高量1-矢量空間

1、2021/8/21高等量子力學(xué)教學(xué)時(shí)數(shù)：教學(xué)時(shí)數(shù)：418=72學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)使用對(duì)象：碩士研究生使用對(duì)象：碩士研究生使用教材：喀興林使用教材：喀興林 主編主編高等量子力學(xué)高等量子力學(xué)2021/8/22第一章第一章 希爾伯特空間希爾伯特空間1 矢量空間矢量空間1.1 定義定義考慮無窮多個(gè)同類的數(shù)學(xué)對(duì)象的集合考慮無窮多個(gè)同類的數(shù)學(xué)對(duì)象的集合如果它們之間滿足一定的運(yùn)算要求，則其構(gòu)如果它們之間滿足一定的運(yùn)算要求，則其構(gòu)成一個(gè)矢量空間。成一個(gè)矢量空間。,加法運(yùn)算加法運(yùn)算集合中任意兩個(gè)矢量相加都能得到集合中的集合中任意兩個(gè)矢量相加都能得到集合中的另一個(gè)矢量，即另一個(gè)矢量，即一、矢量空間中矢量的運(yùn)算2021/8/

2、23加法規(guī)則視不同對(duì)象可以不同。但一定要加法規(guī)則視不同對(duì)象可以不同。但一定要滿足下列四個(gè)條件滿足下列四個(gè)條件1.交換律交換律2.結(jié)合律結(jié)合律)()(3.單位元存在單位元存在4.逆元存在逆元存在OOO為零矢量為零矢量并把并把 記為記為)(2021/8/24數(shù)乘運(yùn)算數(shù)乘運(yùn)算集合內(nèi)任一矢量可以與數(shù)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）集合內(nèi)任一矢量可以與數(shù)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）相乘，得出集合內(nèi)的另一矢量。相乘，得出集合內(nèi)的另一矢量。aa （一般把數(shù)寫在矢量后面）（一般把數(shù)寫在矢量后面）數(shù)乘滿足下列四個(gè)條件數(shù)乘滿足下列四個(gè)條件1.單位元單位元12.結(jié)合律結(jié)合律)()(abba3.第一分配律第一分配律baba )(4.第二分配律第二分

3、配律aaa )(2021/8/25內(nèi)積運(yùn)算內(nèi)積運(yùn)算兩個(gè)矢量可以作內(nèi)積得出一個(gè)數(shù)，記作兩個(gè)矢量可以作內(nèi)積得出一個(gè)數(shù)，記作C),(在實(shí)數(shù)域（復(fù)數(shù)域）上的矢量，其內(nèi)積是在實(shí)數(shù)域（復(fù)數(shù)域）上的矢量，其內(nèi)積是實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）。內(nèi)積與兩個(gè)因子的次序有實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）。內(nèi)積與兩個(gè)因子的次序有關(guān)。內(nèi)積規(guī)則要滿足下列四個(gè)條件關(guān)。內(nèi)積規(guī)則要滿足下列四個(gè)條件1.復(fù)共軛復(fù)共軛*),(),(2.分配律分配律),(),(),(3.因子結(jié)合律因子結(jié)合律aa),(),(4.自內(nèi)積自內(nèi)積0),(對(duì)任意對(duì)任意 有有若若0),(02021/8/26 內(nèi)積空間的完全性內(nèi)積空間的完全性 如果對(duì)給定任意小的實(shí)數(shù)如果對(duì)給定任意小的實(shí)數(shù) , ,有數(shù)

4、有數(shù)N存存在。當(dāng)在。當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有0Nnm,),(nmnm00),(,利用了可以無限接近增大，即隨著nmnm那么可以定義空間的完全性：那么可以定義空間的完全性： 我們把具有加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算并滿足我們把具有加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算并滿足各自條件的矢量集合稱為各自條件的矢量集合稱為矢量空間或線性矢量空間或線性空間空間。 具有加法、數(shù)乘和內(nèi)積三種運(yùn)算的空間稱具有加法、數(shù)乘和內(nèi)積三種運(yùn)算的空間稱為為內(nèi)積空間內(nèi)積空間。2021/8/27 這樣完全的內(nèi)積空間是指在這樣完全的內(nèi)積空間是指在Cauchy意義下，意義下，內(nèi)積空間中的序列內(nèi)積空間中的序列 的極限的極限也在內(nèi)積空間中。也在內(nèi)積空間中。n,21 完全的

