10.1.2事件的關系和運算

1、10.1.2事件的關系和運算課標要求素養(yǎng)要求了解隨機事件的并、交與互斥的含義， 會進行簡單的隨機事件的運算.通過相關概念的學習及對簡單隨機事件 的運算，發(fā)展數(shù)學抽象與數(shù)學運算素養(yǎng).課前預習知識捶亮教材知識探究情境引入在擲骰子試驗中，定義如下事件：Ci=出現(xiàn)1點; C2=出現(xiàn)2點; C3=出現(xiàn) 3點; C4 = 出現(xiàn)4點; C5= 出現(xiàn)5點; C6 = 出現(xiàn)6點; D1 = 出現(xiàn)的點數(shù) 不大于1; D2=出現(xiàn)的點數(shù)不大于3; D3=出現(xiàn)的點數(shù)不大于5; E=出現(xiàn) 的點數(shù)小于5, F = 出現(xiàn)的點數(shù)大于4, G = 出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù), H = 出現(xiàn)的 點數(shù)為奇數(shù).問題 在上述事件中，（1）事件C1

2、與事件C2的并事件是什么？ （2）事件D2與事件G 及事件C2問有什么關系？ （3）事件C1與事件C2問有什么關系？ （4）事件E與事件F 問有什么關系？提示 （1）CUC2= 出現(xiàn)1點或2點; （2）D2AG=C2； （3）事件C1與事件C2互斥; （4）事件E與事件F對立.上新知梳理1.事件的運算定義表示法圖示井事件A與B的并事件有二層意 思：事件A發(fā)生事件B 不發(fā)生；事件A不發(fā)生 事件B發(fā)生；事件A和 事件B同時發(fā)生事件A匕事件B至少有 一個發(fā)生、稱這個事件 為事件A匕事件B的并 事件（或和事件）AUB （或 A+B）父事件事件A匕事件B同時發(fā)AAB （或 AB）生，稱這八個事件為事件A

3、與事件B的交事 件（或積事件）2.事件的夫港對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件定義表示法圖示包含關系若事件A發(fā)生，事件B f發(fā)生, 稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）B? A（或 A? B）互斥事件如果事件A匕事件B不能同時發(fā) 生,稱事件A與事件B互斥（或立/、 相容）若AAB=,則A與B互斥對立事件如果事件A和事件B在任何一次試驗中肩且僅有一個發(fā)生，稱事件 A與事件B互為對立，事件A的對立一事件記為A若AAB=,且AUB= Q,則 A 與 B對立3.事件關系或運算的含義事件關系或運算含義符號表小包含A發(fā)生導致B發(fā)生A? B并事件（和事件）A與B至少一個發(fā)生AUB 或 A

4、+B交事件（積事件）A與B同時發(fā)生AAB 或 AB互斥（互不相容）A與B不能同時發(fā)生An b=?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生AAB=, AUB= Q教材拓展補遺微判斷從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球，判斷下列事件哪些是互斥而不 對立的兩事件.（1） “至少有1個黑球”和“都是黑球”.（X）（2） “至少有1個黑球”和“至少有1個紅球” .（X）（3） “恰有1個黑球”和“恰有2個紅球”.（，）“至少有1個黑球”和“都是紅球 （X）提示（1）（2）中兩事件能同時發(fā)生，（4）中兩事件既互斥又對立.微訓練1 .同時拋擲兩枚硬幣，向上都是正面為事件 M,向上至少有一枚是正面為事件 N, 則

5、有（）A.M? NB.M? NC.M = ND.MAN =答案 A2 .如果事件A, B互斥，那么（）A.AUB是必然事件 B.AUB是必然事件 C.A與B一定互斥 D.A與B 一定不互斥解析 A, B互斥，不一定是對立事件，故 A不正確；當A, B不是對立事件時，- - - -A與B不互斥，故C不正確；當A, B是對立事件時，A與B也是對立事件，當然也 是互斥事件，故D也不正確.另外，用集合表示方法中的“Venn圖”來解決此題 比較直觀.如圖所示，AUB是必然事件，故選B.答案 B3.袋內紅、白、黑球分別為3個、2個、1個，從中任取2個，則互斥而不對立的 兩個事件是（）A.至少有一個白球；紅

