位移法習題課+(1)

1、位移法：以結(jié)點的位移法：以結(jié)點的關鍵位移關鍵位移為基本未知量，將原結(jié)為基本未知量，將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為構(gòu)轉(zhuǎn)化為三類基本結(jié)構(gòu)三類基本結(jié)構(gòu)和靜定部分，根據(jù)結(jié)點和截和靜定部分，根據(jù)結(jié)點和截面的平衡條件建立面的平衡條件建立位移法方程位移法方程?；疚粗炕疚粗?）結(jié)點角位移；）結(jié)點角位移；2）結(jié)點線位移；）結(jié)點線位移；基本假定基本假定1）忽略受彎桿件的軸向、剪切變形；）忽略受彎桿件的軸向、剪切變形；2）彎曲變形是微小的，桿彎曲后兩端距離不變）彎曲變形是微小的，桿彎曲后兩端距離不變基本未知量基本未知量1）結(jié)點角位移）結(jié)點角位移-剛結(jié)點的轉(zhuǎn)角剛結(jié)點的轉(zhuǎn)角2）結(jié)點線位移）結(jié)點線位移-結(jié)點可能發(fā)生的線位移結(jié)點可

2、能發(fā)生的線位移基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu) 先鎖、后松。先鎖、后松。鎖住鎖住將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成基本結(jié)構(gòu)。把原結(jié)構(gòu)的將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成基本結(jié)構(gòu)。把原結(jié)構(gòu)的 整整 體變形體變形“拆成拆成”孤立的桿件變形；孤立的桿件變形；放松放松將基本結(jié)構(gòu)還原成原結(jié)構(gòu)。使附加約束不將基本結(jié)構(gòu)還原成原結(jié)構(gòu)。使附加約束不 起用，也就是讓各桿件綜合在一起時同起用，也就是讓各桿件綜合在一起時同 體系一樣能夠滿足平衡條件。體系一樣能夠滿足平衡條件。圖圖8-1 、 圖圖8-1圖圖8-2結(jié)論：結(jié)論：剛架有六個位移法基本未知量剛架有六個位移法基本未知量思考：思考：若若BD桿高于變截面處，情況如何？桿高于變截面處，情況如何？2 高跨為階梯形柱高跨為階梯

3、形柱 影響影響 柱截面突變處有角位移柱截面突變處有角位移 、線位移未知量線位移未知量問題特點：問題特點：1 橫梁橫梁EH彎曲剛度彎曲剛度EI= 影響影響 結(jié)點結(jié)點E 、H轉(zhuǎn)角為零轉(zhuǎn)角為零多兩個未知量多兩個未知量一般結(jié)點可有兩個獨立位移一般結(jié)點可有兩個獨立位移支座結(jié)點只有未被約束的位移支座結(jié)點只有未被約束的位移未知量數(shù)未知量數(shù)=2結(jié)點總數(shù)支座鏈桿數(shù)結(jié)點總數(shù)支座鏈桿數(shù)注意:若有靜定部分,則應排除在外結(jié)論:該珩架位移法有六個位移量桁架位移法未知量桁架位移法未知量圖圖8-3例例1:1:試確定圖試確定圖8-48-4（a a）剛架的位移法基本未知量）剛架的位移法基本未知量圖圖8-4問題問題:1.有幾個獨立

4、線位移有幾個獨立線位移?兩個兩個,中間鉸可有豎向位移中間鉸可有豎向位移不求出豎向位移內(nèi)力無法求不求出豎向位移內(nèi)力無法求2.支座處桿端轉(zhuǎn)角支座處桿端轉(zhuǎn)角是否作為未知量是否作為未知量?不必作為未知量不必作為未知量所有桿件已成為三類桿件所有桿件已成為三類桿件剛架的位移法基本未知量共四個剛架的位移法基本未知量共四個,基本結(jié)構(gòu)如圖基本結(jié)構(gòu)如圖(b)結(jié)論結(jié)論:1 1、研究目的、研究目的 供位移法利用其結(jié)果，為位移法解超靜定問題作供位移法利用其結(jié)果，為位移法解超靜定問題作 準備工作。準備工作。2 2、名詞及符號規(guī)則、名詞及符號規(guī)則 1 1）幾種單跨超靜定梁）幾種單跨超靜定梁 按桿端支承形式分成三類：按桿端支