5、內(nèi)積空間稱為希爾伯特完全的內(nèi)積空間稱為希爾伯特(Hilbert)空間。空間。 本章中，矢量空間通常指在復(fù)數(shù)域上的本章中，矢量空間通常指在復(fù)數(shù)域上的內(nèi)積空間。內(nèi)積空間。 空間中任意在空間中任意在Cauchy意義下收斂的序列意義下收斂的序列 的極限也必須在此空間中。的極限也必須在此空間中。,212021/8/28二、矢量空間的簡單性質(zhì)1.1.零矢量是唯一的零矢量是唯一的證明證明設(shè)空間中有二零矢量設(shè)空間中有二零矢量O1，O2，則，則21,OO將第一式中將第一式中 ， 第二式中第二式中 ，則，則2O1O211122,OOOOOO利用加法交換律，有利用加法交換律，有121122OOOOOO所以零矢量是唯

6、一的。所以零矢量是唯一的。2021/8/29這樣這樣21)(故逆元是唯一的。故逆元是唯一的。011)(2121)(2202. 2. 每個(gè)矢量的逆元是唯一的每個(gè)矢量的逆元是唯一的 證明證明設(shè)設(shè) 中有兩個(gè)逆元中有兩個(gè)逆元 ，則有，則有21,0, 0213. 3. O04. 4. ) 1(5. 5. OOa 2021/8/210)(),(),(. 8注意數(shù)和矢量的寫法注意數(shù)和矢量的寫法),(),(. 7*aa0),(. 9O6. 6. 若若 ，那么，那么 或或 00a0a證明證明 當(dāng)當(dāng) 時(shí)顯然成立；時(shí)顯然成立；0a當(dāng)當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有0aaa/11因?yàn)橐驗(yàn)镺Oaaa11)(由由5知知)而且而且 （

7、數(shù)乘結(jié)合律，單位元）（數(shù)乘結(jié)合律，單位元）1)()(11aaaa所以所以0故若故若00a 0a或或2021/8/211三、矢量空間舉例三、矢量空間舉例1. 有理數(shù)域上的矢量空間有理數(shù)域上的矢量空間數(shù)學(xué)對(duì)象為所有正負(fù)有理數(shù)和零數(shù)學(xué)對(duì)象為所有正負(fù)有理數(shù)和零 因?yàn)橛欣頂?shù)相加和相乘都是有理數(shù)，故這個(gè)空間是封閉的因?yàn)橛欣頂?shù)相加和相乘都是有理數(shù)，故這個(gè)空間是封閉的所得結(jié)果仍在此空間中。所得結(jié)果仍在此空間中。加法：算術(shù)中的加法加法：算術(shù)中的加法數(shù)乘：數(shù)乘：a為有理數(shù)的乘法為有理數(shù)的乘法內(nèi)積：因子是算術(shù)乘積內(nèi)積：因子是算術(shù)乘積但注意以下序列但注意以下序列niniSSSS0210!1,! 21! 111,! 1

8、11, 1所以，有理數(shù)域的空間并非完全的內(nèi)積空間。所以，有理數(shù)域的空間并非完全的內(nèi)積空間。每項(xiàng)都在上述空間中。但當(dāng)每項(xiàng)都在上述空間中。但當(dāng) 時(shí)，時(shí)，這是一個(gè)無理數(shù)，不在有理數(shù)空間內(nèi)。這是一個(gè)無理數(shù)，不在有理數(shù)空間內(nèi)。n7182818. 2eSn2021/8/2122. 位置矢量空間位置矢量空間 數(shù)學(xué)對(duì)象為數(shù)學(xué)對(duì)象為 3D位形空間中由一點(diǎn)引出的不同方向，位形空間中由一點(diǎn)引出的不同方向，不同長短的線段的全體。不同長短的線段的全體。規(guī)定規(guī)定（1）加法：平行四邊形法則）加法：平行四邊形法則 （2）數(shù)乘：方向不變，長度乘以）數(shù)乘：方向不變，長度乘以a （3）內(nèi)積：兩矢量點(diǎn)乘積）內(nèi)積：兩矢量點(diǎn)乘積這是一個(gè)