6、、黑球各 1個B.至少有一個白球；至少有一個紅球C.恰有一個白球；一個白球一個黑球D.至少有一個白球；都是白球解析至少有一個白球與紅、黑球各1個是互斥事件但不是對立事件.答案 A微思考1 .一粒骰子擲一次，記事件 A=出現(xiàn)點數(shù)大于4,事件B = 出現(xiàn)的點數(shù)為5, 則事件B發(fā)生時，事件A一定發(fā)生嗎？提示 因為54,故B發(fā)生時A 一定發(fā)生.2 .在擲骰子的試驗中，事件A=出現(xiàn)的點數(shù)為1,事件B= 出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù), A與B應有怎樣的關系？提示因為1為奇數(shù)，所以A?B.3 .判斷兩個事件是對立事件的條件是什么？提示看是否是互斥事件，看兩個事件是否必有一個發(fā)生.若滿足這兩個條 件，則是對立事件；否則不

7、是.課堂互動I IHi I.li III： UMI題型一事件關系的判斷解決此類問題要緊緊抓住互斥與對立事件的定義來判斷，或利用集合的觀點，結 合圖形解題【例11 從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從 110各4張)中， 任取一張.(1) “抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2) “抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3) “抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于 9” .判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.解(1)是互斥事件，不是對立事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能 同時發(fā)生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中

8、必有一個發(fā)生，這是由于還可 能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件.(2)既是互斥事件，又是對立事件.理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”， 兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是 對立事件.(3)不是互斥事件，當然不可能是對立事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出 的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得牌點數(shù)為 10,因此，二者不 是互斥事件，當然不可能是對立事件.規(guī)律方法 互斥事件、對立事件的判定方法（1）利用基本概念互斥事件不可能同時發(fā)生；對立事件首先是互斥事件，

9、且必須有一個要發(fā)生.利用集合的觀點來判斷設事件A與B所含的結果組成的集合分別是 A, B.事件A與B互斥，即集合AAB=?;事件A與B對立，即集合AAB=?,且AUB=Q,即A= ?出或B = ?qA.【訓練11 從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中取出3件產(chǎn)品，設A=3件產(chǎn)品 全不是次品, B=3件產(chǎn)品全是次品, C = 3件產(chǎn)品不全是次品,則下列結論 正確的是（填寫序號）.A與B互斥；B與C互斥；A與C互斥；A與B對立；B與C對立. 解析 A=3件產(chǎn)品全不是次品，指的是3件產(chǎn)品全是正品，B=3件產(chǎn)品全是 次品, C=3件產(chǎn)品不全是次品,它包括1件次品2件正品，2件次品1件正 品，3件全是正品3

10、個事件，由此知：A與B是互斥事件，但不對立；A與C是 包含關系，不是互斥事件，更不是對立事件；B與C是互斥事件，也是對立事件. 所以正確結論的序號為.答案題型二事件的運算事件運算的常見類型：A發(fā)生或B發(fā)生；A發(fā)生且B發(fā)生【例2】 盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設事件A=3個 球中有1個紅球2個白球,事件B = 3個球中有2個紅球1個白球,事件C = 3個球中至少有1個紅球,事件D = 3個球中既有紅球又有白球.求：（1）事件D與A, B是什么樣的運算關系？（2）事件C與A的交事件是什么事件？解 對于事件D,可能的結果為：1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球， 故 D = AU

11、B.對于事件C,可能的結果為1個紅球，2個白球或2個紅球，1個白球或3個 均為紅球，故CAA = A規(guī)律方法 事件間的運算方法(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結果， 分析并利 用這些結果進行事件間的運算.利用Venn圖.借助集合問運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的 結果，把這些結果在圖中列出，進行運算.【訓練2】 在例2中，設事件E = 3個紅球,事件F = 3個球中至少有一個白 球,那么事件C與B, E是什么運算關系？ C與F的交事件是什么？解 由事件C包括的可能結果有1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個紅 球三種情況，故B?C, E?C,而事件

12、F包括的可能結果有1個白球2個紅球，2 個白球1個紅球，3個白球，所以CAF = 1個紅球2個白球，2個紅球1個白球 =D.題型三 事件運算的綜合問題在求某些復雜事件的概率時，可將其分解成一些較易求的彼此互斥的事件，化整 為零，化難為易【例3】 在投擲骰子試驗中，根據(jù)向上的點數(shù)可以定義許多事件，如： A= 出 現(xiàn)1點, B = 出現(xiàn)3點或4點, C = 出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù), D = 出現(xiàn)的點數(shù)是 偶數(shù).說明以上4個事件的關系；(2)求兩兩運算的結果.解 在投擲骰子的試驗中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點數(shù)有 6種樣本點，記作Ai = 出現(xiàn) 的點數(shù)為 i(其中 i = 1, 2,，6)則 A=A1, B=A3U

