高中數(shù)學教學案例設計匯編Word版

1、教育精品資料高中數(shù)學教學案例設計匯編（下 部）19、正弦定理（2） 一、教學內容分析本節(jié)內容安排在普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一課時，是在高二學生學習了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內容的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。根據(jù)實際教學處理，正弦定理這部分內容共分為三個層次：第一層次教師通過引導學生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并

2、得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察實驗猜想證明應用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。二、學情分析對普高高二的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的了解、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的了解，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。三、設計思想：本節(jié)課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下

3、，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。四、教學目標：1讓學生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2通

4、過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。3通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質，增強學習的成功心理，激發(fā)學習數(shù)學的興趣。4培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的了解來體現(xiàn)事物之間的普遍了解與辯證統(tǒng)一。五、教學重點與難點教學重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應用。教學難點：正弦定理的猜想提出過程。教學準備：整理多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器。六、教學

5、過程：（一）結合實例，激發(fā)動機師生活動：教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？學生：思考提出測量角A，C 教師：若已知測得， ，要計算A、B兩地距離，你 （圖1）有辦法解決嗎？學生：思考交流，畫一個三角形，使得為6cm， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質可知AB約為490m。老師：對，很好，在初中，我們學過相似三角形，也學過解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形，直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。直角三角形中，已知一邊

6、和一角，可以求另兩邊及第三個角。教師：引導，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？學生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學生闡述，教師板書。解：過作于（圖2）在中，在中，教師：表示對學生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，能否用、表示呢？教師：引導學生再觀察剛才解題過程。學生：發(fā)現(xiàn)，教師：引導，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？學生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有，。教師：引導，我們習慣寫成對稱形式，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關系呢？設計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學生日常生

7、活中的實際問題引入，激發(fā)學生思維，激發(fā)學生的求知欲，引導學生轉化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結論猜想，培養(yǎng)學生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力。（二）數(shù)學實驗，驗證猜想教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：c為1：1：1，對應角的正弦值分別為，引導學生考察，的關系。（學生回答它們相等） （2）、在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：c為1：1：，對應角的正弦值分別為，1；（學生回答它們相等） （3）、在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：

8、c為1：2，對應角的正弦值分別為，1。（學生回答它們相等）（圖3） （圖3）教師：對于呢？BaACcb(圖4)學生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學生按事先安排分組，出示實驗報告單，讓學生閱讀實驗報告單，質疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學生沒有問題，教師讓學生動手計算，附實驗報告單。）學生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實驗數(shù)據(jù)計算，比較、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=設計意圖：讓學生體驗

9、數(shù)學實驗，激起學生的好奇心和求知欲望。學生自己進行實驗，體會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。（三）證明猜想，得出定理師生活動：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學實驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學生分組討論，每組派一個代表總結。（以下證明過程，根據(jù)學生回答情況進行敘述）學生：思考得出在中，成立，如前面檢驗。在銳角三角形中，如圖5設，作：，垂足為在中，（圖5）在中，同理，在中， 在鈍角三角形中，如圖6設為鈍角，作交的延長線于（圖6）在中，在中，同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比

10、相等，即還有其它證明方法嗎？學生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意ABC，由初中所學過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教師邊分析邊引導學生，同時板書證明過程。(圖7)ABCDEFbac（圖7） 在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學生：得到三角形面積公式教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8）學生：在前面的檢驗中，中，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉化為直角三角形。證明：連續(xù)并延長交圓于， 在

11、中，即同理可證：，教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學過，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為密切的了解，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？學生：思考（了解作高的思想）得出：在銳角三角形中，作單位向量垂直于，（圖9）即同理：對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學回家再探索。設計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進一步引導啟發(fā)學生利用已有的數(shù)學知識論證猜想，力圖讓學生體驗數(shù)學的學習過程

12、。（四）利用定理，解決引例師生活動：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學生：馬上得出在中，（五）了解解三角形概念設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性教師：一般地，把三角形的三個角、和它們的對邊、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學生不斷探索新知識的欲望。（六）運用定理，解決例題師生活動：教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另

13、兩邊，如；如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內角和為求出第三個角C，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知，解三角形。例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數(shù)學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充交流學生：反饋練習（教科書第5頁的練習）用實物投影儀展示學生中解題步驟規(guī)范的解答。設計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我

