_n)這一線性相位的條件。下面求卜(2的傅里葉變換，也就是找出待求FIR濾波器的頻率特性，以便能看出加 窗處理后究竟對(duì)頻率響應(yīng)有何影響。按照復(fù)卷積公式，在時(shí)域是相乘、頻域上是周期性卷積關(guān)系，即H (ej ) =Hd(e“Tdu21依(4.2-7)因而H(ej®)逼近Hd(ej”)的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特

34、性W與。窗函數(shù)6的頻率特性W(ejs)為N jW(ej ) = %.(n)e-j nn=0(4.2-8)N JWR(ej ) = " en n =0on/ N jYsin() 二 e 2 2- ./N sin(一)(4.2-9)也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù)Wn($ ) =WrN-j()-'()e 2(4.2-10)其中WR( )N sin( ) 2N- sin() 2(4.2-11)WR(ea就是頻域抽樣內(nèi)插函數(shù)，其幅度函數(shù)wrg)在仍=±2冗/ n之內(nèi)為一個(gè)主 瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應(yīng)也寫成.N /；j ( -k)' ,Hd(ej

35、 ) = Hd( )e(4.2-12)對(duì)矩形窗RN(n),則有則其幅度函數(shù)為%=0, r1, CO < Bc(4.2-13)4.3. 設(shè)計(jì)實(shí)例線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)(用窗函數(shù)法)。指標(biāo)要求：通帶截止頻率:0.2冗,阻 帶起始頻率:0.4冗,阻帶最小衰減：-50dB(1)設(shè)H (ej&)為理想線性相位濾波器H (e峻)=«0 <oc c0,其他(4.3-1 )通過所需低通濾波器的過渡帶的值，可求出理想低通濾波器的截止數(shù)字頻率 =0.3兀,得出:hd(n)=e，/j 5d產(chǎn)煙"%6一2 二- csin1 - cI JIc( n - .), n =，n

36、 二.N - 1N一,為線性相位所需的移位。2(2)由阻帶衰減確定窗函數(shù)，由過渡帶寬確定N值。阻帶最小衰減 函數(shù)基本參數(shù)選定窗函數(shù)為海明窗。所要求的過渡帶寬：A =0.4 兀-0.2 兀=0.2 幾N=6.6 兀 /0.2 兀=33, r =(N-1)/2=16(3)由海明窗函數(shù)確定FIR濾波器的h(n)。(4.3-2 )50dB,比對(duì)6種窗o (n) =0.540.46cos(N -1)Rn (n)sin c(n -N -1)hd(n)=N -1二 5一.)(4.3-3 )得出:h(n) = hd(n) , (n)二sin0.3二(二 -16)二(n -16)*0.54 -0.46 cos(

37、)Rn”)N -1(4.3-4 )(4)仿真檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)，得出結(jié)論：滿足設(shè)計(jì)要求。取N=33，偶對(duì)稱，得：過渡帶寬 Acd：0.3476563九,第一通帶波紋：0.020837dB,第一阻帶最小衰減：60.9159dB 。圖4.3-1例中設(shè)計(jì)的線性相位 FIR低通濾波器幅度響應(yīng)曲線 (海明窗)4.4. 窗函數(shù)法計(jì)算中的主要問題j.首先當(dāng)Hd(ej為很復(fù)雜時(shí)，或者條件不符合hd(n)=f H d (ej8)ed切直接計(jì)算積 2 二.；.分時(shí)，則須用求和來代替積分，以方便計(jì)算。換句話說，就是要計(jì)算離散傅里葉反變換，即采用FFT來計(jì)算。將積分限分成M段，也就是令抽樣頻率為2二.«k = -

38、k (1, 2,，M-1)(4.4-1 )則有1 M 1j2pk j2pknhM(n)= £ Hd(e M )e M(4.4-2 )M k=0頻域的抽樣造成時(shí)域序列的周期延拓，延拓周期是M即(4.4-3 )Q0hM (n)= '、hd (n rM )r -：(4.4-4 )由于hd(n)有可能是無限長(zhǎng)的序列，因而嚴(yán)格的說，必須 M t g時(shí)hM(n)才能等于 hd(n)而不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，即hd(n)= JmjM (n)實(shí)際上，由于hd(n)隨著n的值得增加，具衰減很快，所以只要 M足夠大,即M>>N 才可以滿足條件。另外，窗函數(shù)設(shè)計(jì)法為滿足給定的頻率響應(yīng)指標(biāo)，應(yīng)該

39、先確定點(diǎn)數(shù)N和形狀。不過這一問題可利用計(jì)算機(jī)采用累試法加以解決。一般在設(shè)計(jì)凱澤窗時(shí)，則零階變形貝塞爾函數(shù)可采用無窮級(jí)數(shù)來表達(dá)(4.4-5 )kJ二 1 x k=1 八-(-)k,k! 2，可以用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)去近似公式中的無窮級(jí)數(shù)，而項(xiàng)數(shù)的多少，是由要求精度來確定 的。窗函數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是很實(shí)用，因?yàn)樗?jiǎn)單，又有閉合形式的公式可循。但其缺點(diǎn)是通 帶、阻帶的截止頻率不易控制。這就需要對(duì) FIR濾波器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。5 . MATLA前介與數(shù)字濾波器的MATLA映現(xiàn)5.1. MATLA歌件及其公司簡(jiǎn)介5.1.1. MATLAffi#MATLAB是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及

