2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(江蘇卷,含答案)

1、絕密啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)I注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1 .本試卷共4頁，包含非選擇題（第 1題第20題，共20題）.本卷滿分為160分，考試時間為120分 鐘。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2 .答題前，請務(wù)必將自己的姓名、 準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3 .請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符。4 .作答試題，必須用 0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5 .如需改動，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須

2、加黑、加粗一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1 .已知集合A = 1,2 , B =匕,a2十3,若A n B=1則實數(shù)a的值為2 .已知復(fù)數(shù)z= （1+i） （1+2i）,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是3 .某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100 件，為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,件.現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取4 .右圖是一個算法流程圖，若輸入 x的值為,則輸出的y的值是 16（W）/輸入上/輸出y /結(jié)束）（第4題）115 .右 tan | a- 4

3、= 6 ,則 tan = =.O O2的體積為V ,6 .如圖，在圓柱 O O2內(nèi)有一個球 O該球與圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱球O的體積為V ,則口 的值是(第6題)7 .記函數(shù)f(x) =y16+xX2的定義域為D.在區(qū)間上4,5上隨機取一個數(shù)x,則xW D的概率是2 x 2 8 .在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線 y =1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點P,Q,其焦點是3Fi , F 2 ,則四邊形Fi P F 2 Q的面積是 ,_7.639 .等比數(shù)列1的各項均為實數(shù)，其前n項的和為S,已知S3 = z , S6 = 7，則a8 =10 .某公司一年購買某種貨物 600噸，每

4、次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為 4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費之和最小，則x的值是3-2x_ 11 .已知函數(shù)f(x) x2x+e ex ,其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若2f (a-1 )+f (2a廠0則實數(shù)a的取值范圍是12 .如圖，在同一個平面內(nèi)，向量OA, OB, OC,的模分別為1,1,V2,OA OC的夾角為a，且tan a =7,OB與OC的夾角為 45 。若 OC=mOA+nOB （m, n 亡 R）,貝 U m+n=kccO A(第12題)13 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，A (-12,0 ), B (0,6),點P在圓0: x2+y2=50上，若PA

5、。PB<20,則點P二x2,x三D其中集合 x, x - D的橫坐標(biāo)的取值范圍是 14 .設(shè)f(x)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間n . 1D=4x x =, n wn+b，則方程f(x)-lgx=0 的解的個數(shù)是n15 .(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐 A-BC計，ABL AD, BCL BD平面ABDL平面BCD點E、F (E與A D不重合)分別在棱AD BD上，且 EF±AD求證：(1) EF/平面ABC(2) ADLAC.A(第15題)16.(本小題滿分14分)已知向量 a= (cosx,sin x) ,1»管門修,讓。川(1)若a/ b,求x的值；(

6、2)記= fit 3，求力的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值17 .(本小題滿分14分)22如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E :與+ /=1(a>b>0)的左、右焦點分別為 F, F2,離心率a b,1為，兩準(zhǔn)線之間的距離為 8.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF的垂線l 1,過點F2作直 2線PF>的垂線l 2.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線11, 12的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo).(第17題)32cm,容器I的底面對角線 AC18 .(本小題滿分16分)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺形玻璃容器n的高均為 的長為10 &quo

7、t;cm,容器n的兩底面對角線 EG E1G的長分別為14cm和62cm.分別在容器I和容器n中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒1 ,其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計)(1)將1放在容器I中，1的一端置于點 A處，另一端置于側(cè)棱 CC上，求1沒入水中部分的長度；(2)將1放在容器n中，1的一端置于點 E處，另一端置于側(cè)棱 GG±,求1沒入水中部分的長度.ABE容器1容朋I(第18題)19 .(本小題滿分16分)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列1an1滿足an上+an+ + .an, +an+ .an長+ an4k= 2kan =2kan對任意正整數(shù)n(n>

8、k)總成立，則稱數(shù)列1 al是“ P(k)數(shù)列”證明：等差數(shù)列l(wèi) anl是“P(3)數(shù)列”；(1) 若數(shù)列l(wèi)anl既是“P(2)數(shù)列”，又是“ P(3)數(shù)列”，證明：lanl是等差數(shù)列.20.(本小題滿分16分)32已知函數(shù)f (x ) = x + ax + bx + 1(a> 0,b R R)有極值，且導(dǎo)函數(shù) f (x)的極值點是f (x)的零點。(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)(1) 求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)證明：b2>3a;(3) 若f (x ), f (x )這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于-：,求a的取值范圍。2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一