9、實(shí)數(shù)域上的內(nèi)積空間。這是一個(gè)實(shí)數(shù)域上的內(nèi)積空間。3. 復(fù)矩陣復(fù)矩陣 數(shù)學(xué)對(duì)象為數(shù)學(xué)對(duì)象為 一組有次序的復(fù)數(shù)。如四個(gè)數(shù)寫成列陣一組有次序的復(fù)數(shù)。如四個(gè)數(shù)寫成列陣4321lllll2021/8/213定義加法、數(shù)乘和內(nèi)積分別為定義加法、數(shù)乘和內(nèi)積分別為24232211mlmlmlmlmlalalalalla43214*43*32*21*1),(mlmlmlmlml這是一個(gè)復(fù)數(shù)域上的內(nèi)積空間。這是一個(gè)復(fù)數(shù)域上的內(nèi)積空間。2021/8/2144.4.復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)這樣的函數(shù)全體構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間這樣的函數(shù)全體構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間-函數(shù)空間。函數(shù)空間。不同的函數(shù)都是此空間中的矢量。不同的函數(shù)都是此空間中的矢量。

10、數(shù)學(xué)對(duì)象為在數(shù)學(xué)對(duì)象為在 區(qū)間定義的實(shí)變量區(qū)間定義的實(shí)變量x的的 “行行為較好為較好”的復(fù)函數(shù)的復(fù)函數(shù)f(x)的全體的全體,而且都是平方可積的。而且都是平方可積的。bxa定義加法和數(shù)乘都是代數(shù)中的相應(yīng)運(yùn)算。規(guī)定兩定義加法和數(shù)乘都是代數(shù)中的相應(yīng)運(yùn)算。規(guī)定兩個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) f(x),g(x)的內(nèi)積為的內(nèi)積為baxxgxfxgxfd)()()(),(*2021/8/2151.2 正交性和模正交性和模一、正交歸一性一、正交歸一性1. 正交：正交：2. 模方：模方：矢量矢量 同它自己的內(nèi)積同它自己的內(nèi)積 是一個(gè)大于是一個(gè)大于0的實(shí)數(shù)，稱為矢量的實(shí)數(shù)，稱為矢量 的模方。記作的模方。記作),(2|),(模方的

11、正平方根稱為模，記作模方的正平方根稱為模，記作 ，又稱作，又稱作矢量矢量 的長度。的長度。|若干矢量若干矢量 和和 的內(nèi)積滿足關(guān)系的內(nèi)積滿足關(guān)系 則稱矢量則稱矢量 和和 正交。正交。0),(3. 歸一化矢量：歸一化矢量：模等于模等于1的矢量稱為歸一化的矢量稱為歸一化矢量。矢量。2021/8/216即有即有1. Schwartz不等式不等式二、與模有關(guān)的基本關(guān)系二、與模有關(guān)的基本關(guān)系對(duì)于任意矢量對(duì)于任意矢量 和和 ，有，有| ),( |2|),( 證證 給定給定 和和 后，構(gòu)造一個(gè)矢量后，構(gòu)造一個(gè)矢量 作作 的模方，則的模方，則 0|2),(0),(| |),(),(22*),(|),(|),(

12、),(|2*222021/8/217),(|),(|),(),(|),(02*22),(| |),(),(22*因?yàn)橐驗(yàn)?|2（等于（等于0 0是不允許的，為什么？）是不允許的，為什么？）所以有所以有222| ),( |即即| ),( |得證。得證。2021/8/2182. 三角形不等式三角形不等式|對(duì)于任意矢量對(duì)于任意矢量 和和 ，有，有 證證 因?yàn)閷?duì)任意復(fù)數(shù)因?yàn)閷?duì)任意復(fù)數(shù)a，有，有|Reaa 取取 ，利用上述關(guān)系和，利用上述關(guān)系和Schwartz不等式，有不等式，有2|22|),Re(2|),(22|,|2|22|2|所以所以22|)|(|即即|得證。得證。2021/8/219 只要有一組