5、承形式分成三類：（1 1）兩端固支梁（圖）兩端固支梁（圖a a）；）；（2 2）一端固支、另端鉸支梁（圖）一端固支、另端鉸支梁（圖b b）；）；（3 3）一端固支、另端滑動支承梁（圖）一端固支、另端滑動支承梁（圖c c）圖圖8-58-5（a a）（c c）（b b）3 3）桿端彎矩）桿端彎矩由端點位移引起的彎矩。由端點位移引起的彎矩。 以以M MABAB、M MBABA表示。符號規(guī)則：表示。符號規(guī)則： 對桿端，以順時針轉(zhuǎn)向為對桿端，以順時針轉(zhuǎn)向為“+”+”；以逆時針轉(zhuǎn)向；以逆時針轉(zhuǎn)向 為為“”。EIil4 4）固端彎矩）固端彎矩僅由梁上載荷僅由梁上載荷 引起的桿端彎矩。引起的桿端彎矩。 以以

6、、 表示。表示。 符號規(guī)則：同桿端彎矩。符號規(guī)則：同桿端彎矩。FABMFBAMMABMAB由迭加原理，由迭加原理， 得總的桿端彎矩：得總的桿端彎矩：426,:426FABABABABFABBABABAMiiiMlMiiiMl同理 得近角近角遠角遠角 側(cè)移側(cè)移 固端彎矩固端彎矩桿端彎矩的一般公式桿端彎矩的一般公式（習慣上稱為兩端固支單跨（習慣上稱為兩端固支單跨梁的轉(zhuǎn)角位移方程）。梁的轉(zhuǎn)角位移方程）。“近近4 4遠遠2 2側(cè)負側(cè)負6 6，固端彎矩不能丟。，固端彎矩不能丟。”方程的記憶的口訣：方程的記憶的口訣：A AiEI lB BBBABAqFPB（3 3）桿端剪力的桿端剪力的一般公式由迭加一般公

7、式由迭加原理，同樣可得：原理，同樣可得：2266126612FQABABABQABFQBAABABQBAiiiFFllliiiFFlll 264 2 6i2 4i - l-6i6i12i - lllFABABAFBABBAFQABABQABiMMii-lMiMFF為緊湊起見，可把桿端彎矩、桿端剪力寫成矩陣形式：為緊湊起見，可把桿端彎矩、桿端剪力寫成矩陣形式：亦稱為彎曲亦稱為彎曲桿件的剛度方程桿件的剛度方程方程記憶口訣：方程記憶口訣：“近角近角3 3，側(cè)負，側(cè)負3 3，還要加固彎。，還要加固彎?！弊ⅲ鹤ⅲ阂欢斯讨А⒁欢算q支單跨梁的轉(zhuǎn)角位移方程也一端固支、一端鉸支單跨梁的轉(zhuǎn)角位移方程也可由兩端固支

8、轉(zhuǎn)角位移方程推出，即：可由兩端固支轉(zhuǎn)角位移方程推出，即：3-3FABABAABMiiMlQB0, (),33BAQBABFABABAABMFMMiiMl令解出F非獨立參數(shù) 然后代入則得一端固支、一端鉸支一端固支、一端鉸支單跨梁的轉(zhuǎn)角位移方程。單跨梁的轉(zhuǎn)角位移方程。A AqFPiEI lB BBBABA圖圖8-19 圖圖8-68-6所示梁同時受到所示梁同時受到A A 、荷載荷載共同作用，其轉(zhuǎn)共同作用，其轉(zhuǎn)角位移方程（桿端彎矩計算公式）可由兩端固支梁的角位移方程（桿端彎矩計算公式）可由兩端固支梁的桿端剪力計算公式推出。桿端剪力計算公式推出。FABAABFBAABAMiMMiM 再代入兩端固支梁的再