9、考試(江蘇卷)數(shù)學(xué)II (附加題)注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1 .本試卷共2頁，均為非選擇題(第 21題第23題)。本卷滿分為40分，考試時間為30分鐘。考試結(jié) 束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2 .答題前，請務(wù)必將自己的姓名、 準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3 .請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符。4 .作答試題，必須用 0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5 .如需改動，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗21.【選做題】本題包括A、BC

10、、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答。若多做，則按作答的前兩小題評分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A.【選修4-1 :幾何證明選講】(本小題滿分10分)如圖，AB為半圓O的直徑，直線 PC切半圓O于點C, APL PC P為垂足。求證：（1） / PAG/CAB（2） AC=AP- ABB.選彳4-2:矩陣與變換（本小題滿分10分）口如小吐 AJ0 11 DJ1 0已知矩陣A=, B=l .4 0k 2求AB;x2 y2.、 一 一 一 .、一若曲線。；一+匚=1在矩陣ab對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線。，求。的方程.82C.選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題

11、滿分10分）在平面坐標(biāo)系中xOy中，已知直線l的參考方程為-8 t二2（t為參數(shù)）曲線C的參數(shù)方程為=2s2,=2,2s（s為參數(shù)）。設(shè)p為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值D.選修4-5 :不等式選講（本小題滿分10分）已知 a,b,c,d 為實數(shù)，且 a2+b2=4,c 2+d2=16,證明 ac+bd <8.x = 2s2, y = 2 ,2s22.（本小題滿分10分）如圖，在平行六面體 ABCD-用CD中，AA，平面 ABCD且AB=At=2, AA=J3 , / BAa120o.（1）求異面直線 A B與AC所成角的余弦值;（2）求二面角 B-A1D-A的正弦值。23

12、.（本小題滿分10）已知一個口袋有 m個白球，n個黑王( m,nw N2 ,n > 2 ),這些球除顏色外全部相同。現(xiàn)將口袋中的球隨k的抽機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3 ,，m+n的抽屜內(nèi)，其中第 k次取球放入編號為屜(k=1,2,3 , ,m+n).123附 /n+n(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率 p;(2)隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(x)是x的數(shù)學(xué)期 石<2017年高考江蘇卷數(shù)學(xué)試題(標(biāo)準(zhǔn)答案)、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分， 共計70分.1.16.32111. -1,-22. .1057.

13、 一912.33.188. 2 313. -5 2,14.14. 8-29. 3275.510.30解答題17.本小題主要考查直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查分能力.滿分14分.證明：（1）在平面ABD內(nèi)，因為ABL AD EF _L AD ,所以EF/AB .又因為EF0平面ABC ABu平面ABC所以EFT面 ABC（2）因為平面 ABDL平面BCD平面ABDp|平面BCDBDBCu 平面 BCD BC _LBD ,所以BC _L平面ABD .因為AD u平面ABD，所以BC_L AD .C（第15題）又 ABL AD BCnAB = B, AB u

14、 平面 ABCBC二平面ABC所以ADL平面ABC又因為AL平面ABC所以ADL AC.16.本小題主要考查向量共線、數(shù)量積的概念及運算,考查同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和（差）的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查運算求解能力.滿分14分.解：(1)因為 a = (cosx,sin x) , b = (3,_J3), a/b,所以 - 3cosx =3sin x.若 cosx = 0,貝 Usinx=0,與 sin2x + cos2 x = 1 矛盾，故 cosx 豐 0.于是 tanx = -3又所以f (x) = a b = (cos x,sin x) (3, -：?；3) = 3c

15、os x -：3sin x = 2、3 cos(x -). 6因為工所以x +-W-一 一66從而-1 -cos(x )6當(dāng)x + -=，即x =0時, 66用0取到最大值3;n，即x=2時，f取到最小值-273 .6析問題能力和運算求解能力.滿分14分.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為 C.因為橢圓E的離心率為-,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,所以至 =8,2a 2 c解得 a = 2,c=1 ,于是 b _2 -C - J3 ,22因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是 上+L=1. 43由（1）知，E（1,0） , F2（1,0）.設(shè)P（Xo，y0）,因為點P為第一象限的點，故 x0 >0, yo>0.當(dāng)