13、不全為只要有一組不全為 0 的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù) ai 存在使得上式成存在使得上式成立，則這一組矢量線性相關(guān)。立，則這一組矢量線性相關(guān)。意義：任一線性相關(guān)的非零矢量都可以表為其余矢意義：任一線性相關(guān)的非零矢量都可以表為其余矢量的線性疊加。量的線性疊加。1. 線性無關(guān)線性無關(guān) 矢量空間中有限個(gè)矢量的集合矢量空間中有限個(gè)矢量的集合 ，若式，若式 只有當(dāng)復(fù)數(shù)只有當(dāng)復(fù)數(shù) 全為零時(shí)才成立，則矢量全為零時(shí)才成立，則矢量 是線性無是線性無關(guān)的。關(guān)的。niiia10 ii ia1.3 基矢基矢（1）定義定義：2021/8/220 對(duì)無窮個(gè)矢量集合，若任意有限的子集合都是線對(duì)無窮個(gè)矢量集合，若任意有限的子集合都是線性無

14、關(guān)的，則整個(gè)集合就是線性無關(guān)的。性無關(guān)的，則整個(gè)集合就是線性無關(guān)的。（2） 完全集完全集 一個(gè)矢量空間中的一組完全集，是一個(gè)線性無關(guān)一個(gè)矢量空間中的一組完全集，是一個(gè)線性無關(guān)的矢量集合，比如的矢量集合，比如iiia其中其中 是一組復(fù)數(shù)。是一組復(fù)數(shù)。ia), 3 , 2 , 1(nii如果一個(gè)空間中有一個(gè)線性無關(guān)的矢量集如果一個(gè)空間中有一個(gè)線性無關(guān)的矢量集,321n但還不是完全集。但還不是完全集。這個(gè)空間中的每一個(gè)矢量這個(gè)空間中的每一個(gè)矢量 都能寫成形式都能寫成形式2021/8/221,321n現(xiàn)在將一個(gè)不能表為其線性疊加的一個(gè)矢量現(xiàn)在將一個(gè)不能表為其線性疊加的一個(gè)矢量加進(jìn)去，此集合變?yōu)榧舆M(jìn)去，

15、此集合變?yōu)?n,1321nn11niiia看任意矢量看任意矢量 能否寫成能否寫成否則，繼續(xù)在集合中增加線性無關(guān)矢量，直到上否則，繼續(xù)在集合中增加線性無關(guān)矢量，直到上述條件滿足。述條件滿足。如能寫成，則上述如能寫成，則上述 個(gè)矢量構(gòu)成完全集。個(gè)矢量構(gòu)成完全集。) 1( n 如能做到這一點(diǎn)，則此矢量空間是有限維的。如能做到這一點(diǎn)，則此矢量空間是有限維的。否則就是無窮維的。否則就是無窮維的。2021/8/222（3） 有限維空間中的維數(shù)定理有限維空間中的維數(shù)定理定理：在有限維空間內(nèi)各種不同的完全集中所含定理：在有限維空間內(nèi)各種不同的完全集中所含 矢量的數(shù)目是相同的。矢量的數(shù)目是相同的。證明證明（反證

16、法）（反證法）假設(shè)一矢量空間中有兩組數(shù)目不同的完全集假設(shè)一矢量空間中有兩組數(shù)目不同的完全集,321nn個(gè),321mm個(gè)將將 加入到加入到 中，成為中，成為1i,3211n因?yàn)橐驗(yàn)?已經(jīng)是線性無關(guān)的，故此集合必然已經(jīng)是線性無關(guān)的，故此集合必然是是i線性相關(guān)的。線性相關(guān)的。所以有所以有iiic12021/8/223既然集合既然集合 是線性相關(guān)的，必然是線性相關(guān)的，必然存在這樣一個(gè)問題：存在這樣一個(gè)問題：,3211n1線性無關(guān)線性無關(guān),11線性無關(guān)線性無關(guān),211線性無關(guān)線性無關(guān)每次增加一個(gè)每次增加一個(gè) ，一開始它們是線性無關(guān)的。，一開始它們是線性無關(guān)的。必然有一個(gè)數(shù)必然有一個(gè)數(shù) ，在加入，在加入

