《數(shù)列公式匯總》word版

1、.人教版數(shù)學(xué)必修五第二章 數(shù)列 重難點(diǎn)解析第二章 課文目錄21數(shù)列的概念與簡單表示法 22等差數(shù)列 23等差數(shù)列的前n項和 24等比數(shù)列 25等比數(shù)列前n項和 【重點(diǎn)】1、數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用。2、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。3、等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。4、等差數(shù)列n項和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用，熟練掌握等差數(shù)列的求和公式。5、等比數(shù)列的定義及通項公式，等比中項的理解與應(yīng)用。6、等比數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)，進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式【難點(diǎn)】1、根據(jù)數(shù)列的前n項觀察、歸納數(shù)列的一個通項公式。2、理解遞

2、推公式與通項公式的關(guān)系。3、等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。4、靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題。5、靈活應(yīng)用求和公式解決問題，靈活應(yīng)用定義式及通項公式解決相關(guān)問題。6、靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。一、數(shù)列的概念與簡單表示法 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或

3、首項），第2項，第n 項，.數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.注意：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列；一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，它的通項公式可以是，也可以是.數(shù)列通項公式的作用：求數(shù)列中任意一項；檢驗?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項.數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第 項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項5.數(shù)列與函

4、數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集1，2，3，n）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項

5、相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列7數(shù)列的表示方法（1）通項公式法如果數(shù)列的第n項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。如數(shù)列 的通項公式為 ；   的通項公式為 ； 的通項公式為 ；（2）圖象法啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項數(shù) 為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項 為縱坐標(biāo)，即以 為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因為橫坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在 軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項

6、數(shù)由小到大變化而變化的趨勢（3）遞推公式法如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：4、列表法簡記為 典型例題：例1：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 4

7、2,. 解：(1) 2n1； (2) ； (3) ； (4) 將數(shù)列變形為10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , n；(5) 將數(shù)列變形為1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6,， (1)n(n1)例2：設(shè)數(shù)列滿足寫出這個數(shù)列的前五項。分析：題中已給出的第1項即，遞推公式：解：據(jù)題意可知：，例3：已知， 寫出前5項，并猜想 解：法一： ，觀察可得 法二：由 即 二、等差數(shù)列1等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用

8、字母“d”表示）。 公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；對于數(shù)列,若=d (與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n2，nN，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。2等差數(shù)列的通項公式：【或】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列的首項是，公差是d，則據(jù)其定義可得：即：即：即：由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。由上述關(guān)系還可得：即：則：=即等差數(shù)列的第二通項公式 d=3有幾種方法可以計算公差d d= d= d=4結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由

9、 推不出m+n=p+q ，典型例題：例1：求等差數(shù)列8，5，2的第20項 -401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13的項？如果是，是第幾項？解：由 n=20，得由 得數(shù)列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。例2：已知數(shù)列的通項公式，其中、是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？ 分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看（n2）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)。解：當(dāng)n2時, （取數(shù)列中的任意相鄰兩項與（n2）為常數(shù)是等差數(shù)列，首項，公差為p。注：若p=0，則是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)

10、列q，q，q，若p0, 則是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項=pn+q (p、q是常數(shù))，稱其為第3通項公式。判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足3個通項公式中的一個。例3：求等差數(shù)列3，7，11，的第4項與第10項.分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項.解：根據(jù)題意可知：=3,d=73=4.該數(shù)列的通項公式為：=3+（n1）×4,即=4n1（n1,nN*）=4×41=15, =4×101=39.評述：關(guān)

11、鍵是求出通項公式.例4：求等差數(shù)列10，8，6，的第20項.解：根據(jù)題意可知：=10,d=810=2.該數(shù)列的通項公式為：=10+（n1）×（2）,即：=2n+12,=2×20+12=28.評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.例5：100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關(guān)鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：=2,d=92=7. 此數(shù)列通項公式為：=2+（n1）×7=7n5.令7n5=100,解得：n=15, 100是這個數(shù)列的第15項.例6：20是不

12、是等差數(shù)列0，3，7，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.解：由題意可知：=0,d=3 此數(shù)列的通項公式為：=n+,令n+=20,解得n= 因為n+=20沒有正整數(shù)解，所以20不是這個數(shù)列的項.例7：如果在與中間插入一個數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？解：由定義得A-=-A ，即：反之，若，則A-=-A由此可可得：成等差數(shù)列例8：在等差數(shù)列中，若+=9, =7, 求 , .分析：要求一個數(shù)列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數(shù)列中的至少一項和公差，或者知道這個數(shù)列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關(guān)系

