數(shù)學分析》第十一章反常積分復習自測題[1]

1、第十一章反常積分復習自測題、體會各類反常積分(無窮積分、瑕積分和混合反常積分)的特點，能準確地判定所給反常積分的類型；熟習并熟練掌握各類反常積分收斂和發(fā)散的含義, 面的問題：1、正確地判斷下列反常積分的斂散性：并用各類反常積分收斂和發(fā)散的含義解決下1,c(1)下dx (a 0)； (2)a x2、正確地判斷下列反常積分的斂散性：4 dx x(a 0);-1dx0 p0 x(a 0)。1(1)dx (aa x(ln x)1)；1 x(ln x)ydx (a p1)； (3)Udx。3、探索下列反常積分的斂散性,若收斂，并求其值:/、1/、(1)dx; (2)0 1 x21,、2 dx ; (3)

2、1 x20 彳 2.1 xdx ; (4)1 x24、用定義據(jù)理說明下面的關系: 函數(shù)的積分特征)(反常積分的牛頓萊布尼茨公式、分部積分法、換元法、奇偶(1)若函數(shù)f (x)在a,)上連續(xù),F(x)為 f(x)在a,)上的原函數(shù)，記則無窮積分f (x)dx收斂(2)若函數(shù)f(x)在(F(則無窮積分f (x)dx收斂(3)若函數(shù)F(F()xim f (x),lim f (x)存在，且 xf (x)dx F(x) a)上連續(xù)，5J)為£仁)在()上的原函數(shù)，記)limxF()f (x)和 g(x)都在a,f (x)g (x)dx 收斂其中 f()g() Jimf(x), F( ) lim

3、xlim f (x)和 F( xf(x)dx F(x)上連續(xù)可微，且f (x)g(x)dx 收斂，且f (x)g (x)dx f(x)g(x)f (x)g(x)。f(x),lim f(x)都存在,且 xlim f (x) g(x)存在，則無窮積分 xf (x)g(x)dx,)上連續(xù)可導,(4)若函數(shù)f(x)在a,)上連續(xù)，x (t)在,)(其中為有限數(shù)或且嚴格單調遞增,斂，且(,)a,)，則無窮積分 f(x)dx收斂a積分f( (t) (t)dt 收f (x)dxf( (t) (t)dt。(5)設函數(shù)f (x)在(，)上連續(xù),若f (x)為偶函數(shù)，則f(x)dx收斂 ° f(x)dx

4、收斂，且f (x)dx 2 ° f(x)dx;若f(x)為奇函數(shù)，則 f(x)dx收斂 ° f(x)dx收斂，且提示：注意由換元法可得f (x)dx 0。0x t 0f(x)dxf ( t)dt 0 f ( t)dtf (t)dt,f為偶函數(shù)f(t)dt, f為奇函數(shù)、舉例說明下面關系不一定成立：1、瑕積分 b f (x)dx收斂不一定能推出瑕積分af2(x)dx;無窮積分f (x)dx收斂也不定能推出無窮積分f2 (x)dx收斂；a注：定積分的乘法性對反常積分不一定成立。2、無窮積分f (x)dx收斂不一定能推出無窮積分f(x)dx收斂;注：注意與定積分的絕對值性質的區(qū)別

5、。3、設函數(shù)f (x)在a,)上連續(xù)，且 f(x)dx收斂，則lim f (x) 0不一定成立；ax、通過下面的問題探索lim f(x)的情況：x1、設函數(shù)f(x)定義在a,)上，且在任何a,ua,)上可積，f(x)dx收斂，若aJim f (x) A存在，則 Jm f (x) 0；2、利用1探索：(1)設函數(shù)f (x)在a,)上單調，且f(x)dx收斂，則lim f (x) 0；ax(2)設函數(shù)f (x)在a,)上連續(xù)可導，且f (x)dx與 f (x)dx都收斂，則aalim f (x) 0；x3、設函數(shù)f (x)在a,)上連續(xù)，且f(x)dx收斂，貝Ulim f(x) 0xf (x)在a