17、之后，集合之后，集合開始為線性相關(guān)了，即開始為線性相關(guān)了，即)1 (niii,1211i線性無關(guān)線性無關(guān),1211ii線性相關(guān)線性相關(guān)2021/8/224,1211ii線性相關(guān)線性相關(guān),11211ii現(xiàn)在把現(xiàn)在把 去掉，加入去掉，加入 ， 使集合成為使集合成為i1i問題：問題： 此集合中的矢量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？此集合中的矢量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？線性相關(guān)？線性相關(guān)？1i能表成能表成 的線性疊加的線性疊加1211,i但但iiic1從而可推出從而可推出iiiic1這與這與 是完全集相矛盾。是完全集相矛盾。所以所以 是線性無關(guān)的。是線性無關(guān)的。,11211ii同理同理 也是線性無關(guān)的。也是線

18、性無關(guān)的。,211211niii2021/8/225下一個(gè)問題：集合下一個(gè)問題：集合 是否完全的？是否完全的？,211211niii已經(jīng)知道，空間中的任矢量可表成已經(jīng)知道，空間中的任矢量可表成的線性疊加，但的線性疊加，但 又能表為又能表為 的疊加，的疊加，,21ni,1211ii故此矢量肯定可表成故此矢量肯定可表成的線性疊加的線性疊加,211211niii所以說集合所以說集合 是完全的。是完全的。,211211niii至此，我們證明了在完全集至此，我們證明了在完全集 中加入一個(gè)中加入一個(gè) 必能頂必能頂?shù)裟骋粋€(gè)掉某一個(gè) ，而仍能保持為完全集，而且只能頂?shù)粢?，而仍能保持為完全集，而且只能頂?shù)粢粋€(gè)。

19、不能再多，否則就不完全了。個(gè)。不能再多，否則就不完全了。12021/8/226現(xiàn)在我們?cè)谛碌耐耆F(xiàn)在我們?cè)谛碌耐耆?中加入一個(gè)中加入一個(gè) ，又頂?shù)裟骋粋€(gè)，又頂?shù)裟骋粋€(gè) 。,211211niii2想一下，如果想一下，如果 少少 多，即多，即 ，會(huì)出現(xiàn)什么情況？，會(huì)出現(xiàn)什么情況？nm 全部全部 用完后，仍有部分用完后，仍有部分 未被頂?shù)?。未被頂?shù)簟Q句話說，換句話說， 要加入一些要加入一些 才是完全集。才是完全集。這與這與 本身就是完全集相矛盾。本身就是完全集相矛盾。所以所以 是不可能的。是不可能的。nm 2021/8/227故只有一種可能故只有一種可能如果如果 多多 少，即少，即 ，那么把全

20、部，那么把全部 頂?shù)艉箜數(shù)艉筮€有一些還有一些 沒有用到，這就是說沒有用到，這就是說 中的一部分中的一部分就是完全集，也與就是完全集，也與 是完全集相矛盾。是完全集相矛盾。nm nm 也是不可能的。也是不可能的。nm 所以所以所以，每一個(gè)有限維矢量空間中各種不同完全集所以，每一個(gè)有限維矢量空間中各種不同完全集所包含矢量的數(shù)目是相同的。所包含矢量的數(shù)目是相同的。這個(gè)數(shù)目稱為矢量空間的維數(shù)。這個(gè)數(shù)目稱為矢量空間的維數(shù)。2021/8/228njiijji, 3 , 2 , 1,),(2. 基矢基矢（1） 概念概念 一個(gè)矢量空間中可以有多組完全集，而正交歸一個(gè)矢量空間中可以有多組完全集，而正交歸一的完全