13、式，想到從這雙項關(guān)系式入手解： an 是等差數(shù)列 +=+ =9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32   =2, =32三、等差數(shù)列的前n項和1等差數(shù)列的前項和公式1：證明： +： 由此得： 從而我們可以驗證高斯十歲時計算上述問題的正確性2 等差數(shù)列的前項和公式2： 用上述公式要求必須具備三個條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個條件： （有時比較有用）對等差數(shù)列的前項和公式2：可化成式子：，當(dāng)d0，是一個常數(shù)項為零的二次式3 由的定義可知，當(dāng)n=1時，=；當(dāng)n2時，=-，即=.4 對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法:（1） 利用:當(dāng)>0

14、，d<0，前n項和有最大值可由0，且0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值典型例題：例1：如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支，最上面一層放120支. 這個V形架上共放了多少支鉛筆？解：由題意知，這個V型架自下而上是個由120層的鉛筆構(gòu)成的等差數(shù)列，記為an，答：V型架上共放著7260支鉛筆例2：等差數(shù)列10，6，2，2，·······前9項的和多少？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為an則

15、a1=10，d=4, n=9例3：等差數(shù)列前10項的和為140，其中，項數(shù)為奇數(shù)的各項的和為125，求其第6項解 依題意，得解得a1=113，d=22 其通項公式為an=113(n1)·(22)=22n135a6=22×61353說明 本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法在本課中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而即a63可見，在做題的時候，要注意運(yùn)算的合理性當(dāng)然要做到這一點(diǎn)，必須以對知識的熟練掌握為前提例4：在1和2之間插入2n個數(shù)，組成首項為1、末項為2的等差數(shù)列，若這個數(shù)

16、列的前半部分的和同后半部分的和之比為913，求插入的數(shù)的個數(shù)解 依題意21(2n21)d由，有(2n1)d=1 共插入10個數(shù)例5：在等差數(shù)列an中，設(shè)前m項和為Sm，前n項和為Sn，且SmSn，mn，求Sm+n且SmSn，mnSm+n0例6：已知等差數(shù)列an中，S3=21，S6=64，求數(shù)列|an|的前n項和Tnd，已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d，再對數(shù)列的前若干項的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出Tn來解方程組得：d2，a19an9(n1)(n2)2n11其余各項為負(fù)數(shù)列an的前n項和為：當(dāng)n5時，Tnn210n當(dāng)n6時，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5SnTn2(2550)(

17、n210n)n210n50說明 根據(jù)數(shù)列an中項的符號，運(yùn)用分類討論思想可求|an|的前n項和例7： 在等差數(shù)列an中，已知a6a9a12a1534，求前20項之和解法一 由a6a9a12a1534得4a138d3420a1190d5(4a138d)=5×34=170由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17S20170例8：已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3·a7=12，a4a6=4，求它的前20項的和S20的值解法一 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差數(shù)列的

18、前n項和公式，可求得S20180解法二 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a3a7 即a3a74又a3·a7=12，由韋達(dá)定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是遞增數(shù)列a36，a7=2例9：等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件：Snan2bn可設(shè)Sn2n2k，Tnn(3n1)k說明 該解法涉及數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2bn，由k是常數(shù)，就不對了例10： 解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列an中a23，a617，求a9；(2)在1

19、9與89中間插入幾個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項之和為1350，求這幾個數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差數(shù)列an中，an=333n，求Sn的最大值分析與解答a9=a6(96)d=173×(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它們的下標(biāo)有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nN，當(dāng)n=10或n=11時，Sn取最大值165例11：等差數(shù)列an的前n項和Snm，前m項和Smn(mn)，求前mn項和Sm+n解法一 設(shè)an的

20、公差d按題意，則有=(mn)解法二 設(shè)SxAx2Bx(xN)，得A(m2n2)B(mn)nmmn A(mn)B=1故A(mn)2B(mn)(mn)即Sm+n(mn)說明 a1，d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設(shè)Sx=Ax2Bx(xN)例12： 在項數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75，各偶數(shù)項之和為90，末項與首項之差為27，則n之值是多少？解 S偶項S奇項=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27例13：在等差數(shù)列an中，已知a125，S9S17，問數(shù)列前多少項和