6、,)上4、設函數(shù)f (x)在a,)上連續(xù)，且f(x)dx收斂，試探索下面的問題:(1)證明：當u a時，limu uf (x)dx 0 (其中c為任意給定的正數(shù))limn提示：注意到無窮積分的定義即可。f (x)dx 0;(2)利用(1)和積分第一中值公式證明:a,)中，存在嚴格遞增的數(shù)列 xn滿足:lim xnnlimnf(xn) 0；(3)類似于(1)方法證明：若函數(shù) f (x)在a,)上單調遞增(減)f(x)dx 收斂,f(x) o(3x則還有 lim xf (x) 0。x注：注意到第三大題的第 2小題(1), (3)表明:提示：不妨設f (x)在a,)上單調遞增，注意到下面的積分不等式

7、以及無窮積分的定義即可:u2a 時，2 1 f (x)dx u22uuf (u) f (x)dx。u5、若函數(shù)f (x)在a,)(a 0)上連續(xù)可微,且單調遞增(減)，則f (x)dx收斂xf (x)dx收斂。提示：利用第三大題的第4小題(3)以及反常積分的分部積分公式f (x)dx。a xf (x)dx xdf (x) xf (x)四、仔細體會并熟練掌握無窮積分和瑕積分的線性性、區(qū)間可加性和絕對值性質(注意體會性質的內容、含義以及在反常積分斂散性判別中的作用)；理解反常積分絕對收斂和條件收斂的含義；用適當性質解決下面的問題：1、若無窮積分f(x)dx收斂，無窮積分g(x)dx發(fā)散，則無窮積分

8、a f(x)g(x) dx 發(fā)散;提示：反證法。2、判斷21dx的斂散性;x ln x3、利用適當性質說明：在無窮積分f(x)dx中,當f(x)同號時,f (x)dx收斂等價于f (x) dx收斂(即f(x)dx絕對收斂)，因此，當f(x)同號時,f (x)dx斂散性的判別等價于f (x) dx斂散性的判另I。五、仔細體會無窮積分和瑕積分收斂的柯西準則，并用柯西準則解決下面的問題:設函數(shù)f(x), g(x)和h(x)都定義在a,)上，且它們在任何a,ua,)上可積，若對任意 x a,),有 g(x) f(x)h(x),則(1)當g(x)dx和 h(x)dx都收斂時,f (x)dx也收斂;斂，且

9、a提示:g(x)dx 和g(x)dx a(1)用柯西準則;h(x)dx都收斂，且f (x)dxah(x)dx。g(x)dxh(x)dx 時,f (x)dx 收a(2)可直接用定義和極限的迫斂性。熟悉柯西判別法中適當哥六、仔細體會并熟練掌握無窮積分和瑕積分絕對收斂的各種常用判別方法,函數(shù)的兩種常見的選擇手段( 等價量的代換手段、與募函數(shù)變化快慢進行比較的手段)；養(yǎng)成在選擇試用絕對收斂的判別法解決下面的判別法之間，先觀察反常積分的類型，被積函數(shù)是否同號的習慣。問題:判斷下列反常積分的斂散性:1、0sin kx7 dx1 x2coskx1 x2sin kx /dx (1 x2),coskx /dx

10、(2);2、0)xn arctanxdx (0)3、4、0),nxln(1+ sin)dxxdxx ln xdx。10);ln(1 xp4xln(1 x)xp七、仔細體會并熟練掌握無窮積分收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法， 理解這兩個判別法之間 的內在關系(阿貝爾判別法可用狄利克雷判別法及無窮積分的性質導出 )，熟悉如何選擇適當?shù)淖儞Q 將瑕積分轉化為無窮積分。試解決下面的問題：1、判斷下面反常積分的收斂性(在收斂的情況下，如有可能，還要盡可能判斷出是絕對收斂， 還是條件收斂)sinx(1dx1 xpm 0和n為常數(shù))；cosx .丁 dxsin(mx n)xpdxcos(mx n)xpdx