21、集稱為這個(gè)空間的一組基矢。一的完全集稱為這個(gè)空間的一組基矢。 顯然，一個(gè)空間能有不同的多組基矢。顯然，一個(gè)空間能有不同的多組基矢。 n 維空間的一組基矢維空間的一組基矢 的正交歸一性的正交歸一性可以寫為可以寫為,21n 如何構(gòu)造或?qū)ふ乙唤M基矢？如何構(gòu)造或?qū)ふ乙唤M基矢？2021/8/229（2） 尋找基矢的方法尋找基矢的方法-Schmidt正交化方法正交化方法 一個(gè)矢量空間，只要知道它的一個(gè)完全集，總一個(gè)矢量空間，只要知道它的一個(gè)完全集，總可以找到一組基矢?？梢哉业揭唤M基矢。,21n 設(shè)設(shè) n 維空間有一組不滿足正交歸一條件的完全維空間有一組不滿足正交歸一條件的完全集集 ，現(xiàn)在求此空間的一組基矢

22、，現(xiàn)在求此空間的一組基矢,21n 1）首先取首先取 為歸一化了的為歸一化了的 ：11|111 2）取取 ，選擇常數(shù)，選擇常數(shù) 使使 與與 正交正交 即即 12122a2112a2021/8/230122121),(),(0a由此得由此得),(),(211222112a取取 為歸一化了的為歸一化了的 ：22|222這樣這樣 是正交歸一的，可以用來代替是正交歸一的，可以用來代替 。21,21, 3）取取 ，選擇常數(shù)，選擇常數(shù) 使使 與與 都正交，同樣可得都正交，同樣可得 23213133aa321,2313,aa),(),(32231133歸一化了的歸一化了的 為為3|3332021/8/231|

23、111mmmmimiimm1111),(4）如此繼續(xù)下去，若已找到如此繼續(xù)下去，若已找到 m 個(gè)個(gè) ，即，即 )(,21nmm則則 為為 1m而歸一化了的而歸一化了的 為為1m5）最后總可以找到一組基矢最后總可以找到一組基矢 ,21n2021/8/232（3） 關(guān)于基矢的重要定理關(guān)于基矢的重要定理-完全性定理完全性定理 如果如果 是矢量空間中一組是矢量空間中一組n個(gè)正交個(gè)正交歸一的矢量，則下面的四個(gè)命題是互為等價(jià)的：歸一的矢量，則下面的四個(gè)命題是互為等價(jià)的： ), 2 , 1(nii1） 是空間的一組基，即空間是是空間的一組基，即空間是 n 維的；維的；i2） 對(duì)對(duì)空間的一切矢量空間的一切矢量

24、 成立；成立；niii1),(3） 對(duì)對(duì)空間的一切矢量空間的一切矢量 成立，此式稱為成立，此式稱為Parseval等式；等式；niii1),)(,(),(,4） 對(duì)對(duì)空間的一切矢量空間的一切矢量 成立。成立。nii122| ),( |2021/8/2331. 子空間的定義子空間的定義1.4 子空間子空間 一個(gè)矢量空間一個(gè)矢量空間R，若其中一個(gè)矢量的集合，若其中一個(gè)矢量的集合S在原空在原空間的運(yùn)算定義下又構(gòu)成一個(gè)矢量空間，那么間的運(yùn)算定義下又構(gòu)成一個(gè)矢量空間，那么S稱為稱為R的子空間，的子空間，R稱為相應(yīng)的大空間。稱為相應(yīng)的大空間。子空間的維數(shù)小于或等于大空間的維數(shù)。子空間的維數(shù)小于或等于大空間

25、的維數(shù)。RS2021/8/2342. 補(bǔ)空間的定義補(bǔ)空間的定義 大空間中與子空間大空間中與子空間S所有矢量都正交的那些矢量所有矢量都正交的那些矢量全體也構(gòu)成一個(gè)矢量空間全體也構(gòu)成一個(gè)矢量空間(為另一子空間為另一子空間)，稱為子，稱為子空間空間S的補(bǔ)空間的補(bǔ)空間C。RSC 顯然，子空間顯然，子空間S中任一矢量同其補(bǔ)空間中任一矢量同其補(bǔ)空間C中任一矢中任一矢量都是正交的。量都是正交的。2021/8/235 一個(gè)子空間同它的補(bǔ)空間只有一個(gè)共同元，那就一個(gè)子空間同它的補(bǔ)空間只有一個(gè)共同元，那就是零矢量。是零矢量。3. 維數(shù)關(guān)系維數(shù)關(guān)系 設(shè)大空間的維數(shù)為設(shè)大空間的維數(shù)為n，其一子空間的維數(shù)為，其一子空間