21、最大，并求出最大值解法一 建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最大值a1=25，S17S9 解得d2當(dāng)n=13時，Sn最大，最大值S13169解法二 因為a1=250，d20，所以數(shù)列an是遞減等a125，S9S17an=25(n1)(2)=2n27即前13項和最大，由等差數(shù)列的前n項和公式可求得S13=169解法三 利用S9=S17尋找相鄰項的關(guān)系由題意S9=S17得a10a11a12a17=0而a10a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14 a130，a140S13=169最大解法四 根據(jù)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)圖像，確定取最大值時的nan是等差數(shù)列可

22、設(shè)SnAn2Bn二次函數(shù)y=Ax2Bx的圖像過原點(diǎn)，如圖321所示S9S17，取n=13時，S13169最大四、等比數(shù)列1等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1°“從第二項起”與“前一項”之比為常數(shù)(q) 成等比數(shù)列=q（,q0）2° 隱含：任一項“0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件3° q= 1時，an為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項公式1: 由等比數(shù)列的定義，有：； 3.等比數(shù)列的通項公式2: 4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)

23、列：非零常數(shù)列5等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：等比數(shù)列的通項公式,它的圖象是分布在曲線（q>0）上的一些孤立的點(diǎn)。當(dāng)，q >1時，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)，時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)，q >1時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)時，等比數(shù)列是擺動數(shù)列；當(dāng)時，等比數(shù)列是常數(shù)列。6等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項. 即G=±（a,b同號）如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則，反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列G=ab（a·b0）7等比數(shù)列的

24、性質(zhì)：若m+n=p+k，則在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關(guān)系呢？由定義得： ，則8判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項法，通項公式法9等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, >0或0<q<1, <0時, 是遞增數(shù)列;當(dāng)q>1, <0,或0<q<1, >0時, 是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時, 是常數(shù)列;當(dāng)q<0時, 是擺動數(shù)列;10證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法:(1)定義法:若(2)等比中項法:若(3)通項法:若 (4)前n項和法:若數(shù)列為等比數(shù)列。典型例題：例1：求下列各等比數(shù)列的通項公式：（1）=-2, =-8； （2）=5, 且2=-3； （

25、3）=5, 且解：（1）解：（2）解：（3）解： 以上各式相乘得：例2：求下面等比數(shù)列的第4項與第5項：（1）5，15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，；（3），.解：（1）q=3, =5 =5·（3）=5·（3）=135，=5·（3）=405.（2）q=2, =1.2 =1.2×2=1.2×2=9.6, =1.2×2=19.2（3）q= =×（）=×（）=, =×（）=（4）q=1÷,= =·（）=.例3：一個等比數(shù)列的第9項是，公比是，求它的第1項.解：由題意得=,q=q8,

26、=（）,=2916答：它的第1項為2916.例4：一個等比數(shù)列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項.解：由已知得=10, =20.在等比數(shù)列中, =5, =q=40.答：它的第1項為5，第4項為40.例5：已知：b是a與c的等比中項，且a、b、c同號，求證： 也成等比數(shù)列證明：由題設(shè)：b2=ac 得： 也成等比數(shù)列例6：已知是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列的首項是，公比為;的首項為，公比為，那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為：它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以q1q2為公比的等比數(shù)列.例7：(1) 已知是等比數(shù)列，且, 求 (2) ac,三數(shù)a, 1, c成等

27、差數(shù)列，成等比數(shù)列，求解：(1) 是等比數(shù)列， 2()25, 又>0, 5; (2) a, 1, c成等差數(shù)列, ac2, 又a, 1, c成等比數(shù)列, a c1, 有ac1或ac1, 當(dāng)ac1時, 由ac2得a1, c1,與ac矛盾， ac1, .例8：已知無窮數(shù)列， 求證：（1）這個數(shù)列成等比數(shù)列 （2）這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的， （3）這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中證明：（1）（常數(shù)）該數(shù)列成等比數(shù)列 （2），即： （3）， 且，（第項）例9：在等比數(shù)列中，求該數(shù)列前七項之積 解： ，前七項之積例10：在等比數(shù)列中，求， 解： 另解：是與的等比中項， 五、等比數(shù)列的