13、A4, C = A1UA3UA5, D = A2U A4UA6.(1)事件A與事件B互斥，但不對立，事件 A包含于事件C,事件A與D互斥， 但不對立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件 C與 D是互斥事件，也是對立事件.(2)An B=?, AAC = A, AAD = ?, CAD = ?.AUB = AU A3UA4 = 出現(xiàn)點數(shù) 1 或 3 或 4,AUC = C=出現(xiàn)點數(shù)1或3或5,AUD = A1UA2U A4UA6=出現(xiàn)點數(shù) 1 或 2 或 4 或 6,BUC = 出現(xiàn)點數(shù)1或3或4或5, BUD = 出現(xiàn)點數(shù)2或3或4或6,CUD = 出現(xiàn)點數(shù)1或2或3或4或

14、5或6,BAC = A3 = 出現(xiàn)點數(shù)3,BAD = A4 = 出現(xiàn)點數(shù)4.規(guī)律方法事件運算應注意的兩個問題(1)進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試 驗可能出現(xiàn)的全部結果，必要時可利用 Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析. 在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間關系時，可以根據(jù)常識來判斷.但如果遇到比較復雜的題目，就得嚴格按照事件之間關系的定義來推理.【訓練3】 對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設事件A=兩 彈都擊中飛機,事件B = 兩彈都沒擊中飛機,事件C = 恰有一彈擊中飛機, 事件D = 至少有一彈擊中飛機,下列關系不正確的是()A

15、.A?DB.BAD =C.AUC=DD.AUB=BUD解析 “恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊 中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都 擊中，.AUBWBUD.答案 D全面提升核心素養(yǎng)一、素養(yǎng)落地1 .通過學習隨機事件的交、并和互斥的含義，提升數(shù)學抽象素養(yǎng).通過進行簡單的隨機事件的運算，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).2 .互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián) 系.在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不可能 兩個都發(fā)生；而兩個對立事件必有一個發(fā)生，但是不可能兩個事件同時發(fā)生，也 不可能兩個事

16、件都不發(fā)生.所以兩個事件互斥，它們未必對立；反之兩個事件對立， 它們一定互斥.二、素養(yǎng)訓練1.擲一枚骰子，設事件 A=出現(xiàn)的點數(shù)不大于3, B=出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù),則事件A與事件B的關系是（）A.A? BB.AAB = 出現(xiàn)的點數(shù)為2C.事件A與B互斥D.事件A與B是對立事件解析 由題意事件A表示出現(xiàn)的點數(shù)是1或2或3;事件B表示出現(xiàn)的點數(shù)是2 或4或6.故AH B = 出現(xiàn)的點數(shù)為2.答案 B2 .某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （）A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.兩次都不中靶D.只有一次中靶解析 由于事件“至少有一次中靶”和“兩次都不中靶”的交事件是不可能

17、事 件，所以它們互為互斥事件.答案 C3 .有一個游戲，具規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、 北四個方向前進，每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是（） A.互斥但非對立事件B.對立事件C.相互獨立事件D.以上都不對解析 由于每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時發(fā)生，但 能同時不發(fā)生，故是互斥事件，但不是對立事件 .答案 A4 .抽查10件產(chǎn)品，設事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為（）A.至多有2件次品B.至多有1件次品C.至多有2件正品D.至少有2件正品解析 “至少有2件次品”的對立事件為“至多有1件次品”.答案 B課后作業(yè)I鞏固提高！

18、 ll基礎達標、選擇題1 .抽查10件產(chǎn)品，設事件A:至少有兩件次品，則與事件 A互斥的事件為（）A.恰有兩件次品B.恰有一件次品C.恰有兩件正品D.至少有兩件正品解析 事件“恰有一件次品”與事件A不會同時發(fā)生，故選B.答案 B2 .給出事件A與B的關系示意圖，如圖所示，則（）I 0 IA.A? BB.A? BC.A與B互斥D.A與B互為對立事件解析由互斥事件的定義知C正確.答案 C3 .一箱產(chǎn)品有正品4件、次品3件，從中任取2件，有如下事件：“恰有1件次品”和“ 2件都是次品”；“至少有1件次品”和“都是次品”；“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互

19、斥事件有（）A.1組B.2組C.3組D.4組解析 對于，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，與“2件都是次 品”顯然是互斥事件；對于，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都 是次品”可能同時發(fā)生，因此這兩個事件不是互斥事件；對于，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，與“至 少有1件次品”可能同時發(fā)生，因此這兩個事件不是互斥事件；對于“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都 是正品”顯然是互斥事件，故是互斥事件.答案 B4 .從1, 2,，9中任取兩數(shù)，其中：恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；至少 有一個奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)

