(完整word版)線性代數(shù)超強(qiáng)的總結(jié)(不看你會(huì)后悔的)(2),推薦文檔

1、線性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié)5A不可逆r(A) nA Ax有非零解0是刖勺特征值A(chǔ)的列(行)向量線性相關(guān)A可逆r(A) nAx 0只有零解A 勺特征值全不為零AA勺列(行)向量線性無關(guān)AT A是正定矩陣A與同階單位陣等價(jià)A P1P2 Ps, Pi是初等陣Rn,Ax 總有唯一解向量組等價(jià)相似矩陣具有 反身性、對(duì)稱性、傳遞性矩陣合同M關(guān)于ee, ©:稱為？ n的標(biāo)準(zhǔn)基，？n中的自然基，單位坐標(biāo)向量;ee, ©線性無關(guān)； Q,e2, ,en 1;tr(E尸n ；任意一個(gè)n維向量都可以用自,a，en線性表示.V行列式的計(jì)算:若A與B都是方陣（不必同階），則(1)mn A Ban上三角、下三角行

2、列式等于主對(duì)角線上元素的乘積ain關(guān)于副對(duì)角線:a2n 1a2n 1n( n 1)1廣 ama2nKanian1an1V逆矩陣的求法:A1AA(AME)初等行變換_1(EMA )1 adbcaia2ana2a2a21anan1anN1A1A2NAn1A1A22OAnA1 1A2 1OAn 1An 1NA2 1A1 1V方陣的幕的性質(zhì)：AmAnAm n(Am) n (A)mnV 設(shè) f (x) amxm am iXm 1 Lax a0,對(duì) n 階矩陣 A 規(guī)定：f (A) amAm am iAm 1 LaiA a°E為A的一個(gè)多項(xiàng)式.設(shè) Am n, Bn s, A 的 列 向 量 為

3、1 , 2B 的 列 向 量 為1, 2 , , s ， AB 的 列 向 量 為用A, B中簡r1, r2,Lr, s,若(b1,b2,L ,bn)T ,則Ab1 1 b2 2 Lbn n即：AB的第i個(gè)列向量是A勺列向量的線性組合，組合系數(shù)就是i的各分量;單的一個(gè)提高運(yùn)算速度V用對(duì)角矩陣用對(duì)角矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量的線性組合，組合系數(shù)就是i的各分量.左乘一個(gè)矩陣, 相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；右乘一個(gè)矩陣, 相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量V兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘A11與分塊對(duì)角陣相乘類似, 即： AA22, BOB1

4、1B22OBkk則：r A i,i 1,2,L ,s,即 A( i, 2, , s) (A i,A 2,L ,A s)A1B11ABA22 B22OAkkBkkV矩陣方程的解法：設(shè)法化成（I） AX B 或（II）當(dāng)A 0時(shí)，（I）的解法：構(gòu)造（A的 初等行變換（II）的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為XA B（當(dāng)B為一列時(shí)， 即為克萊姆法則）ATXTBT用（I）的方法求出XT,再轉(zhuǎn)置得XV Ax 和Bx 同解（A, B列向量個(gè)數(shù)相同），則： 它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng)，從而秩相等;它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.V判斷1, 2,L , s是Ax 0的基礎(chǔ)解系的條件：1,

5、2,L , s線性無關(guān)；1, 2,L , s是Ax 0的解；s n r（A）每個(gè)解向量中自由變量的個(gè)數(shù)6 零向量是任何向量的線性組合, 零向量與任何同維實(shí)向量正交. 單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān) , 整體必相關(guān)；整體無關(guān), 部分必?zé)o關(guān). 原向量組無關(guān), 接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān), 原向量組相關(guān).對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān) 兩個(gè)向量線性相關(guān) 向量組1, 2, , n中任一向量i(1wi wn)都是此向量組的線性組合 向量組 1, 2, , n 線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余n 1 個(gè)向量線性表示.向量組1, 2, , 0線性無關(guān)向量組中每一

6、個(gè)向量i都不能由其余n 1個(gè)向量線性表示.m維列向量組1,2, 口線性相關(guān)r(A)n;m維列向量組1,2, 口線性無關(guān)r(A)n. r(A) 0 A .若1, 2, , n線性無關(guān)，而1, 2n,線性相關(guān)，則 可由1, 2, , n線性表示，且表示法惟? 矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù)? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩, 且不改變列向量間的線性關(guān)系矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩, 且不改變行向量間的線性關(guān)系向量組等價(jià)1, 2, n和n可以相互線性表示.記作:1, 2, n % 1, 2, n矩陣等價(jià)A經(jīng)過有限次初等變換化為B. 記作：A %B?矩陣A與B等

