2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第7節(jié)第2課時(shí)利用空間向量求空間角學(xué)案理北師大

1、第2課時(shí) 利用空間向量求空間角題型分類突破典例剖析探求規(guī)律方法典例剖析探求規(guī)律方法（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 125 頁(yè)）|題型 1|求異面直線的夾角也 如圖 7-7-15，四面體ABCDh 0是BD的中點(diǎn)，CA= CB= CD= BD=2,AB= AD= 2.圖 7-7-15(1)求證：ACL平面BCDO(2)求異面直線AB與CD夾角的余弦值.解(1)證明：連接0C由CA= CB= CD= BD=2,AB= AD=2,0是BD的中點(diǎn)，知CO=3,AO=1,ACLBD在AOC中,AC=A0+OC,則ACLOC又Bm OC= Q因此ACL平面BCD(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系Qxyz，則A(0,0,1)

2、,B(1,0,0) ,C(0 , 3, 0) ,D1,0,0) ,AB=(1,0 , 1) ,CD=( 1，.3, 0),即異面直線AB與CD夾角的余弦值為唸2異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角跟蹤訓(xùn)練(2017 湖南五市十校 3 月聯(lián)考)有公共邊的等邊三角形ABC和BCD所在平面互 相垂直，則異面直線AB和CD夾角的余弦值為 _.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140254】:設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2.取BC的中點(diǎn)0,連接OA OD等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，二OA OCOD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所

3、示的空間直角坐標(biāo)系.B(0，- 1,0) ,C(0,1,0),D( , 3, 0,0),異面直線AB和CD夾角的余弦值為T(mén)SM2T卜(2017 浙江高考)如圖 7-7-16，已知四棱錐P-ABCDPAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC/ AD CDL AD(1)證明：CE/平面PAB則A(0,0 ,3), AB=(0 , 1,二 cosAB CD,3) ,CD=(；3 , 1,0),L ABCD=1A=2X214,求直線與平面的夾角43求直線CE與平面PBC夾角的正弦值.解(1)證明：如圖，設(shè)PA的中點(diǎn)為F,連接EF, FB所以EF/ AD且EF=2AD1又因?yàn)锽C/ AD BC=2AD所

4、以EF/ BC且EF=BC所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE/ BF因?yàn)锽F平面PAB CE/平面PAB所以CE/平面PAB(2)分別取BC AD的中點(diǎn)M N連接PN交EF于點(diǎn)Q連接MQ因?yàn)镋, F，N分別是PD PA AD的中點(diǎn)，所以Q為EF的中點(diǎn).在平行四邊形BCEF中 ,MQ CE由PAD為等腰直角三角形得PNL AD1由DCL AD BC/ AD BC=2 人口人口N是AD的中點(diǎn)得BNLAD所以ADL平面PBN由BC/ AD得BCL平面PBN那么平面PBCL平面PBN過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線,垂足為H ,連接MHMH是MQ&平面PBC上的射影，所以/QMH1直線CE與平面PBC

5、的夾角.設(shè)CD=1.在厶PCD中 ,由PC=2 ,CD=1,PD= , 2得CE=2 ,1在厶PBN中 ,由PN= BN=1,PB=3 得QH=4 ,在 RtMQH中 ,QH=1,MQ=2 ,4所以 sin /QMIH所以，直線CE與平面PBC夾角的正弦值是規(guī)律方法1線面角范圍 0,I,向量夾角范圍為0 ,n.2 線面角9的正弦值等于斜線對(duì)應(yīng)向量與平面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值|cosAB n|.矗即斜向量，n為平面法向量.跟蹤訓(xùn)練（2018 廣州綜合測(cè)試（二）如圖 7-7-17，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形,/BA*60,EBL平面ABCD FD平面ABCD EB=2FD=Q3a.乙(1)求

6、證：EFAC求直線CE與平面ABF夾角的正弦值.解證明：連接BD,因?yàn)樗倪呅蜛BC毘菱形，所以ACL BD因?yàn)镕DL平面ABCD AC平面ABCD所以ACLFD因?yàn)锽E FD= D所以ACL平面BDF因?yàn)镋BL平面ABCD FDL平面ABCD所以EB/ FD所以B, D, F,E四點(diǎn)共面.因?yàn)镋F平面BDFE所以EFLAC.即 sin9=圖 7-7-175(2)法一：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC DF勺方向?yàn)閥軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.所以AB=(0 ,a,0),AF=設(shè)平面ABF的法向量為n= (x,y,z),令x= 1,則平面ABF的一個(gè)法向量為n= (1,0,1).