9、代入兩端固支梁的轉(zhuǎn)角位移方程，得：轉(zhuǎn)角位移方程，得：A AqFPiEI lB BBBAMAB圖圖8-6MBA- 不是獨立的參數(shù)不是獨立的參數(shù)位移法原理位移法原理方法一：方法一：例例2圖圖8-7直接利用轉(zhuǎn)角位移方程直接利用轉(zhuǎn)角位移方程外荷載和全部關鍵位移同時發(fā)生外荷載和全部關鍵位移同時發(fā)生利用轉(zhuǎn)角位移方程寫利用轉(zhuǎn)角位移方程寫出桿端彎矩剪力出桿端彎矩剪力位移法方程位移法方程結(jié)點彎矩平衡結(jié)點彎矩平衡截面內(nèi)外力平衡截面內(nèi)外力平衡問題：問題：1。位移法方程的物理意義？。位移法方程的物理意義？平衡方程平衡方程2，變形協(xié)調(diào)條件何處體現(xiàn)，變形協(xié)調(diào)條件何處體現(xiàn)設定關鍵位移時已體現(xiàn)設定關鍵位移時已體現(xiàn)方法二：方法

10、二：圖圖8-7剛架剛架位移法方程位移法方程問題問題:求出全部系數(shù)和自由項求出全部系數(shù)和自由項意義意義:在實際荷載和關在實際荷載和關鍵位移作用下，各附鍵位移作用下，各附加約束力之和為零加約束力之和為零系數(shù)項物理意義系數(shù)項物理意義外荷載產(chǎn)生的各附加約束反力外荷載產(chǎn)生的各附加約束反力R1P、 R2P 、 R3P注意：實際結(jié)構(gòu)無附注意：實際結(jié)構(gòu)無附 加約束存在加約束存在r11r21r31Z1=1產(chǎn)生的各附加約束反力產(chǎn)生的各附加約束反力Z2=1產(chǎn)生的各附加約束反力產(chǎn)生的各附加約束反力Z3=1產(chǎn)生的各附加約束反力產(chǎn)生的各附加約束反力r12r22r32r13r23r33自由項物理意義自由項物理意義r11Z1

11、+r12Z2+r13Z3+FR1P=0r21Z1+r22Z2+r23Z3+FR2P=0r31Z1+r32Z2+r33Z3+FR3P=0r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1P=0r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2P=0r31Z1+r32Z2+r33Z3+R3P=0注意：附加約束力與關鍵位移方向一致為正注意：附加約束力與關鍵位移方向一致為正由橫梁由橫梁X=0得得r31= -6i/l=r13由由Mc=0得得r11=4i+8i=12i由由MD=0得得r21=4i=r12注意：附加約束力與關鍵位移方向一致為正注意：附加約束力與關鍵位移方向一致為正由橫梁由橫梁X=0 得得r32=-(4i +2i

12、) / l=- 6i/l=r23有結(jié)點有結(jié)點C Mc=0得得r12=4i=r21有結(jié)點有結(jié)點DMD=0得得r22=4i+8i=12i注意：附加約束力與關鍵位移方向一致為正注意：附加約束力與關鍵位移方向一致為正有結(jié)點有結(jié)點C Mc=0得得r13=-6i/l=r31有結(jié)有結(jié)DMD=0得得r23=r32=-6i/l由橫梁由橫梁X=0得得r33=2(6i+6i)/l=24i /l注意：附加約束力與關鍵位移方向一致為正注意：附加約束力與關鍵位移方向一致為正有結(jié)點有結(jié)點C Mc=0得得R1p=-ql2/12有結(jié)點有結(jié)點DMD=0得得R2p=ql2/12由橫梁由橫梁X=0得得R3p=-FP系數(shù)項：系數(shù)項：帶

13、入位移法典型方程，帶入位移法典型方程，求得求得Z1 Z 2和和Z3自由項：自由項：R1p=-ql2/12R2p=ql2/12R3p=-FPr11=12i r22=12i r33=24i /l2r12=r21=4i r13=r31=-6i/l r23=r32=-6i/l12iZ1+4iZ2-6iZ3-ql2/12=04iZ1+12iZ2-6iZ3+ql2/12=0-6iZ1-6iZ2+24i/l2Z3-FP=0不同結(jié)構(gòu)相同不同結(jié)構(gòu)相同的方程形式的方程形式（8-4）方程物理意義方程物理意義Rij自由項自由項-外荷載產(chǎn)生的相應外荷載產(chǎn)生的相應Zi的附加約束反力的附加約束反力可正可負可正可負可為零可為