16、Xo =1時，l2與11相交于E ,與題設(shè)不符.yoyo當(dāng)Xo #1時，直線PR的斜率為一O二，直線PF2的斜率為°7Xo 1Xo -1Xo - 1yoI,LL »八 、"XO 1 -八 ,一，因為11，PF1, 12，PF2,所以直線11的斜率為 ，直線12的斜率為yo-八 一Xo 1從而直線11的方程：y = 一（x + 1）, yoXo -1 ,，、 一 直線12的方程：y = 一（x -1）.yo1 - X1 - Xc由，解得 X=-Xo,y=，所以Q(-Xo,-).yoyo一 1-X2999 9因為點Q在橢圓上，由對稱性，得 =±yo,即Xo

17、yo =1或Xo +y0 =1.yo2 2又P在橢圓E上，故迎+也=1. 43X2 - y2 =1-X Yo = 1由a+色，解得Xo =，7,yo 二號；晨2 式 ，無解.=17714343因此點p的坐標(biāo)為（4L 37）.7,718.本小題主要考查正棱柱、正棱臺的概念，考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查空間 想象能力和運用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.滿分16分.解：（1）由正棱柱的定義， CC 平面ABCD,所以平面AiACCJ平面ABCD , CCi±AC .記玻璃棒的另一端落在CCi上點M處.因為 AC =1077, AM =40，33所以 MC =如 -（

18、1077）2 =30，從而 sin / MAC =-,記AM與水面的焦點為 P，過P,作PQAC Q1為垂足，則 PQL平面 ABCD 故 PQ=12,從而 ap= pQ =16 .sin / MAC答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為 16cm.（如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結(jié)果為24cm）（第陽1）題）（第2）題）（2）如圖，O, O是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義，OO1平面EFGH 所以平面EEGGL平面EFGH OOL EG同理，平面 EiEGGL平面 EF1GH1, OO±EG.記玻璃棒的另一端落在 GG上點N處.過G作GKL EG K為垂足， 則GK

19、=OO32.因為 EG = 14 , EiG= 62 ,所以 KG= 62 ；4 =24 ,從而 GGi = JKG2+GK2 =）242 +322 =40.設(shè) / EGGi =。，/ ENG = B,則 sin =sin（三 十/ KGG1） =cos/ KGG1 =± 253 因為一<a < n,所以 cos a =一 .25 4014. -7 在4ENG中，由正弦定理可得 s-=嬴8，解得sin P =.-.24因為 0cp < -,所以 cos P =.于是 sin Z NEG =sin( n -a - P) =sin(a + P) = sin a cosP

20、 + cosa sin P = fx 馬+(_0)xZ =-. 5 25525 5記EN與水面的交點為P2,過 P2作PzQEG Q為垂足，則 PzQ，平面 EFGH故P2Q=12,從而EB=_PQ2 =20.sin Z NEG答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為 20cm.(如果將“沒入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結(jié)果為20cm)19 .本小題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力.滿分16分.證明：(1)因為On是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d ,則an =a+(n1)d ,從而，當(dāng) n 之4 時，an * +an# =a1

21、+ (n -k -1)d +a +(n +k -1)d= 2a1 +2(n 1)d =2an , k = 1,2,3,所以 an+an/+an+an書 +an3+an書=6an ,因此等差數(shù)列 Ln是“ P(3 )數(shù)列”.數(shù)列 Q既是“ P(2激列”，又是“ P(3 )數(shù)列”，因此,當(dāng) n 33時，an/+an+an+an* =4an ,當(dāng) n 3 4 時，an 工 +anN +an+an+ +an-2 +an 由=6an .由知，anJ3 +anN = 4Hn一 Sn+Hn中)，an至 +ane=4an噌(an+an),將代入，得an,+ an=2an,其中n之4,所以a3,a4,a5Ml是

22、等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d'.在中，取 n =4,貝U a2 +a3 +a5 +a6 =4a4,所以 a2 =a3 -d',在中，取 n =3,則 a1 +a2 +a4 +a5 =4a3,所以 a1 =a2 -2d',所以數(shù)列an是等差數(shù)列.,考查綜合運用數(shù)學(xué)思 想方法分析20 .本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點問題與解決問題以及邏輯推理能力.滿分16分.322a 2解：(1)由 f(x)=x +ax +bx+1,得 f (x)=3x +2ax+b = 3(x+)+b 32a ,.一,. a=一時，f'(x)有極小值b 33因為f (x)的極