14、學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習。（七）嘗試小結：教師：提示引導學生總結本節(jié)課的主要內容。學生：思考交流，歸納總結。師生：讓學生嘗試小結，教師及時補充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應用范圍：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。（3）分類討論的數(shù)學思想。設計意圖：通過學生的總結，培養(yǎng)學生的歸納總結能力和語言表達能力。（八）作業(yè)設計作業(yè)：第10頁習題1.1A組第1、2題。思考題：例2：在中，已知，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無解的原因。課外鏈接：課后通過查閱相關

15、書籍，上網(wǎng)搜索，了解關于正弦定理的發(fā)展及應用（相關網(wǎng)址：aaafayzaaa）七、設計思路：本節(jié)課，學生在不知正弦定理內容和證明方法的前提下，在教師預設的思路中，學生積極主動參與一個個相關聯(lián)的探究活動過程，通過“觀察實驗歸納猜想證明”的數(shù)學思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學生經(jīng)歷了知識形成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。其次，以問題為導向設計教學情境，促使學生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。1、 結合實例，激發(fā)動機數(shù)學源于現(xiàn)實，從學生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學生學習的興趣，引導啟發(fā)學生利用已有的知識解決新的

16、問題，方法一通過相似三角形相似比相等進行計算，方法二轉化解直角三角形。讓學在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識，提出猜想，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。2、數(shù)學實驗，驗證猜想通過特例檢驗，讓學生動手實驗，提高了學生實驗操作、分析思考和抽象概括的能，激發(fā)學生的好奇心和求知欲望，體會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。3、證明猜想，得出定理引導啟發(fā)學生從角度進行證明定理，展示自己的知識，培養(yǎng)學生解決問題的能力，增強學習的興趣，愛好，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，培養(yǎng)推理的意識。附一：實驗報告單組長:組員：試驗目的研究三角形中各邊和它對角的正弦值的比(，)是否相等。實驗器材

17、計算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統(tǒng)一發(fā)）實驗方法畫一個任意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。實驗內容三邊：a= b= c= 三角：A= B= C= 計算：= = = （精確到小數(shù)點后兩位）結論：福安一中 陳楨仔 林旭點評：本節(jié)定理教學課，教師把重點放在定理的發(fā)現(xiàn)與證明上，符合新課標重視過程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學只注重結論的傾向。首先，利用解決一個可測量兩角一對邊，求另一對邊的實際問題引入，在解決實際問題中，引導學生發(fā)現(xiàn)“三角形三邊與其對應角的正弦值的比相等”的規(guī)律；通過對特殊三角形的驗證，大膽猜想對任意三角形成立；接著證明了這個定理。在課堂上展示了定理的發(fā)現(xiàn)過程，使學生感受到創(chuàng)新

18、的快樂，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，同時讓學生體驗了“觀察實驗歸納猜想證明”的數(shù)學思想方法，經(jīng)歷了知識形成的過程，符合新課標重視過程與方法的理念。其次，在解決引例中的測量問題時利用用初中相似三角形知識、正弦定理的不同證法（轉化為直角三角形、輔助以三角形外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了 “在已有知識體系的基礎上去建構新的知識體系”的理念，加強了知識間的了解，培養(yǎng)了學生思維的靈活性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類 、轉化的數(shù)學思想。但是，本節(jié)課的教學內容還是偏多，在時間分配上要有規(guī)劃，突出重點，刪繁就簡；引入的例題要注意條件更加明確直接，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，浪費時間。總之，本節(jié)課有效地采用了探究式

19、教學，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，感受“觀察實驗猜想證明應用”等環(huán)節(jié)，教學過程流暢，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。20、正弦定理（3）一、教學內容分析“正弦定理”是普通高中課程標準數(shù)學教科書數(shù)學（必修5）（人教版）第一章第一節(jié)的主要內容，它既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運

20、用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數(shù)學問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。本節(jié)課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會了解、發(fā)展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進而培養(yǎng)學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。二、學生學習情況分析學生在初中已經(jīng)學習了解直角三角形的內容

21、，在必修4中，又學習了三角函數(shù)的基礎知識和平面向量的有關內容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，課程標準強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數(shù)學在實際中的應用，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。三、設計思想培養(yǎng)學生學會學習、學會探究是全面發(fā)展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。如何培養(yǎng)學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動

22、建構的?！边@個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構而獲得的，建構主義教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。本節(jié)“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。四、教學目標1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法。2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷

23、程。3、情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境。五、教學重點與難點重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導難點：正弦定理的推導六、教學過程設計（一）設置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉運到正對岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處，請你確定轉運方案。已知船在靜水中的速度，水流速度?！驹O計意圖】培養(yǎng)學生的“數(shù)學起源于生活，運用于生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。（二）提出問題師：為了確定轉運方案，請同學們設身