26、的維數(shù)為s。則則S的補(bǔ)空間的維數(shù)為的補(bǔ)空間的維數(shù)為n-s。證明證明S既然是既然是 s 維的，其中必然存在一組維的，其中必然存在一組s個(gè)基矢個(gè)基矢 ，這些基矢也是大空間的矢量。，這些基矢也是大空間的矢量。s,21在大空間中這在大空間中這 s 個(gè)矢量之外，還能找出個(gè)矢量之外，還能找出 n-s 個(gè)歸一化的矢量，這些矢量與上述個(gè)歸一化的矢量，這些矢量與上述 s 個(gè)矢量個(gè)矢量一起構(gòu)成大空間的一組基矢。一起構(gòu)成大空間的一組基矢。2021/8/236后來找出的這后來找出的這(n-s)基矢構(gòu)成一個(gè)子空間基矢構(gòu)成一個(gè)子空間,這就是這就是S的補(bǔ)空間的補(bǔ)空間,由此證明了由此證明了S的補(bǔ)空間是的補(bǔ)空間是(n-s)維的

27、。維的。后一組的數(shù)目不能比后一組的數(shù)目不能比 n-s 多，也不能少，因?yàn)槎?，也不能少，因?yàn)槎嗷蛏俣寂c大空間是多或少都與大空間是 n 維這一點(diǎn)矛盾。維這一點(diǎn)矛盾。由于由于(n-s)個(gè)基矢與個(gè)基矢與S中的中的s個(gè)基矢都正交，所以個(gè)基矢都正交，所以補(bǔ)空間中的任一矢量與子空間中的任一矢量都補(bǔ)空間中的任一矢量與子空間中的任一矢量都是正交的。是正交的。2021/8/237一一. 右矢空間和左矢空間右矢空間和左矢空間1.5 右矢和左矢右矢和左矢1. 右矢和左矢右矢和左矢 根據(jù)前面的定義，兩矢量根據(jù)前面的定義，兩矢量 的內(nèi)積的內(nèi)積 是與是與兩矢量的位置有關(guān)的。內(nèi)積對(duì)于右因子兩矢量的位置有關(guān)的。內(nèi)積對(duì)于右因子

28、是線性的。是線性的。,),(即若即若a為復(fù)數(shù)，有為復(fù)數(shù)，有aa),(),(而對(duì)于左因子，而對(duì)于左因子， 是非線性的，即是非線性的，即),(),(*aa可見，一個(gè)矢量作為左因子和右因子地位的不同的。可見，一個(gè)矢量作為左因子和右因子地位的不同的。為方便起見，引進(jìn)狄拉克記號(hào)為方便起見，引進(jìn)狄拉克記號(hào))|),;|,(|(|;),(|2021/8/2382. 右矢空間和左矢空間右矢空間和左矢空間單一空間：單一空間：滿足矢量的加法、數(shù)乘和內(nèi)積三種運(yùn)算的空間。滿足矢量的加法、數(shù)乘和內(nèi)積三種運(yùn)算的空間。右矢空間：右矢空間： 這些右矢有加法和數(shù)乘的運(yùn)算，其定義和規(guī)則這些右矢有加法和數(shù)乘的運(yùn)算，其定義和規(guī)則與單一

