《結(jié)構(gòu)力學(xué)》-龍馭球-10-動(dòng)力學(xué)(5)解析

1、10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)一、剛度法一、剛度法 （1）兩個(gè)自由度體系）兩個(gè)自由度體系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym 22ym K2K1K2K1y1(t)y2(t)121k11k112k22k0111 Kym 0222 Kym 2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 兩自由度體系自由振動(dòng)微分方程兩自由度體系自由振動(dòng)微分方程0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 設(shè)解為設(shè)解為)sin()()

2、sin()(2211tYtytYty1122( )( )y tYy tY常數(shù)=常數(shù)常數(shù)0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk當(dāng)然當(dāng)然 Y1=Y2=0 為其解，為了求得不全為零的解，令為其解，為了求得不全為零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程特征方程頻率方程頻率方程0)(211222221211kkmkmk1）在振動(dòng)過(guò)程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角；）在振動(dòng)過(guò)程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角；2）在振動(dòng)過(guò)程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間而變化，但其比值始）在振動(dòng)過(guò)程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間而變化，但其比值始終

3、保持不變。終保持不變。振動(dòng)過(guò)程中，結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式，稱(chēng)為主振型。振動(dòng)過(guò)程中，結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式，稱(chēng)為主振型。0)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1）主振型）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2）按主振型振動(dòng)的條件：）按主振型振動(dòng)的條件： 初位移或初速度與此振型相對(duì)應(yīng)；初位移或初速度與此振型相對(duì)應(yīng)；m1m2Y21Y11Y12Y220)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk最小圓頻率稱(chēng)為第一最小圓頻率稱(chēng)為第一(基本

4、基本)圓頻率：圓頻率：,12第二率圓頻第二圓頻率第二圓頻率由此可見(jiàn)：由此可見(jiàn)： 多自由度體系如果按某個(gè)主振型自由振動(dòng)多自由度體系如果按某個(gè)主振型自由振動(dòng)，其振動(dòng)形式保持不變，此時(shí)，其振動(dòng)形式保持不變，此時(shí)，多自由度體系實(shí)際上是像多自由度體系實(shí)際上是像一個(gè)單自由度體系在振動(dòng)一個(gè)單自由度體系在振動(dòng)。實(shí)際上，多自由度體系在零時(shí)刻的實(shí)際上，多自由度體系在零時(shí)刻的 y0 或或 vo 通常不能完全與某一振型相對(duì)應(yīng)。通常不能完全與某一振型相對(duì)應(yīng)。例例7：設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無(wú)限大，層間側(cè)移剛度分別為：設(shè)圖示剛架橫梁剛度為無(wú)限大，層間側(cè)移剛度分別為k1和和 k2 ，試求剛架，試求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振動(dòng)頻率和主

5、振型。水平振動(dòng)時(shí)的自振動(dòng)頻率和主振型。m1m2k1k2解：（解：（1）求頻率方程中的剛度系數(shù)）求頻率方程中的剛度系數(shù)1221kk2111kkk1212kk222kkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3）一般振動(dòng)）一般振動(dòng))sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty兩自由度體系自由振動(dòng)是兩種頻率及其主振型的組合振動(dòng)兩自由度體系自由振動(dòng)是兩種頻率及其主振型的組合振動(dòng)多自由度體系自由多自由度體系自由振動(dòng)的振型分解振動(dòng)的振型分解mkmk61803.238197.02221mkmk61803.161803

6、.021（3）求主振型）求主振型618.1138197.02:121111221111kkkmkkYY618.0161803.22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第第1振型振型第第2振型振型（2）求頻率）求頻率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有kkkmmm212122222114)12(21mknnn（3）求主振型）求主振型221221211211:mkkYY（2）求頻率）求頻率0)(222221221kmkmkk若有若有2121knknmm0)() 1(2

7、2222222kmknmkn4121n222221212222:mkkYY4121n若若 n = 90 則第一振型和第二振型分別為：則第一振型和第二振型分別為：11019可見(jiàn)當(dāng)頂端質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和剛度很小時(shí)，頂端水平側(cè)移很大。可見(jiàn)當(dāng)頂端質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和剛度很小時(shí)，頂端水平側(cè)移很大。 建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，將這種因頂端質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量和剛度突變，而導(dǎo)致頂端巨建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，將這種因頂端質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量和剛度突變，而導(dǎo)致頂端巨大反應(yīng)的現(xiàn)象，稱(chēng)為大反應(yīng)的現(xiàn)象，稱(chēng)為鞭梢效應(yīng)鞭梢效應(yīng)。如：屋頂消防水池、上人屋面設(shè)計(jì)的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。如：屋頂消防水池、上人屋面設(shè)計(jì)的樓電梯間，女兒墻或屋頂建筑物等。二、二、 柔度

8、法柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym 11ym 122211111)()()(tymtymty 222221112)()()(tymtymty 設(shè)解為設(shè)解為)sin()()sin()(2211tYtytYty此時(shí)慣性力此時(shí)慣性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY在自由振動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻在自由振動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻t，質(zhì)量，質(zhì)量m1、m2的位移的位移y1(t)、y2(t)應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時(shí)慣性力作用下的靜應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時(shí)慣性力作用下的靜力位移。

9、力位移。主振型的位移幅值等于主振型主振型的位移幅值等于主振型慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力慣性力幅值作用下產(chǎn)生的靜力位移。位移。m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 當(dāng)然解當(dāng)然解 Y1=Y2=0，為了求得不全為了求得不全為零的解，令為零的解，令01122221212122111mmmmD令令210)()(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY1222