14、零rij主系數(shù)主系數(shù)Zj1產(chǎn)生相應在產(chǎn)生相應在Zi的附加約束反力的附加約束反力可正可負可正可負可為零可為零有反力互等定理有反力互等定理rij=rjirii主系數(shù)主系數(shù)Zi1產(chǎn)生相應在產(chǎn)生相應在Zi的附加約束反力的附加約束反力恒正恒正在實際荷載和關鍵位移作用下，各附加約束力之在實際荷載和關鍵位移作用下，各附加約束力之和為零。和為零。系數(shù)物理意義系數(shù)物理意義r11Z1+r12Z2+r1nZn+R1P=0r21Z1+r22Z2+r2nZn+R2P=0r31Z1+r32Z2+rnnZn+RnP=0 典型方程也可以寫成矩陣形式典型方程也可以寫成矩陣形式 rZ+RP=0r稱為剛度矩陣，稱為剛度矩陣，Z成為

15、未知位移向量，成為未知位移向量，Rp為載荷引起的附加約為載荷引起的附加約 束力向量束力向量位移法方程是一個線性代數(shù)方程求解這一方程位移法方程是一個線性代數(shù)方程求解這一方程足可以得到全部基本未知量足可以得到全部基本未知量r11Z1+r12Z2+r1nZn+R1P=0r21Z1+r22Z2+r2nZn+R2P=0r31Z1+r32Z2+rnnZn+RnP=0 最后，桿端彎矩和剪力可以根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程最后，桿端彎矩和剪力可以根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程求算，也可根據(jù)疊加原理用下式計算：求算，也可根據(jù)疊加原理用下式計算： Mi FNi FQi 分別是基本結(jié)構(gòu)由于分別是基本結(jié)構(gòu)由于Zi=1的作用而產(chǎn)的作用而產(chǎn)生的內(nèi)

16、力，生的內(nèi)力，MP、FQP和和FNP則分別是基則分別是基本結(jié)構(gòu)由于荷載作用而產(chǎn)生的內(nèi)力。本結(jié)構(gòu)由于荷載作用而產(chǎn)生的內(nèi)力。M=M1Z1+M2Z2+MnZN+MpFQ=FQ1Z1+FQ2Z2+FQnZn+FNQPFN=FN1Z1+FN2Z2+FNnZn+FNP8-51 1、基本原理、基本原理 先拆、后裝。即：先拆、后裝。即：1 1）化整為零）化整為零逐桿導出桿端彎矩式（有線位移的逐桿導出桿端彎矩式（有線位移的還需導出剪力式）；還需導出剪力式）；2 2）拼零為整）拼零為整匯交于剛結(jié)點的各桿端彎矩應滿足匯交于剛結(jié)點的各桿端彎矩應滿足平衡條件（有線位移的還需取脫離體，建立剪力平平衡條件（有線位移的還需取

17、脫離體，建立剪力平衡條件）。衡條件）。2 2、解題步驟與方法、解題步驟與方法1 1）確定基本未知量）確定基本未知量 定基本未知量數(shù)目，并標在相應結(jié)點處；定基本未知量數(shù)目，并標在相應結(jié)點處；2 2）導出各桿端彎矩和剪力表達式）導出各桿端彎矩和剪力表達式 根據(jù)變形與載荷情況，由轉(zhuǎn)角位移方程，導出根據(jù)變形與載荷情況，由轉(zhuǎn)角位移方程，導出用基本未知量表示的各種桿端彎矩表達式，有線位用基本未知量表示的各種桿端彎矩表達式，有線位移時還需導出剪力表達式；移時還需導出剪力表達式；3 3）建立求解基本未知量的平衡方程）建立求解基本未知量的平衡方程 利用原結(jié)構(gòu)剛結(jié)點的力矩平衡條件和結(jié)構(gòu)中某利用原結(jié)構(gòu)剛結(jié)點的力矩平

