精品導(dǎo)學(xué)案：二項(xiàng)式定理

1、精品導(dǎo)學(xué)案：1. 3. 1二項(xiàng)式定理教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：進(jìn)一步掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式過程與方法：能解決二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題情感、態(tài)度與價值觀：教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用 .教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用 .授課類型：新授課.教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 .第一課時一、復(fù)習(xí)引入：(a + b)2 =a2 +2ab +b2 =C0a2 +C2ab +C2b2 ；(a +b)3 =a3 +3a2b +3ab2 +b3 =C；a3 +C3a2b+C/

2、ab2 +C；b。(a + b)4 =(a +b)(a +b)(a +b)(a +b)的各項(xiàng)都是 4 次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：a4, a3b , a2b2, ab3, b4 ,展開式各項(xiàng)的系數(shù)：上面4個括號中，每個都不取b的情況有1種，即C0種，a4的系數(shù)是C0 ；恰有1個取b的情況有C41種，a3b的系數(shù)是C：,恰有2個取b的情況有C42種，a2b2的系233344數(shù)是C4，恰有3個取b的情況有C4種，ab的系數(shù)是C4 ,有4都取b的情況有C4種，b的系數(shù)是C4,(a +b)4 =C：a4 +C4a3b +C42a2b2 +C3a3b +C：b4.二、講解新課：二項(xiàng)式定理：(a+b

3、)n =C0an +Cnanb + |l|+Cnan_V +|+C：bn(nW N")(a+b)n的展開式的各項(xiàng)都是 n次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：nn -r ra b,a b ,展開式各項(xiàng)的系數(shù):每個都不取b的情況有1種，即C0種，an的系數(shù)是C：；恰有1個取b的情況有C：種，a nb的系數(shù)是C：,恰有r個取b的情況有C；種，an_rbr的系數(shù)是C：,有n都取b的情況有Cn種，bn的系數(shù)是Cn , (a +b)n =C：an +C1anb+| + Cnanbr +|+Cnbn(nw N"),這個公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫（a+b）n的二項(xiàng)展開式，它

4、有n + 1r ,項(xiàng)，各項(xiàng)的系數(shù)Cn（r =0,1,| n）叫二項(xiàng)式系數(shù)， Cnan'br叫二項(xiàng)展開式的 通項(xiàng)，用丁修表示，即通項(xiàng)中=Cnan,br.二項(xiàng)式定理中，設(shè) a =1,b = x ,則(1 +x)n =1 + C：x十川+ C：xr +|H+xn.三、講解范例:1 ,展開(1十一)4.x解一解二:1 41 11 1 23 1 314,4641(1+) =1+C4( )+C4( ) +C4L) +() =1+ +丁+xx x x x x x x x(1+1)4 =(1)4(x+1)4 =(1)4 -x4 +C：x3 +C：x2 +C：x+1lx xx -4 641=1+ + +

5、 + 234 ,x x x x例2.展開(243)6 . .x解：（24）6=3-1)6 x= ；(2x)6 -C6(2x)5 +C2(2x)4 C3(2x)3+C(2(2x)2 C6(2x)+1 x3260 121= 64x3 -192x2 240x-16023 .23x x x第二課時例3.求（x+a）12的展開式中的倒數(shù)第 4項(xiàng).解：（x + a）12的展開式中共13項(xiàng)，它的倒數(shù)第4項(xiàng)是第10項(xiàng)，9 12 _9 933 93 9T9.=Ci2X a =Ci2X a =220x a .例4.求（1） （2a+3b）6, （2） （3b+2a）6的展開式中的第3項(xiàng).2 _4_2_42解：（1

6、）丁2甲=C6（2a） （3b） =2160ab , 2424 2（2） T2+=C6（3b） （2a） = 4860b a .點(diǎn)評：（2a+3o）6, （3b+2a）6的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第例5. （1）求（：+白）9的展開式常數(shù)項(xiàng)；求 -3_）9的展開式的中間兩項(xiàng).3解：1 =C9（|）9（：）=C9r /"x 一2,C6 33 = 2268 ；第6項(xiàng)，, -3八八， ，（1）當(dāng)9- r = 0,r =6時展開式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為T72_ x 3 。它的中間兩項(xiàng)分別是第 5項(xiàng)、(2) (十)9的展開式共10項(xiàng),3 x_4 _8_9 9 4242_ 5T5 - C9 3

7、 x - -3 , T6 = C9 xc10 -913 x159 _一2= 378x3 .第三課時例6. (1)求(1+2x)7的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；1(2)求(x-)9的展開式中X3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù). X7 .一 _3_33解：(1+2x)的展開式的第四項(xiàng)是 T34i=C7(2x) =280x ,(1 +2x)7的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是280 .1 9919 2r(2) (x)9 的展開式的通項(xiàng)是 Tr*=C；x9(-)r =(-1)rC；x92 , xx9-2r =3, r =3,3,.、3333x的系數(shù)(-1) C9 =T4 , x的二項(xiàng)式系數(shù)C9 =84 .例7.求(x2 +3x4

8、)4的展開式中x的系數(shù).分析：要把上式展開，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開.解：(法一)(x2 +3x4)4=(x2 +3x) 44_024_123_2222_323_44= C4(x3x)-C4(x3x) 4C4 (x3x) 4-C4(x3x) 4C44 ,顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含x的項(xiàng)，.展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)是 C： 3 43 =768(法二)：(x2 +3x-4)4 =(x-1)(x+4)4 = (x-1)4(x+ 4)4= (C°x4 -C1x3 : C2x