40、交互式程 序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境30MATLAB口 Mathematica、Maple、MathCA所稱為四大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng) 用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。MATLABE要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理 與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析等諸多領(lǐng)域。5.1.2. MATLA發(fā)展歷程20世紀(jì)70年代，美國(guó)新墨西哥大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系主任 Cleve Moler用FORTRAN 寫了最早的 MATLAB 1984年，Little 、Moler、Steve Bangert 合作成立了 MathWorks 公司，把MATLAB1向市場(chǎng)。至IJ 20世紀(jì)90年代，MATLA既成

41、為國(guó)際控制界的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算 軟件4。5.1.3. MATLAB 2012b版新增功能桌面方面：在MATLABDesktop中，工具條取代了菜單和工具欄；單一文件應(yīng)用程 序打包為一個(gè)MATLAB應(yīng)用軟件安裝程序文件，包含在應(yīng)用程序庫中，重新設(shè)計(jì)的“幫 助”改進(jìn)了瀏覽、搜索和篩選功能；通過點(diǎn)擊選項(xiàng)卡來進(jìn)行瀏覽，可同時(shí)查看多個(gè)文檔 頁面；在命令行窗口中鍵入函數(shù)和變量出錯(cuò)時(shí)得到建議的更正；Mac操作系統(tǒng)上的全屏查看模式7。語言和編程方面：Abstract屬性可將MATLAB類聲明為抽象類；嘗試創(chuàng)建抽象類 的實(shí)例時(shí)出現(xiàn)的診斷消息得到了改進(jìn)。數(shù)學(xué)方面：airy, psi和Bessel函數(shù)的性能得到改進(jìn)，并實(shí)現(xiàn)

42、多線程；ddensd函 數(shù)通過狀態(tài)相關(guān)延遲可以求解中立型延遲微分方程。數(shù)據(jù)導(dǎo)入和導(dǎo)出方面：增加了可從分隔符文本文件和固定寬度文本文件的功能；使 用導(dǎo)入工具以列向量的方式將電子表格中的數(shù)字、文本和日期單步導(dǎo)入；可讀取和寫入 MP3 MPEG-4 AAC WAV堂音頻文件；讀寫超過 4 GB 的BigTIFF 圖像文件；使用 xlsread 函數(shù)在所有平臺(tái)上讀取XLSM XLTX和XLTM文件。5.2. MATLAB;現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器5.2.1. MATLAB5現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程窗函數(shù)法由于簡(jiǎn)單、物理意義清晰，因而得到了較為廣泛的應(yīng)用。用MATLAER現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的

43、思路是：首先為使其幅頻特性逼近理想濾波器幅頻特 性的技術(shù)指標(biāo)要求，選取合適的階數(shù)N和窗函數(shù)的類型網(wǎng)。從數(shù)學(xué)上講，窗函數(shù)法就是將無限長(zhǎng)的hd(n)進(jìn)行截?cái)?。?jiǎn)而言之，用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR濾波器是在時(shí)域進(jìn)行的， 先用傅里葉變換求出理想濾波器單位抽樣相應(yīng)hd(n)，然后加時(shí)間窗w(n)對(duì)其進(jìn)行截?cái)?，以求得FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)。窗函數(shù)通過截短和平滑的作用，提高濾波器的性能，或減少濾波器階數(shù)。選窗標(biāo)準(zhǔn)：1 .較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣；2 .旁瓣幅度要下降得快，以利于增加阻帶衰減；3 .主瓣寬度要窄，這樣濾波器過渡帶較窄。如果這三點(diǎn)不能同時(shí)滿足時(shí)，有兩種選擇方式。一，選用較窄的主瓣寬

44、度，得到較陡峭 的幅頻特性。不過通帶、阻帶波動(dòng)會(huì)明顯增加。二，選用的旁瓣幅度較低，得到平緩勻 滑的幅頻特性較，過渡帶變的比較寬。因此，實(shí)際的選擇往往是取折衷 90利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器，就是根據(jù)不同窗函數(shù)的特性來做出折中的選擇 方案，根據(jù)其參數(shù)特點(diǎn)來優(yōu)化設(shè)計(jì)出的 FIR數(shù)字濾波器的。根據(jù)過渡帶寬及阻帶衰減要 求，選擇窗函數(shù)的類型并估計(jì)窗口長(zhǎng)度 N設(shè)定為33,截止頻率wc= /4 ,利用矩形窗、 漢寧窗、哈明窗和布萊克曼函數(shù)設(shè)計(jì)低通濾波器，并對(duì)比幅度譜和損耗特性。5.2.2. 程序流程圖及程序圖522-1:主程序框圖程序一：N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-