20、；至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù).則在上述事件中是對立事件的是()A.B.C.D.解析 從1, 2,，9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個奇數(shù)；(2)兩個偶數(shù)；(3)一個奇數(shù)和一個偶數(shù).至少有一個奇數(shù)是(1)和 (3)，其對立事件顯然是(2).故選C.答案 C5 .把電影院的4 張電影票隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4 人，每人分得1 張，事件“甲分得 4 排 1 號”與事件“乙分得 4 排 1 號”是 ()A.對立事件B.不可能事件C.互斥事件D.以上答案都不對解析 “ 甲分得 4 排 1 號 ” 與 “ 乙分得 4 排 1 號 ” 是互斥事件.答案 C二、填空

21、題6 .打靶3次，事件Ai表示“擊中i次，其中i = 0, 1, 2, 3.那么A=AiUA2U A3表示 .解析A1UA2UA3所表示的含義是A1、A2、A3這三個事件中至少有一個發(fā)生，即可能擊中1 次、 2 次或 3 次 .答案 至少有一次擊中7 .拋擲一枚骰子，記事件A 為“落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件 B 為“落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)”， 事件 C 為“落地時向上的點數(shù)是 2 的倍數(shù)”， 事件 D 為“落地時向上的點數(shù)是2 或4”，則上述事件是互斥事件但不是對立事件的兩個事件是 .解析 A與D互斥但不對立.答案 A與D8 .某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對

22、事件中是互斥事件的有(填序號).恰有 1 名男生和全是男生；至少有一名男生和至少有一名女生；至少有一名男生和全是男生；至少有一名男生和全是女生.解析 是互斥事件，恰有一名男生的實質是選出的兩名同學中有一名男生和一名女生，它與全是男生不可能同時發(fā)生；不是互斥事件；不是互斥事件；是互斥事件，至少有一名男生與全是女生不可能同時發(fā)生.答案 三、解答題9.某城市有甲，乙兩種報紙供居民訂閱，記事件 A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”， 事件 C 為“至多訂一種報紙”， 事件 D 為“一種報紙也不訂” . 判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件.(1)A與 C；(2)B

23、 與 D；(3)B 與 C；(4)C 與 D.解 事件 A 為 “ 只訂甲報紙” ；事件B“ 至少訂一種報紙” 包括 “ 只訂甲報紙” ，“ 只訂乙報紙” 和 “ 訂甲乙兩種報紙” ；事件C“ 至多訂一種報紙” 包括 “ 一種報紙也不訂” ， “ 只訂甲報紙” 和 “ 只訂乙報紙” ；事件 D 為 “ 一種報紙也不訂 ”.(1)事件C包含事件A,所以不是互斥事件；(2)B 與 D 既是互斥事件，也是對立事件；(3)事件B 和事件C 可以同時發(fā)生，所以不是互斥事件；(4)事件C包含事件D ,所以不是互斥事件.10 .設某人向一個目標射擊3次，用事件Ai表示隨機事件“第i次射擊擊中目標” (i =

24、1, 2, 3),指出下列事件的含義： Ai AA2； AS A2nA3；AiUA2;Ai nA2nA3.解(1)Ai n A2表示第1次和第2次射擊都擊中目標.(2)AiAA2nA3表示第1次和第2次射擊都擊中目標，而第3次沒有擊中目標. AiUA2表示第1次和第2次都沒擊中目標. Ai A A2nA3表示三次都沒擊中目標. 能力提升11 .同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是 5 點且不是6 點”的對立事件為 ()A.一個是5點，另一個是6點B.一個是5點，另一個是4點C.至少有一個是5點或6點D.至多有一個是5點或6點解析 同時擲甲、乙兩枚骰子，可能出現(xiàn)的結果共有36 個， “ 都不是

25、5 點且不是6 點 ” 包含 16 個，其對立事件是“ 至少有一個是5 點或 6 點 ”.答案 C12連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次出現(xiàn)的點數(shù)，事件A表示隨機事件“第一次擲出1 點”，事件Aj 表示隨機事件“第一次擲出 1 點，第二次擲出j 點”，事件 B 表示隨機事件“2 次擲出的點數(shù)之和為6”，事件C 表示隨機事件“第二次擲出的點數(shù)比第一次的大3”.(1)試用樣本點表示事件AAB與AU B;(2)試判斷事件A與B, A與C, B與C是否為互斥事件；(3)試用事件Aj表小隨機事件A.解試驗的樣本空間為 Q=(1 , 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),

26、 (1, 6), (2,1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6， 6).(1)因為事件A表示隨機事件“第一次擲出1點”，所以滿足條件的樣本點有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),即人=(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)， (1， 5)， (1， 6)，因為事件B 表示隨機事件“ 2次擲出的點數(shù)之和為6” ，所以滿足條件的樣本點有(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),即 B = (1 , 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).所以