11、,(其中p 0(2)sin x , dx1 xsin x ,dxx2sinx2dx8sx2dX,1xsinx4dx;提示:(3)利用(1)或變量替換后再用(1 1 1 ,.sin - dx ;0 x x1)。提示:1作變量替換t 化為無窮積分后再用x(1)。2、設函數(shù)f (x)在a,)上單調遞減，且lim f (x) x(注意此條件蘊含了f (x) 0,為什么)，則(1)f (x)sin xdx 與f (x)cos xdx 都收斂;提示:用狄里克雷判別法。(2)若進一步有f(x)dx收斂，則f (x)sin xdx 與f (x)cos xdx 者B絕對收斂；若aa進一步有f (x)dx發(fā)散，則

12、f (x)sin xdx 與f (x)cos xdx都條件收斂。提示：類似于第七大題第 1小題(1)的方法。(3)若把函數(shù)f (x) “在a,)上單調遞減”改為“在a,)上單調遞增”，上述結果是否有變化注：此問題為第七大題第1小題(1)的一般情形。3、設函數(shù)f (x)在a,)(a 0)上連續(xù)，且xf(x)dx收斂，探索f(x)dx 和aalnx .f (x) dxx的收斂性。提示：用阿貝爾判別法。八、試討論下列反常積分的斂散性( 注意：先正確地判斷類型；再注意混合反常積分斂散性的含義1、1()1 x dx;1 x2、I(p)3、I(p)ln(1 x)xpsinx , rdx x(其中p 0)。

13、九、反常積分的典型計算問題:(注意：在反常積分值的計算中經常采用線性性、區(qū)間可加性、以及第一大題中涉及的牛頓萊布尼茨公式、換元法和分部積分法)1、計算瑕積分I02ln sin x dx2 ln cosx dx (0ln 2)的值;2提示：先用線性性,2I02ln sinx dx02 ln 8sxdx021nlsin2x dx其中對其中2、ln 22 ln20sin2x dxIn sin 2x dx用適當換元法和區(qū)間可加性,2 ln sin2x dx0t 2x 1ln sint dtlnsint dtln sint2dtInsint dt再用適當換兀,利用1計算下列反常積分的值:(1)提示:(1

14、)(2)xln sin x dx; (2)用適當換元x0 xln sinx用分部積分法推出,xsin xdx0 1 cosxln0(3)用線性性及(4)用換元xln sin t2tdtInsin udu。xsin x dx ;1 cosxt和區(qū)間可加性推出dx(3)Intan xdx ; (4)ln x2dx。1 x20 xdln 1xln 1cosx dx021n sinxcosxcosxdxInsin x dx 。xln 1cosxcosx0,ln 1 cosx2.ln2sin xdx 0ln2 2ln sinx dx。01,并注意到ln tanx lntant 及(3)。3、通過計算的方

15、法探索無窮積分提示：先用區(qū)間可加性得,0(1 x2)(1 x )dxsinx lncosx 。1(1x2)(1x )dx與的關系,f算出它的值。(1x2)1。x)dx2Tdx , (1 x )(1 x )再用換元從而表明01_(1 x2)(14、計算無窮積分0提示：用分部積分法。5、伏如蘭積分問題f(ax) f(bx)dx(1)若 lim f(x) X(2)若無窮積分2dx(1 x2)(1 x )1(1x2)(1dx與 x )dx x )無關。e ax cosbxdx 和:設函數(shù)f (x)在0,(稱為伏如蘭積分k存在，則 0以dx收斂, x1工一廠dt(1 ()(1 t1)1.2 dx arc

16、tanx1 x2axsinbxdx的值，其中2dt ， (1 t2)(1 t )0。)上連續(xù)，b a 0,按下面的步驟探索反常積分)的值:f (ax) f (bx)dx f (0)xf (ax) f (bx) dx提示：首先可斷定此積分為混合反常積分，因此,bk ln;a b f (0)ln -。 af(ax) f(bx)dx 1 f(ax) f(bx)dxlim0X1 f(ax) f(bx)dxf(ax) f(bx)dxlim0 uXf(ax) f(bx)dxxlimuXu f(ax) f(bx) dx1 xf(ax) f(bx)dxlim0 uf(ax) f(bx)dx再對u f (ax) f(bx)dx用線性性,變量替換Xax , t bx和區(qū)間可加性,u f (ax) f (bx) dxxu f (ax).-dxxau 3 dtbutfffitf(t)tdtdtaubu