7、設(shè)直線CE與平面ABF的夾角為0,TInCE3%f6所以 sin0= |cosn,CE | =.T8|n|CE所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為3占.8法二：如圖，設(shè)AS BD= O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A OB BE的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.12a，0，F(xiàn)0, 0,-qo,a,0),nAB=0,則nAF= 0,ay= 0 ,即冷ax+如+爭(zhēng)乙“,因?yàn)镃E=可以求得,-掃 0 ,12a，1,2a,67f所以 sin0= |cosn,CE | =所以直線CE與平面ABF夾角的正弦值為學(xué).8求二面角卜例非(2017 全國(guó)卷I)如圖 7-7-18，在四棱錐P

8、-ABCD中,AB/ CD,且/BAF=ZCDP=90.(1)證明：平面PABL平面PAD若PA=PD= AB= DC/AP= 90,求二面角A PB C的余弦值.解(1)證明：由已知/BAP=ZCD= 90,FO, -2a，#a.所以RB=一呂，2a, 0 .也-2-3,-?a, #a-設(shè)令x=1,則平面ABF設(shè)直線CE與平面ABF夾角為0,因?yàn)镃E=1,2a,CE3. 6f8In|CE1W3T圖 7-7-188得ABL AP, CDLPD因?yàn)锳B/ CD所以ABLPD又APH DP= P,所以AB丄平面PAD因?yàn)锳B三平面PAB所以平面PABL平面PAD(2)在平面PAD內(nèi)作PFLAD垂足

9、為點(diǎn)F.由(1)可知，AEL平面PAD故ABLPF,可得PFL平面ABCD以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，|AB為單位長(zhǎng)度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.即-FX1+yi-#Z1=0,! . 2xi= 0.所以可取n= (0 , 1, 2).設(shè)mi=(X2,y,Z2)是平面PAB的一個(gè)法向量，則所以可取m= (1,0,1),貝 U cosn,m所以二面角APBC的余弦值為一c3n PG= 0,nCB=0 ,m PA=0,AE=nm2|n|m|=3X.2由(1)及已知可得所以心CB=( 2 , 0,0),設(shè)n= (xi,yi,zi)是平面PCB的一個(gè)法向量，則9規(guī)律方法利用向量計(jì)

10、算二面角大小的常用方法找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的 法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳鈍 二面角.2找與棱垂直的方向向量法： 分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起 點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小跟蹤訓(xùn)練(2018 福州質(zhì)檢)如圖 7-7-19(1)，在等腰梯形PDCBK PB/ DC PB=3,DC=1，/DPB=45,DAIPB于點(diǎn) 入入將厶PAD沿AD折起，構(gòu)成如圖 7-7-19(2)所示的四1棱錐F-ABCD點(diǎn)M在棱PB上，且PM=qMB(1) 求證：PD/平面MAC(2)

11、若平面PADL平面ABCD求二面角MAGB的余弦值.解(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)N,連接MN依題意知AB/ CDABNhCDNBN BA= = 2ND CD 1BN BM/PM=_MB. = = 229 ND MP嶂，訂 一zyK、BPD中,MN/ DPA又PD/平面MAC M庫(kù)平面MACPD/平面MACz紹平面平面 平面 平面宇平面(2)T平面PADL平面ABCD平面PACT平面ABC=AD PAL AD P疔平面PAD一PAL平面ABCD又ADLABPA AD AB兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，分別以AD AB AP的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空1011間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.1 依題意Al AD=1,AB=2,又PMkjMB *,0,0),00,2,0),P(0,0,1),M0,32, Q1,1,O),TT2 2TAP=(0,0,1),AM=i0,3 3,AC=(1,1,0)/PAL平面ABCD取 m =AP= (0,0,1)為平面BAC的一個(gè)法向量.設(shè)n2= (x,y,z)為平面MAC勺法向量,n2AM=0,則叫Tn2 AC=0,令x= 1,貝 yy= - 1,z= 1,n2= (1 , 1,1)為平面MAC