28、前n項和1、 等比數(shù)列的前n項和公式： 當(dāng)時， 或 當(dāng)q=1時，當(dāng)已知, q, n 時用公式；當(dāng)已知, q, 時，用公式.公式的推導(dǎo)方法一：一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是由得 當(dāng)時， 或 當(dāng)q=1時，公式的推導(dǎo)方法二：有等比數(shù)列的定義，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即 （結(jié)論同上）圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式公式的推導(dǎo)方法三： （結(jié)論同上）2、重要結(jié)論an成等比數(shù)列，公比為q （1）也為等比數(shù)列，且公比為， （2）也成等比數(shù)列，且公比為q2（3）成等比，且an>0，則lga1,lga2,lga3成等差注（1）（2）典型例題：例1：求和： .分析：當(dāng) 時， 是由數(shù)列

29、與數(shù)列 的相應(yīng)的項相乘而來的，所以用錯位相減法來求和.解：當(dāng) 時， 當(dāng) 時， ，左右兩邊分別乘以 得： ，、相減得：于是 .說明：求和問題要分析數(shù)列的項的結(jié)構(gòu)，當(dāng)通項是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積時，用錯位相減法求和，此時要注意等比數(shù)列的公比是否為1（用字母表示公比時）.例2：已知 是等比數(shù)列 的前 項和，且有 求 的值.分析：由兩個方程不能求出確定的 ，只能得到一個關(guān)系，所以應(yīng)采用整體代入的方法.解：設(shè)等比數(shù)列的首項為 ，公比為 ， 由 可知 ，故 兩式相除得 ，即 .于是有 說明：本題強(qiáng)調(diào)的是基本量思想與整體思想，整體思想往往是設(shè)而不求，整體替換.例3： 求數(shù)列 的24項的和.分析： ，可

30、用裂項法求和.解： .說明：裂項法是求和的重要方法之一，要把數(shù)列的每一項分裂為兩項之差，求和時使得中間的大多數(shù)項互相抵消了.例4：設(shè) 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列， 是其前 項和.求證： .分析：先比較 與 的大小，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到所要證明的不等式.證明：設(shè)等比數(shù)列 的首項為 ，公比為 .當(dāng) 時， 當(dāng) 時， ， ，故有 .說明：解題中注意等比數(shù)列前 項和公式要對公比進(jìn)行分類；注意比較兩數(shù)大小的基本方法是比較法，特別是作差比較法，還要注意結(jié)合函數(shù)的有關(guān)知識.例5： 已知數(shù)列 中， 且當(dāng) 時， .（1）求 的通項公式；（2）求證： 分析：該數(shù)列從第二項開始，每一項是其前面所有項之和，于是通項

31、與一個和有關(guān)，所以引入前 項和.解：（1）設(shè) ，所以當(dāng) 時有 ，同時又 ，兩式相減得 ，于是 所以 是等比數(shù)列，公比為2.因為 所以 ，故當(dāng) 時， ,所以 證明：（2） 說明：在解題中注意項數(shù)的初始值，以及數(shù)列通項與和的相互轉(zhuǎn)化.第二章 數(shù)列 檢測題一、選擇題（每題5分，共50分）1、在數(shù)列中，則的值為（）A49B50C51D522、數(shù)列3，5，9，17，33，的通項公式等于（）ABCD3、是成等比數(shù)列的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件4、若數(shù)列的前n項和為，則（ ）A B C D5、已知實數(shù)滿足，那么實數(shù)是（）A等差非等比數(shù)列B等比非等差數(shù)列C既是

32、等比又是等差數(shù)列D既非等差又非等比數(shù)列6、若成等比數(shù)列，則關(guān)于x的方程（）A必有兩個不等實根B必有兩個相等實根C必?zé)o實根D以上三種情況均有可能7、已知則的等差中項為（）ABCD8、數(shù)列、都是等差數(shù)列，其中，那么前100項的和為（ ）A0B100C10000D1024009、數(shù)列前n項的和為（）A B C D 第1個第2個第3個。10、黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案：則第個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是AB CD二、填空題（每題4分，共16分）11、在等差數(shù)列中，已知，那么等于_； 12、某廠在1995年底制定生產(chǎn)計劃，要使2005年底的總產(chǎn)量在原有基礎(chǔ)上翻兩番，則年平均增長率為_,13、已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則的值是_, 14、等差數(shù)列前項和為，已知為_時，最大. 三、解答題（共84分）15、等