球的體積和表面積公式具體推導(dǎo)過程

1、1.32球的體積和表面積（1）A設(shè)球的半徑為R,將半徑OAn等分，過這B些分點作平面把半球切割成n層，每一層都是近似于圓柱形狀的“小圓片”，這些“小圓 片”的體積之和就是半球的體積由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱的體積。它的高就 是“小圓片”的厚度R，底面就是“小圓片”的下底面。n由勾股定理可得第i層（由下向上數(shù)）“小圓片”的下底面半徑:riR2 R(i 1)2，(i 二 1,2,3，n) n第i層“小圓片”的體積為: R1n nn2i 1，(i = 1,2,3， n)半球的體積：V半徑=Vi+ + VnR31222-1 +( 1-飛)+( 1 - -r )+ 1 nnn

2、222? n2 丄門51)(2n1)63222R1 2? (n 1)-=n-(注：111(1)(2-)=R31nd6nn=衛(wèi)n - -?(n1)n(2n° = R3(1(n 1)(n1)nn66n當(dāng)所分的層數(shù)不斷增加，也就是說，當(dāng) n不斷變大時，式越來越接近于半球的 體積，如果n無限變大，就能由式推出半徑的體積。1i事實上，n增大，就越來越小，當(dāng)n無限大時，-趨向于0,這時，有nn2 343V半徑= R，所以，半徑為R的球的體積為：V= R3 31.3.2球的體積和表面積（2）球的表面積推導(dǎo)方法（設(shè)球的半徑為R,利用球的體積公式推導(dǎo)類似方法）（1）分割。把球O的表面分成n個“小球面片

3、”，設(shè)它們的表面積分別是 S，S2, Sn,那么球的表面積為：S= S + S2+ Sn把球心O和每一個“小球面片”的頂點連接起來，整個球體被分成 n個以“小球 面片”為底，球心為頂點的“小錐體”。例如，球心與第i個“小球面片”頂點相連后 就得到一個以點O為頂點，以第i個“小球面片”為底面的“小錐體”。這樣“小錐體” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一個“小球面片”都非常小，那么“小錐體”的底面幾乎是“平”的，（好象地球一樣），這時，每一個“小錐體”就近似于棱錐，它們的高近似于球的半徑 F。(2) 求近似和。設(shè)n個“小錐體”的體積分別為 Vi, V2，Vn那么球的體積為：V= V

4、+匕+ Vn由于“小錐體”近似于棱錐，所以我們用相應(yīng)棱錐的體積作為“小錐體”體積的 近似值。第i個“小錐體”對應(yīng)的棱錐以點 0為頂點，以點0與第i個“小球面片” 頂點的連線為棱。設(shè)它的高為 hi，底面面積為S i，于是，它的體積為：1V' i = hi S ' i， (i = 1,2,，n)31這樣就有：V丄hi S ' i，(i = 1,2,，n)31V ( h1 S ' 1 + h2 S ' 2 + + hn S ' n)3(3) 轉(zhuǎn)化為球的表面積。分割得越細(xì)密，也就是每一個“小球面片”越小，“小錐體”就越接近于棱錐，如果分割無限加細(xì)，每一個“小球面片”都無限變小，那么hi (i1二1,2,，n)就趨向于R, S'