29、空間相同，服從下列八個(gè)條件：與單一空間相同，服從下列八個(gè)條件： 每一矢量都與單一空間里的矢量相對(duì)應(yīng)。與單一每一矢量都與單一空間里的矢量相對(duì)應(yīng)。與單一空間中空間中 對(duì)應(yīng)的矢量是右矢對(duì)應(yīng)的矢量是右矢 。,| ,| ,|條件（條件（1）交換律）交換律|條件（條件（2）結(jié)合律）結(jié)合律|)|(|)|(|2021/8/239 滿足上述定義和條件的矢量構(gòu)成的空間叫右矢滿足上述定義和條件的矢量構(gòu)成的空間叫右矢空間?？臻g。條件（條件（3）零矢量）零矢量|0|條件（條件（4）逆元）逆元0|條件（條件（5）數(shù)乘單位元）數(shù)乘單位元|1|條件（條件（6）數(shù)乘結(jié)合律）數(shù)乘結(jié)合律)(|)(|abba條件（條件（7）數(shù)乘分配

30、律）數(shù)乘分配律1baba|)(|條件（條件（8）數(shù)乘分配律）數(shù)乘分配律2aaa|)|(|2021/8/240左矢空間：可以比照右矢空間來建立。對(duì)于右矢空中的每可以比照右矢空間來建立。對(duì)于右矢空中的每一個(gè)右矢一個(gè)右矢 ，在左矢空間中就有一個(gè)相應(yīng)的，在左矢空間中就有一個(gè)相應(yīng)的左矢左矢 , ,與零右矢與零右矢 對(duì)應(yīng)左矢是零左矢對(duì)應(yīng)左矢是零左矢 。|0|0 在右矢空間中，右矢空間關(guān)系與單一空間中在右矢空間中，右矢空間關(guān)系與單一空間中一樣。比如一樣。比如|a 但在左矢空間中的相應(yīng)關(guān)系，目前尚不知道。但在左矢空間中的相應(yīng)關(guān)系，目前尚不知道。只知道左矢空間中的運(yùn)算服從上述寫成左矢形式只知道左矢空間中的運(yùn)算服

31、從上述寫成左矢形式的八個(gè)條件。的八個(gè)條件。|a2021/8/241二二. 內(nèi)積與數(shù)乘內(nèi)積與數(shù)乘 我們規(guī)定，一個(gè)左矢我們規(guī)定，一個(gè)左矢 和一個(gè)右矢和一個(gè)右矢 的內(nèi)的內(nèi)積積 是一個(gè)復(fù)數(shù)，并等于單一空間中是一個(gè)復(fù)數(shù)，并等于單一空間中 的內(nèi)積的內(nèi)積|,c),(|1. 內(nèi)積運(yùn)算應(yīng)滿足的條件內(nèi)積運(yùn)算應(yīng)滿足的條件條件（條件（9 9）*|條件（條件（1010）|)|(|)|(|2021/8/242 我們看到，在新建立的兩個(gè)矢量空間中，左我們看到，在新建立的兩個(gè)矢量空間中，左矢空間中的事情不能隨意去規(guī)定，需要同右矢空矢空間中的事情不能隨意去規(guī)定，需要同右矢空間的事情相互協(xié)調(diào)。而上述四個(gè)條件就是溝通的間的事情相互

32、協(xié)調(diào)。而上述四個(gè)條件就是溝通的橋梁。橋梁。條件（條件（1212）對(duì)任意對(duì)任意 成立；成立；0|若若 ，則必有，則必有0| 0|0|和和另外，右矢另外，右矢 和右矢和右矢 的內(nèi)積也寫為的內(nèi)積也寫為|條件（條件（1111）|)(|)(|aaaa2021/8/2432. 有關(guān)左右矢空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有關(guān)左右矢空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1) 幾個(gè)基本關(guān)系幾個(gè)基本關(guān)系1) 設(shè)右矢設(shè)右矢 與任意左矢與任意左矢 的內(nèi)積都是零，則的內(nèi)積都是零，則| 0|證證因?yàn)橐驗(yàn)?為任意左矢，故可取為任意左矢，故可取|由題目所給條件，有由題目所給條件，有0|所以根據(jù)條件（所以根據(jù)條件（12），有），有 0|2021/8/2443) 若若 對(duì)任意對(duì)任意 成立，則成立，則|證證因?yàn)橐驗(yàn)?對(duì)任意對(duì)任意 都成立，即都成立，即|0|)|(對(duì)任意對(duì)任意