9、2-C3x : C4)(C0x4: C1x34 : C2x242: C3x43: C444)(w 4 x w 4 x w 4 xw 4 x w 4 )(V/4 x V/4 x 4 x4 x 4)，展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)是C：44 +C：43 = 768.例8.已知f (x) =(1+2x m +(1+4xF (m,n w N*)的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36,求展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)最小值*分析：展開式中含 x2項(xiàng)的系數(shù)是關(guān)于 m,n的關(guān)系式，由展開式中含 x項(xiàng)的系數(shù)為36, 可得2m + 4n =36,從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 m或n的二次函數(shù)求解.mn解：(1+2x) +(1+4x)展開式中含x的項(xiàng)為

10、Cm 2x +C： 4x =（2Cm +4C：）x1_ 1、 (2Cm +4Cn) =36,即 m +2n =18 , mn(1+2xj +(1+4xj展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為t = Cm22 +C：42 =2m2 -2m +8n2 -8n ,m+2n =18,m=18-2n, t =2(18-2n)2 -2(18-2n) 8n2 -8n -16n2 -148n 6122 37153、37 ,*= 16(n -n+)，當(dāng) n= 一 時，t取最小值，但 nN ,448 n=5時，t即x2項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為 272,此時n=5,m = 8 .10第四課時例9.已知（我1=）n的展開式中，前三

11、項(xiàng)系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列,2 ,x（1）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中所有的有理項(xiàng).n =8(n =1 舍去)16 J3r1 1_ 21 22解：由題意：2Cn，一 =1+Cn，()，即 n _9n+8 = 0, 22_811 吆， r C r.Tr1=C8、x ("VC"2 x j 寸16 -3r若Tr書是常數(shù)項(xiàng)，則 =0,即16 3r=0,4 r w Z ,這不可能，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；若Tr卡是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng) 竺二3r為整數(shù)，40 <r <8,r eZ , r =0,4,8 ,即 展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是：T1 =x4, T5 =35x

12、, T9 = x .8256例10.求0.9986的近似值，使誤差小于 0.001.66_ 0_ 1166解：0.998 =（1-0.002） =C6 +C6（-0.002）訓(xùn),（-0.002）,展開式中第三項(xiàng)為 C（20.0022 =0.00006，小于0.001 ,以后各項(xiàng)的絕對值更小，可忽略不計，0.9986 =(1 -0.002)6 -C0 +C6(-0.002)1 =0.998 ,一般地當(dāng)a較小時（1+a）n=1+na .四、課堂練習(xí)：6 .1.求（2a+3b ）的展開式的第3項(xiàng).6 .一2 .求（3b+2a ）的展開式的第3項(xiàng).3 .寫出（x ）n的展開式的第r+1項(xiàng).,74 .求

13、（x3 +2x ）的展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，并求第 4項(xiàng)的系數(shù).5 .用二項(xiàng)式定理展開:(1) (a +3/b)5 ；(2)511116 .化簡：(1) (1 + JX)5 +(1 衣)5 ； (2) (2X2 +3x-2)4 -(2x" -3x-2)47 . (x + xlgx 5展開式中的第3項(xiàng)為106,求x.c 4 f 18 .求x- l展開式的中間項(xiàng).< xj答案：1. T2 1,=C：(2a)6N(3b)2 =2160a4b2 .2. T21.=C2(3b)6N(2a)2 =4860a2b4 ._11 三3. Tr1 =C；（3x）n（一 二）=: Cnrx ,2

14、3 x 233 34.展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C7 =35,第4項(xiàng)的系數(shù)G2 =280 .5.(1)(a 3b)5=a55a43b10a33 b210a2b5ab3bb3b2；白人一!"5人一 20fxx40- -32.£-。6.(1)(1 +7x)5 +(1-Vx)5 =2+20x+10x2；(2)(2x2 3xj4 -(2x2 -3x)4 =192x432 .x7.（x+x1gx 5展開式中的第3項(xiàng)為C52x3越x =106= x3書1gx= 105101000252lg x 3lg x -5 = 0 = 1g x = 1,lg x - - x =10, x 28.x

15、1 j展開式的中間項(xiàng)為（1）nC21n. x五、小結(jié)：二項(xiàng)式定理的探索思路：觀察一一歸納一一猜想一一證明；二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的特點(diǎn).六、課后作業(yè)：P36習(xí)題1.3A組1.2. 3.4七、板書設(shè)計（略）.八、教學(xué)反思：（a+b） n =這個公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做 （a+b） 11的，其中C； （r=0,1,2, ，n ）叫做, 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，它是展開式的第 項(xiàng)，展開式共有 個項(xiàng).掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，并能用它們解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題。培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來，是培養(yǎng)

16、學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗(yàn)到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。二項(xiàng)式定理是指(a+b)n =an+C；an,b + c2aTb2+C；anbr + + 0：/這樣一個展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式V, =nxn 1,同時.一 1 nlim(1+ ) =e= 2.718281也正是由二項(xiàng)式定理的展開規(guī)律所確定，

17、而 e在高等數(shù)學(xué)中的 n-n地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式eie=cos0+isin9 ,微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式 y=1與積分公式=dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由xxf (xCc fn(xJy=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+ 3(x xo)2+- (x 1!n!n f(n1)x0 .(x x0),、n.1I » J 人 Hxo)n+-(x-xo) (0 C(0, 1)以及由此建立的哥級數(shù)理論，更是廣(n 1)!泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個分支中.怎樣使二項(xiàng)式定理的教學(xué)生動有趣正因?yàn)槎?xiàng)式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先名出一個(a+b)4用組合知識來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再 用數(shù)學(xué)歸納法證明，因?yàn)樽C明寫得很長，上課時的板書幾乎占了整個黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動.那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主 體作用？怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時都會無能 為力，因?yàn)檫@些方法都無