7、價(jià)r(A) r(B)A,B作為向量組等價(jià),即:秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣A與B作為向量組等價(jià)r(n) r( 1, 2,)r( 1, 2,矩陣A與B等價(jià).?向量組1,2,可由向量組1,2,線性表示r (1,2, n, 1 , 2,s) r( 1, 2, , n) r( 1, 2,s)Wr( 1, 2, n) .?向量組1,2,可由向量組1,2,線性表示,且ss線性相關(guān).向量組1,2,線性無關(guān),且可由2, , n線性表示，則s w n.?向量組1,2,可由向量組1, 2,n線性表示,且(1, 2, s) r(1, 2, , n),則兩向量組等價(jià);?任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).?向量組的任意

8、兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)，且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等.?若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià)，則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.? 若A是m n矩陣,則r(A) min m,n，若r(A) m， A的行向量線性無關(guān);若r(A) n，A的列向量線性無關(guān)，即:1, 2, , n線性無關(guān).8xi iX2 2 LXn n線性方程組的矩陣式AxAaiia21a12a22LLalna2nXix2blb2i j,x,j一 ,J1,2,L ,nMMMMMMamiam2LamnXnbmmJ9A Ax有無窮多解A A Ax1, 2,L , n線性相關(guān)可由1, 2,L , n線性表示Ax 有解A Ax有唯一組解A A Axr(A) r(

9、AM )%1, 2,L , n線性無關(guān)當(dāng)副方陣時(shí)克萊姆法則r(A) r(AM )不可由1, 2,L , n線性表示Ax 無解 r(A) r(AM )r(A) 1 r(AM)矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(AT)T A(AB)T BTAT(kA)TkATATIA(A B)T AT BT矩陣可逆的性質(zhì)：(A1) 1 A_1_ 11(AB) 1 B 1A 1111(kA) 1 k 1A 1A1IA1(A1)T (AT)1(A 1)k (Ak) 1 A k伴隨矩陣的性質(zhì)：(A)|An2A(AB) B An 1(kA) k AAlIAn1(A 1)(A) 1 4(AT) (A )T(A )k (Ak)AA A A |

10、 A En若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1AB |A|B|kA kn|AAkIAk101,2?HAx 0的解,12也是它的解是Ax 0的解,對(duì)任意k,k也是它的解1,2,L ,2 ,L ,k是Axk, 1 10的解，對(duì)任意k個(gè)常數(shù)2 2k k也是它的解2 2k k齊次方程組線性方程組解的性質(zhì)：(4) (6) 是Ax1, 2t1Ax2是慶*1 , 2,L ,的解,是其導(dǎo)出組Ax 0的解,的兩個(gè)解,12是其導(dǎo)出組的解，則k是Ax1也是它的解1的解，則是Ax的解Ax 0的解2是其導(dǎo)出組Ax 0的解182k k也是Ax 的解2k k是Ax 0的解，設(shè)A為m n矩陣，若r(A)

11、m, 則 r( A)r(AM ) , 從而 Ax定有解.當(dāng)m n時(shí), 一定不是唯一解.方程個(gè)數(shù)向量維數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)向量個(gè)數(shù)則該向量組線性相關(guān)m是r(A)和r(AM )的上限.V矩陣的秩的性質(zhì)： r(A) r(AT) r(AT A) r(A B)w r(A) r(B) r(AB) < min r(A),r(B) r(kA)r(A)若k 00若k 0r(A) r(B)若A 0,則r(A)>1若Am n,Bn s,且r(AB) 0,則r(A) r(B)< n若P,Q可逆, 則r(PA) r(AQ) r(A)若A可逆,則r(AB) r(B)若B可逆,則r(AB) r(A) 若r(A)

12、 n,則r(AB) r (B),且A在矩陣乘法中有左消去律AB 0 BAB AC B C標(biāo)準(zhǔn)正交基n個(gè)n維線性無關(guān)的向量，兩兩正交，每個(gè)向量長度為1.是單位向量,(,)1.V內(nèi)積的性質(zhì):正定性:0,且（，）施密特正交矩陣AAT對(duì)稱性:雙線性:3線性無關(guān),正交化單位化:2,cV A是正交矩陣的充要條件:A的n個(gè)行V正交矩陣的性質(zhì)： ATA1；L (L (2,1 1)(3, 2)(2 2)2_一;3_3 J（列）向量構(gòu)成？n的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.與正交 （，）0. AAT AtA E ;A是正交陣，則AT （或A 1）也是正交陣;兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； 正交陣的行列式等于1或-1.A的特征矩陣E