45、1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m); wn=boxcar(N); hn=hdn.*(wn');H,w=freqz(hn,1,1024,'whole' );dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(1);subplot(1,3,1);stem(n,hn, '.');xlabel( 'n' );ylabel('h(n)');title('N=33 e ± e e?D?' ° h(n)');subplot(1

46、,3,2);plot(w,abs(H);xlabel( 'w' );ylabel('H(jw)');title('h(n)心？ d?6 ?夕axis(0,3,0,1.5);subplot(1,3,3);plot(w/pi,dbH);xlabel( 'w/pi' );ylabel('dB');title(?eo? i ?D?);axis(0,1,-110,0);N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=hanning(N);hn=

47、hdn.*(wn');H,w=freqz(hn,1,1024,'whole' );dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(2);subplot(1,3,1);stem(n,hn, '.');xlabel( 'n' );ylabel('h(n)');title('oo?t '° o e y e e ?h(n);subplot(1,3,2);plot(w,abs(H);xlabel( 'w' );ylabel('H(jw)'

48、);title('h(n)a ? u ?e ?/;axis(0,3,0,1.5);subplot(1,3,3);plot(w/pi,dbH);xlabel( 'w/pi' );ylabel('dB');title('?eo?i ?D?' );axis(0,1,-110,0);N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m); wn=hamming(N);'whole' );hn=hdn.*(wn');H,w=freqz(hn,1,10

49、24,dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(3);subplot(1,3,1);stem(n,hn, '.');xlabel( 'n' );ylabel( 'h(n)' );title(subplot(1,3,2);plot(w,abs(H);xlabel( 'w' );ylabel( 'H(jw)' )；title( subplot(1,3,3);plot(w/pi,dbH);xlabel( 'w/pi' );ylabel( 'dB'

50、 );title( N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);'1t? +' ° o e y e e ?h(n)''h(n)?6 ?夕axis(0,3,0,1.5);'?eo? i ?D?' );axis(0,1,-60,0);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=blackman(N);hn=hdn.*(wn');H,w=freqz(hn,1,1024,'whole' );dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figur

51、e(4);subplot(1,3,1);stem(n,hn, '.');xlabel( 'n' );ylabel( 'h(n)' );title( subplot(1,3,2);plot(w,abs(H);xlabel( 'w' );ylabel( 'H(jw)' );title( subplot(1,3,3);plot(w/pi,dbH);xlabel( 'w/pi' );ylabel( 'dB' );title(2? a 3? u o e y e e ?h(n)');&#

52、39;h(n)心？ u ?e ?Q;axis(0,3,0,1.5);?eo? i ?D?' );axis(0,1,-100,0);程序二：N=15; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=hanning(N);hn=hdn.*(wn');H,w=freqz(hn,1,1024,'whole' );dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H);figure(1);subplot(2,2,1);h(n)');stem(n,hn, '.&#

53、39;);xlabel( 'n' );ylabel( 'h(n)' );title( 'N=15 e ± e e ?oo?t subplot(2,2,2);plot(w,abs(H);xlabel( 'w' );ylabel('H(jw)');title('h(n)a ? u ?e ?/;axis(0,3,0,1.5);subplot(2,2,3);plot(w,angle(H);xlabel( 'w' );ylabel('|?(w)');title('h(n)a

54、?d ?x/);axis(0,3,-4,4);subplot(2,2,4);plot(w/pi,dbH);xlabel( 'w/pi' );ylabel('dB');title('?eo?i ?D?' );axis(0,1,-110,0);N=33; wc=pi/4;a=(N-1)/2;n=0:(N-1);m=n-a+eps;hdn=sin(wc*m)./(pi*m);wn=hanning(N);hn=hdn.*(wn');H,w=freqz(hn,1,1024,'whole' );dbH=20*log10(abs(H)+

55、eps)/max(abs(H);figure(2);subplot(2,2,1);stem(n,hn, '.');xlabel( 'n' );ylabel('h(n)');title('N=33 e ± e e ?oo?t ' ° h(n)');subplot(2,2,2);plot(w,abs(H);xlabel( 'w' );ylabel('H(jw)');title('h(n)心？ u ?e ?.;axis(0,3,0,1.5);subplot(2,2,3)

56、;plot(w,angle(H);xlabel( 'w' );ylabel('|?(w)');title('h(n)心？ d ? x / );axis(0,3,-4,4);subplot(2,2,4);plot(w/pi,dbH);xlabel( 'w/pi' );ylabel('dB');title(?eo? i ?D?' );axis(0,1,-110,0);上傳前我特意把兩個(gè)程序的完整版替換過 來了，MATLAB的：'m”文件可以直接運(yùn)行出結(jié) 果圖的。5.2.3.程序運(yùn)行結(jié)果圖圖5.2.3-1用矩形窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器圖5.2.3-2用漢寧窗函數(shù)設(shè)計(jì)