24、處地地考慮有關的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個問題：1、船應開往B處還是C處？2、船從A開到B、C分別需要多少時間？3、船從A到B、C的距離分別是多少？4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？5、船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養(yǎng)學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發(fā)學生學習的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導作用。師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決

25、上述問題？大家經(jīng)過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題4，問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。師：請同學們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小及與的夾角：， 用計算器可求得船從A開往C的情況如圖3，易求得，還需求及，我還不知道怎樣解這兩個問題。師：請大家思考，這兩個問題的數(shù)學實質是什么？部分學生：在三角形中，已知兩

26、邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！驹O計意圖】將問題數(shù)學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學意識。師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？生3：不知道。師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。師：圖3的情形能否轉化成直角三角形來解呢？【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發(fā)學生將問題進行轉化，培養(yǎng)學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的

27、方法來證明正弦定理做好鋪墊。生5：能，過點D作于點G（如圖4）， ，師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關系？【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創(chuàng)造一個教與學的和諧環(huán)境，既激發(fā)學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生和教師的共同成長。（三）解決問題1、正弦定理的引入師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法

28、。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中試探一下。師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。（1）學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學生的研究。（2）展示學生研究的結果?！驹O計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結論做準備；同時通過展示研究結論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習的信心。師：請說出你研究的結論？生7：師：你

29、是怎樣想出來的？生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊。師：有沒有其它的研究結論？（根據(jù)實際情況，引導學生進行分析判斷結論正確與否，或留課后進一步深入研究。）師：對一般三角形是否成立呢？眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。師：這是個好主意。那么對等邊三角形是否成立呢？生9：成立。師：對任意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于幾何畫板做一個數(shù)學實驗，【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“實驗探究”“理論探究”“解決問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。2

30、、正弦定理的探究（1）實驗探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用幾何畫板軟件，演示正弦定理教學課件。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。結論：對于任意三角形都成立。【設計意圖】通過幾何畫板軟件的演示，使學生對結論的認識從感性逐步上升到理性。師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結果是否一致。生10：（通過計算）與生5的結果相同。師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！钡膯栴}就簡單多了?！驹O計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，并強化學生學習探究、應用正弦定理的心

31、理需求。（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形已驗證；銳角三角形課堂探究；鈍角三角形課后證明?！驹O計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺），設法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則，所以，同理可得師：因為要證明的是一個

32、等式，所以應從銳角三角形的條件出發(fā)，構造等量關系從而達到證明的目的。注意： 表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！【設計意圖】點明此證法的實質是找到一個可以作為證明基礎的等量關系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：三角形的面積不變；三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設AD、BE、CF分別是的三條高。則有，。證法三：如圖7，設是外接

33、圓的直徑，則，同理可證：【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式及一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？師：任意中，三個向量、間有什么關系？生12：師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關系，由轉化成數(shù)量關系？生13：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關系轉化成數(shù)量關系。師：在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否任意？又如何選擇向量?生14：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量與三個向量中的一個向量（如向量）垂直，而且使三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有

34、什么問題？教師參與學生的小組研究，同時引導學生注意兩個向量的夾角，最后讓學生通過小組代表作完成了如下證明。證法四：如圖8，設非零向量與向量垂直。因為，所以即所以，同理可得師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學生思考）師：有什么幾何意義？生15：把移項可得，由向量數(shù)量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。生16：我還有一種證法師：請你到講臺來給大家講一講。（學生16上臺板書自己的證明方法。）證法五：如圖9，作，則與在方向上的投影相等,即 故，同理可得 師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！【設計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上想

35、出來，教師通過設計一些遞進式的問題給予適當?shù)膯l(fā)引導，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。（四）小結師：本節(jié)課我們是從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數(shù)學實驗。我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。（五）作業(yè)1、回顧本節(jié)課的整個研究過程，體會知識的發(fā)生過程；2、思考：證法五與證法一有何了解？3、思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？4、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想

36、、探究和證明，小結的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準備。七、教學反思為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學的過程。我想到了“情境問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境問題”學習鏈，并根據(jù)上述精神，結合教學內容，具體做出了如下設計：創(chuàng)設一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于普通高中課程標準數(shù)學教科書數(shù)學（必修4）（人教版）第二章習題 B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；啟發(fā)、引導學

37、生提出自己關心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉化、抽象成過渡性數(shù)學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數(shù)學實質，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明?？傊?，整個過程讓學生通過自