13、A.A的特征多項(xiàng)式| E A f().A的特征方程E A 0.Ax xAx與就性相關(guān)V上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的n各元素.，若A 0,則 0為A的特征值，且Ax 0的基礎(chǔ)解系即為屬于0的線性無關(guān)的特征向量.nV A 1 2L ni tr A1aV 若 r(A) 1,則 A一定可分解為 A=02bl，b2，L，bn、A(aha2b2Lanbn)A,從而 Aan 的特征值為：1 tr A a1bl a2b2 L anbn,23 L n 0.V若A的全部特征值1, 2,L , n, f(x)是多項(xiàng)式，則:f (A)的全部特征值為f ( 1), f ( 2),L ,f( n)；

14、當(dāng)A可逆時(shí)，A1的全部特征值為1,1,L ,工, 12nA的全部特征值為U,L冷12nkAaA bEA 1 是A的特征值，則：AA2 Am A分別有特征值_12m，x是A關(guān)于 的特征向量，則x也是kAkaA bEa bA 112關(guān)于2的特征向量A2AmmAIAlAA與B相似I B P 1AP(P為可逆陣)記為：A: BV A相似于對(duì)角陣的充要條件:A恰有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.這時(shí)，P為A的特征向量拼成的矩陣，P 1AP為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為A的特征值.V A可對(duì)角化的充要條件：n r( iE A) kiki為i的重?cái)?shù).V若n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值,則A與對(duì)角陣相似.A與B正交相B

15、P 1AP (P為正交矩陣)V相似矩陣的性質(zhì)： A1 : B 1 若A, B均可逆 AT : BTAk : Bk( k為整數(shù))| E A | E B ,從而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 即：x是A關(guān)于0的特征向量，P 1x是B關(guān)于0的特征向量.| A B從而A,B同時(shí)可逆或不可逆 r(A) r(B) tr (A) tr (B)V數(shù)量矩陣只與自己相似.V對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量是實(shí)向量；與對(duì)角矩陣合同； 不同特征值的特征向量必定正交；k重特征值必定有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量； 必可用正交矩陣相似對(duì)角化(一定有 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，A可能有重 的特征值，重?cái)?shù)=n

16、 r( E A).A可以相似對(duì)而廠| A與對(duì)角陣 相似.記為：A:(稱 是A的卜目似標(biāo)湘gV若A為可對(duì)角化矩陣，則其非零特征值的個(gè)數(shù)(重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算)r(A).，設(shè)i為對(duì)應(yīng)于i的線性無關(guān)的特征向量，則有：A( 1,2,L , n) (A 1,A 2,L ,An)( 1 1 , 2 2,L , n n)1 , 2 ,L , n1 44 2 4 43p，若A:一 A，若A:B,則 f(A): f(B), f(A)f(B).二次型f(X1,X2,L ,Xn) XTAXA為對(duì)稱矩陣X (Xi,X2,L ,Xn)TA與B合同 B CT AC.記作:A; B(A, B為對(duì)稱陣為可逆陣)V兩個(gè)矩陣合同的充分必

17、要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)V兩個(gè)矩陣合同的充分條件是： A: BV兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：r(A) r(B):'正交變換V f(X1,X2,L ,Xn) XTAX 經(jīng)過(合同變換、可逆線性變換X CY 化為 f(Xi,X2,L ,Xn)di yi2標(biāo)準(zhǔn)型.1，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的，與所作的正交變換有關(guān)，但系數(shù)不為零的個(gè)數(shù)是由(A)正慣性指或負(fù)慣性指數(shù)惟一確定的.V當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)di為1, -1或0時(shí)，則為規(guī)范形.V實(shí)對(duì)稱矩陣的正(負(fù))慣性指數(shù)等于它的正(負(fù))特征值的個(gè)數(shù)1O11V任一實(shí)對(duì)稱矩陣A與惟一對(duì)角陣O10O合同.B, C : D ,則： CV用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：求出A的特征值、特征向量； 對(duì)n個(gè)特征向量單位化、正交化；構(gòu)造C （正交矩陣），C 1AC;n 作變換X C