23、值點是f (x)的零點.332aaaab2a3所以 f()=一十一 一+1=0,又 a>0,故b=十一.327939aa213因為f(x)有極值，故f (x)=0有實根，從而b=(27 a3) E0 ,即a主3.3 9aa=3時，f (x)>0(x¥1),故f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)沒有極值;a >3時，f '(x)=0有兩個相異的實根一a - a - 3b- a 心 v a - 3bx1 =, x2 =33列表如下x(- 1,x1)Xi(Xi,X2)X2(X2,+)f (x)+0一0+f(x)r極大值r極小值r故f (x)的極值點是Xi,X2.從而a

24、 >3,因此b2a23十一，定義域為(3,).9 a由(1)知，b = 23_£3a 9 a .1 a、幾 2t 3僅g(t尸9 當(dāng)tW(W6,y)時，g'(t)>0,從而g(t)在(3/6,)上單調(diào)遞增. 22b 一因為 a >3,所以 aja>3j3,故 g(a J5)>g(3 J3)= J3 ,即=>J3.、.a2因此b >3a.2(3)由(1)知，f (x)的極值點是 x1,x2，且 x1 +x2 = a , x2 +x2 =-.39從而 f (x1) + f (x2) = x3 +ax； + bx1 +1 + x3 + ax

25、2 +bx2 +1=x1(3x22axib) x2 (3x22ax2b) - a(x,2x2) b(x1x2)23333.34a -6ab 4ab 八- 二2=0279記f (x) , f'(x)所有極值之和為h(a),2-一a1 。 31 n 3因為f (x)的極值為b =一 a + 所以h(a)= -a +- , a> 3. 39a9 a23因為h (a尸 a -4 <0 ,于是h(a)在(3,y)上單調(diào)遞減.9 a2因為 h(6)=-,于是 h(a)之 h(6),故 a6. 2因此a的取值范圍為(3,6.21.【選做題】本題包括 A B、C D四小題，請選定其中兩小題

26、 ，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A.選彳4-1 :幾何證明選講本小題主要考查圓與相似三角形等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力.滿分10分.證明：(1)因為PC切半圓O于點C,所以 /PCA = /CBA,因為AB為半圓O的直徑，所以 /ACB =90*,因為 API PC 所以 /APC=901所以 PAC =>CAB.(第21-A題)AP AC(2)由(1)知 /XAPCs/X ACB ,故,AC AB所以 AC2 = AP AB .B.選修4-2 :矩陣與變換.滿分10分.本小題主要考查矩陣的乘法、線性變換等基礎(chǔ)知識，考

27、查運算求解能力 i 0 11 0解：(1)因為 A= I , B= I ,1 00 2(2)設(shè)Q(xo, yo)為曲線Ci上的任意一點,它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?P(x,y),J0 21A；1 肩2y°=xlx0 = y則| I |)即45所以X x.|1。70 1 |yX = y|yo =-22因為Q(xo,yo)在曲線Ci上，所以 迎+江 =1 ,8822從而 x- + 匕=i ,即 x2 + y2 = 8.88因此曲線Ci在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2： x2 + y2 = 8 .C.選修4-5 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程.滿分10分.本小題主要考查曲線的參數(shù)方程及互化

28、等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力解：直線l的普通方程為x-2y+8 = 0.因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2J2s),從而點P到直線l的的距離d =|2s2 -4,2s 8| 2(s- ,2)2 4;,(-1)2(-2)2當(dāng) S =、2 時，dmin4.5一 5因此當(dāng)點P的坐標(biāo)為（4, 4）時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值 迤5D.選彳4-5 :不等式選講本小題主要考查不等式的證明，考查推理論證能力.滿分10分.證明：由柯西不等式可得：（ac+bd ）2 W（a2+b2）（c2+d2）,因為 a2 b2 = 4,c2 d2 =16,所以（ac+bd）2 <64,因此ac bd三8.考查運用空間向量解決22.【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎(chǔ)知識問題的能力.滿分10分.解：在平面 ABCDJ,過點A作AE_LAD交BC于點E因為AA_L平面ABCD所以 AA_LAE AA_LAD如圖，以 AE,AD, AAi為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因為 AB=AD=2, AA=J3, /BAD =120©.則 A(0,0,0), B( .