38、主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“實驗探究”“理論探究”“解決問題”“反思總結”的歷程，使學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現(xiàn)。大田一中 陳永民點評：本節(jié)課是典型合作探究課，教師先設計一個實際問題引導學生討論問題解決方案，將方案數(shù)學化，歸納出一類數(shù)學問題“在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊”，順利地引入新課，實現(xiàn)了從“現(xiàn)象”到“本質”的飛躍，培養(yǎng)了學生提出問題、分析問題、數(shù)學建模的能力。為尋求解決問題的普遍方法，對三角形的邊角關系進行探索，在特殊情況（直角三角形）下得到

39、正弦定理，又在等邊三角形和一般三角形中驗證，堅定了結論成立的猜想，最后通過嚴格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問題迎仞而解。從而使學生親身經(jīng)歷了“情境思考”“提出問題”“研究特例”“歸納猜想”“實驗探究”“理論探究”“解決問題”“反思總結”的歷程，學會研究數(shù)學問題的方法，學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂。在對具體的一般三角形驗證成立的過程中，利用幾何畫板軟件，不斷變換三角形，觀察上式成立，提高了效率，現(xiàn)代教育技術的運用恰到好處。21、余 弦 定 理一、教學內容分析人教版普通高中課程標準實驗教科書必修（五）（第2版）第一章解三角形第一單元第

40、二課余弦定理。通過利用向量的數(shù)量積方法推導余弦定理，正確理解其結構特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發(fā)學生探究數(shù)學，應用數(shù)學的潛能。二、學生學習情況分析本課之前，學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、向量基本知識和正弦定理有關內容，對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。總體上學生應用數(shù)學知識的意識不強，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結構特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學美時，能夠激發(fā)學生

41、熱愛數(shù)學的思想感情；從具體問題中抽象出數(shù)學的本質，應用方程的思想去審視，解決問題是學生學習的一大難點。三、設計思想新課程的數(shù)學提倡學生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對現(xiàn)實世界蘊涵的一些數(shù)學模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合整理轉化，從課堂的執(zhí)行者向實施者、探究開發(fā)者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數(shù)學思維能力，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學思想方法及數(shù)學的應用，激發(fā)學生探究數(shù)學、應用數(shù)學知識的潛能。四、教學目標繼續(xù)探索三角形的邊長與角度間的具體

42、量化關系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會向量方法推導余弦定理的思想；通過實踐演算運用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；深化與細化方程思想，理解余弦定理的本質。通過相關教學知識的了解性，理解事物間的普遍了解性。五、教學重點與難點教學重點是余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程及定理的應用；教學難點是用向量的數(shù)量積推導余弦定理的思路方法及余弦定理在應用求解三角形時的思路。六、教學過程：教學環(huán)節(jié)合作探究活動學情分析與設計意圖知識回顧1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？2、三角形的正弦定理內容，主要解決哪幾類問題的三角形？回顧舊知，防止遺忘創(chuàng)設引入你能判斷下列三角形的類型嗎？1、以3，4，5為各邊長的

43、三角形是_三角形以2，3，4為各邊長的三角形是_三角形以4，5，6為各邊長的三角形是_三角形2、在ABC中a8，b5，c60，你能求c邊長嗎？引導學生從平面幾何、實踐作圖方面進行估計判斷。學生可能比較茫然，幫助學生分析相關內容，從多角度看待問題，用實踐進行檢驗。提出問題你能夠有更好的具體的量化方法嗎？幫助學生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學生的積極討論。引導學生從相關知識入手，選擇簡潔的工具。合作探究ABC利用向量法推導余弦定理：如圖：設，由三角形法則有同理，讓學生利用相同方法推導，學生對向量知識可能遺忘，注意復習；在利用數(shù)量積時，角度可能出

44、現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量知識，明確向量工具的作用。同時，讓學生明確數(shù)學中的轉化思想：化未知為已知。歸納概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。知識歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強識記結構分析觀察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的具體關系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對應表述，同時發(fā)現(xiàn)三邊長的平方在余弦定理中同時出現(xiàn)使學生明確對應關系，樹立方程思想，解決“邊、角、邊”問題知識了解余弦定理的推論：解決“邊、邊、邊”問題方法應用怎樣準確地解答引入中的兩個問題？怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？用準確的量化關系去解

45、決問題，用邊長去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例。知識應用例1：在ABC中，已知b60cm，c34cm，A41，求解三角形（角度精確到1，邊長精確到1cm）例2：在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形（角度精確到1）應用數(shù)學知識求解問題加強計算器的運算功能，同時，鞏固好正弦定理，余弦定理知識，發(fā)現(xiàn)兩種知識方法在解三角形中的綜合應用。知識深化例3：已知ABC中求c邊長分析：（1）用正弦定理分析引導（2）應用余弦定理構造關于C的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦

46、定理的方程思想求解問題優(yōu)越于余弦定理。并讓學生初步發(fā)現(xiàn)“邊、邊、角”問題解法，為下節(jié)學習輔墊。練習檢測1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關系為（）A： B：= C： D：大小不確定2、銳角ABC中b1，c2，則a取值為（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？若呢？用練習去鞏固所學知識，使學生逐步形成良好的知識結構，加強數(shù)學知識應用能力的培養(yǎng)。課堂小結1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？2、從本課

47、中你學到了哪些知識和方法？通過知識回顧，使學生各自體會收獲。板書設計1、推導余弦定理及其推論2、例3、例43、練習指導4、小結投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識作業(yè)設計1、討論余弦定理的其它解法設計思路。2、第11頁A組3、4題鞏固知識多角度看待問題七、教學反思本課的教學應具有承上啟下的目的。因此在教學設計時既要兼顧前后知識的了解，又要使學生明確本課學習的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構建比較完整的知識系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結構特征上重加指導，只有當學生正確地理解了余弦定理的本質，才能更好地應用求解問題。本課教學設計力求在型（模型、類型），質（實質、本質），思（思維、思想方法）上

48、達到教學效果。本課之前學生已學習過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密了解的內容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學設計中抓住前后知識的了解，重視數(shù)學思想的教學，加深對數(shù)學概念本質的理解，認識數(shù)學與實際的了解，學會應用數(shù)學知識和方法解決一些實際問題。學生應用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學生的知識系統(tǒng)不夠完善。因此本課運用了解的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學生進行示范引導，將舊知識與新知識進行重組擬合及提高，幫助學生建立自己的良好知識結構。福建漳平市第一中學李

49、永彬點評：本課是在學生學習了三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦定理的基礎上而設置的教學內容，因此本課的教學有較多的處理辦法。李老師從解三角形的問題出發(fā)，提出解題需要，引發(fā)認知沖突，激起學生的求知欲望，調動了學生的學習積極性；在定理證明的教學中，引導學生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，注意分析思路，揭示蘊含在證明中的數(shù)學思想，最后引導學生用向量知識推導出公式，在給出余弦定理的三個等式和三個推論之后，又對知識進行了歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，便于學生識記，同時也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學生的思維層次。命題的應用是命題教學的一個重要環(huán)節(jié)，學習命題的重要目的是應用命

50、題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關重要的。設計中的例1、例2是常規(guī)題，讓學生應用數(shù)學知識求解問題，鞏固正弦定理、余弦定理知識。例3是已知兩邊一對角，求解三角形問題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了正、余弦定理的了解，深化了對兩個定理的理解，培養(yǎng)了解決問題的能力。但李老師在對例3解法的總結時，指出“能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性?！边@結論有點片面。本課在繼承了傳統(tǒng)數(shù)學教學模式優(yōu)點，結合新課程的要求進行改進和發(fā)展，以發(fā)展學生的數(shù)學思維能力為主線，發(fā)揮教師的設計者，組織者作用，在使學生掌握知識的同時，幫助學生摸索自己的學習方法。22、等差數(shù)

51、列一、教學內容分析本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學5（人教版）第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時。數(shù)列是高中數(shù)學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內容做好準備。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關概念和給出數(shù)列的兩種方法通項公式和遞推公式的基礎上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。二、學生學習情況分析我所教學的學生是我校高二（2）班的學生，經(jīng)過一年的學習，大部分學生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了

52、形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。三、設計思想1教法誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調動學生的積極性。講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。2學法引導學生首先從四個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)

53、組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導。在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。四、教學目標通過本節(jié)課的學習使學生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導學生了解等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數(shù)列的公差及通項公式，能在解題中靈活應用，初步引入“數(shù)學建模”的思想方法并能運用；并在此過程中培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數(shù)與數(shù)列關系的前

54、提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。在解決問題的過程中培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；使學生認識事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。并通過一定的實例激發(fā)同學們的民族自豪感和愛國熱情。五、教學重點與難點重點：等差數(shù)列的概念。等差數(shù)列的通項公式的推導過程及應用。難點：理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義。理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關鍵： 等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。六、教學過程教學環(huán)節(jié)情境設計和學習任務學生活動設計意圖創(chuàng)設情景上節(jié)課我們學習了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關數(shù)列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數(shù)列。傾聽課堂引入探索研究由學生觀察分析并得出答案：在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常這