18、衡條件和結(jié)構(gòu)中某一部分的平衡條件（通常為橫梁部分的剪力平衡條一部分的平衡條件（通常為橫梁部分的剪力平衡條件）或整體的平衡條件，建立求解基本未知量的方件）或整體的平衡條件，建立求解基本未知量的方程組；程組；4 4）解方程組，求解基本未知量；）解方程組，求解基本未知量；5 5）將所求未知量回代第）將所求未知量回代第2 2步，求得各種桿端內(nèi)力步，求得各種桿端內(nèi)力6 6）作內(nèi)力圖）作內(nèi)力圖MM、F FQ Q圖；圖；7 7）校核）校核 剛結(jié)點是否滿足力矩平衡條件和結(jié)構(gòu)某部剛結(jié)點是否滿足力矩平衡條件和結(jié)構(gòu)某部分分 或整體是否滿足投影平衡條件?；蛘w是否滿足投影平衡條件。4iZ1+8iZ2（b）M圖圖C C

19、DD8iZ1+4iZ2（c）圖）圖4iZ1-6i/lZ3CA2iZ1-6i/lZ34iZ2-6i/lZ32iZ2-6i/lZ3（d d）圖）圖DB拆：將原結(jié)構(gòu)變?yōu)槿悧U件拆：將原結(jié)構(gòu)變?yōu)槿悧U件圖圖8-21桿端力表達式（利用轉(zhuǎn)角位移方程）桿端力表達式（利用轉(zhuǎn)角位移方程）MAC= 2iZ1-6i/lZ3MCA= 4iZ1-6i/lZ3MBD= 2iZ2-6i/lZ3MDB= 4iZ2-6i/lZ3MDC= 8iZ2+4iZ1+ql2/12MCD= 8iZ1+4iZ2-ql2/12FQCA= -6i/lZ1+12i/l2Z2FQDB= -6i/lZ2+12i/l2Z3合：建立位移法方程合：建立位移

20、法方程方程一：方程一：12iZ1+4iZ2-6i/lZ3-ql2/12=0MDC= 8iZ2+4iZ1+ql2/12MDB= 4iZ2-6i/lZ3方程二：方程二： 4iZ1+12iZ2-6i/lZ3+ql2/12=0MCD= 8iZ1+4iZ2-ql2/12MCA= 4iZ1-6i/lZ3取結(jié)點取結(jié)點C為隔離體為隔離體取結(jié)點取結(jié)點D為隔離體為隔離體 MCA+ MCD =0由由Mc=0得得 MDC+ MDB =0由由MD=0得得FQCA= -6i/lZ1+12i/l2Z2FQDB= -6i/lZ2+12i/l2Z3方程三：方程三：6i/lZ1-6i/lZ2+24i/l2Z3-FP=06i/lZ

21、1-6i/lZ2+24i/l2Z3-FP=012iZ1+4iZ2-6i/lZ3-ql2/12=0 4iZ1+12iZ2-6i/lZ3+ql2/12=0取橫梁取橫梁CD為隔離體為隔離體FQCA+FQDB-FP=0由橫梁由橫梁X=0得得位移法方程與典位移法方程與典型方程法所得方型方程法所得方程相同程相同求得求得Z1 Z2 Z3代入轉(zhuǎn)角位移方程即可求得各桿端力代入轉(zhuǎn)角位移方程即可求得各桿端力得位移法方程：得位移法方程：剛架受力分析步驟分析：剛架受力分析步驟分析：(1)確定結(jié)構(gòu)的未知量，即關鍵位移。確定結(jié)構(gòu)的未知量，即關鍵位移。 對于典型方程對于典型方程 法法 還應畫出附加剛臂和鏈桿約束下的基本結(jié)構(gòu)，并將還應畫出附加剛臂和鏈桿約束下的基本結(jié)構(gòu)，并將外荷載作由于基本結(jié)構(gòu)。外荷載作由于基本結(jié)構(gòu)。（2）建立位移法方程。）建立位移法方程。 對于典型方程法，應先分別畫出對于典型方程法，應先分別畫出 各單位彎矩圖和荷載彎矩圖，并求出各系數(shù)和自由項；平各單位彎矩圖和荷載彎矩圖，并求出各系數(shù)和自由項；平衡方程法則應先列出各桿件各桿端彎矩表達式，并根據(jù)截