10、2111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：1.1.按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的 速度的比值也為常數(shù)，且與位移速度的比值也為常數(shù)，且與位移 比值相同。比值相同。2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty2.2.發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的. .211121211121) 0() 0(,) 0() 0(YYyyYYyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率是體系本身固有的屬性, , 與外界因素?zé)o關(guān)與外界因素?zé)o關(guān). .4.N4.N自由度體系有自

11、由度體系有N N個(gè)頻率和個(gè)頻率和N N個(gè)振型個(gè)振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得N N個(gè)個(gè) 從小從小到大排列到大排列N21,依次稱(chēng)作第一頻率依次稱(chēng)作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱(chēng)作基本頻率第一頻率稱(chēng)作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiYi得得N N個(gè)振型個(gè)振型 0)(2YmkN N個(gè)振型彼此之間是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的個(gè)振型彼此之間是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的. .5 5。若已知柔度矩陣時(shí)。若已知柔度矩陣時(shí)6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、頻率可列幅值方程. .4 4。N N自由度體系有自由度體系有N N個(gè)頻

12、率和個(gè)頻率和N N個(gè)振型個(gè)振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得 的的N,N,從小從小到大排列到大排列N21,依次稱(chēng)作第一頻率依次稱(chēng)作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱(chēng)作基本頻率第一頻率稱(chēng)作基本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiYi得得N N個(gè)振型個(gè)振型 0)(2YmkN N個(gè)振型是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的個(gè)振型是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的. .振型方程振型方程 0)(2YmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動(dòng)時(shí)按振型振動(dòng)時(shí))sin()sin(2211tYytYy)sin()sin(222211tYytYy )sin()()si

13、n()(22222111tYmtFtYmtFII5 5。若已知柔度矩陣時(shí)。若已知柔度矩陣時(shí)6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、頻率可列幅值方程. .振型方程振型方程 0)(2YmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動(dòng)時(shí)按振型振動(dòng)時(shí))sin()()sin()(2211tYtytYty)sin()()sin()(222211tYtytYty )sin()()sin()(22222111tYmtFtYmtFII11Y22Y121Ym222Ym2222212121222212121111YmYmYYmYmY 0)(2XmI 02mI振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，慣性

14、力幅值作為靜荷載所引起的靜位移慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移0.5a例例9. 試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。已知。12aaamm解：（解：（1）計(jì)算頻率）計(jì)算頻率1a1M12MEIaEIaEIa6,4,322321123113231203. 3967. 0maEImaEI（2）振型）振型61. 31277. 0122122111YYYY10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型3、主振型的正交性、主振型的正交性m1m211121Ym11221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理：由功的互等定理：整理得：整理得

15、：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm21因因 ，則存在：，則存在：02221212111YYmYYm兩個(gè)主振型相互正交，因與質(zhì)量有關(guān)，稱(chēng)為第一正交關(guān)系。兩個(gè)主振型相互正交，因與質(zhì)量有關(guān)，稱(chēng)為第一正交關(guān)系。由功的互等定理：由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分別乘以上式分別乘以12、22，則得：，則得：0)()(0)()(21222221112

16、22122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它主振型上，不會(huì)引起其它主振型的振動(dòng)；其它主振型上，不會(huì)引起其它主振型的振動(dòng)；各個(gè)主振型能單獨(dú)存在，而不相互干擾。各個(gè)主振型能單獨(dú)存在，而不相互干擾。 若結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，質(zhì)量分布也對(duì)稱(chēng)，則該體系的主振型也是對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)的。若結(jié)

17、構(gòu)對(duì)稱(chēng)，質(zhì)量分布也對(duì)稱(chēng)，則該體系的主振型也是對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)的。因此，可以用位移法中處理對(duì)稱(chēng)性的方法，因此，可以用位移法中處理對(duì)稱(chēng)性的方法，取取半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。例例13-5-3 利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化圖示結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)的求解。利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化圖示結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)的求解。5. 利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算 因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)和質(zhì)量分布均對(duì)稱(chēng)，其振型也是對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)的，分別取半邊結(jié)構(gòu)因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)和質(zhì)量分布均對(duì)稱(chēng)，其振型也是對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)的，分別取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算。計(jì)算。解：解：mmmaaaaaaEIEIEI 以求對(duì)稱(chēng)振型為例說(shuō)明以求對(duì)稱(chēng)振型為例說(shuō)明 中系數(shù)中系數(shù)的求解。首先求出半邊結(jié)構(gòu)在集中質(zhì)量上的求解。首先求

18、出半邊結(jié)構(gòu)在集中質(zhì)量上分別作用分別作用有單位集中力產(chǎn)生的彎矩圖。有單位集中力產(chǎn)生的彎矩圖。a) M1圖圖b) M2 圖圖aaa1320a1740aaaa710a310a1求對(duì)稱(chēng)振型求對(duì)稱(chēng)振型求反對(duì)稱(chēng)振型求反對(duì)稱(chēng)振型m2=m/2m1=maaaaaaEIEIEIEIm1=mm2=m/2為了求柔度系數(shù)，可以在另外的靜定基本為了求柔度系數(shù)，可以在另外的靜定基本結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)上加單位力并作彎矩圖。上加單位力并作彎矩圖。 利用該彎矩圖與上頁(yè)的彎矩圖圖乘，很容易求得各柔度系數(shù)。利用該彎矩圖與上頁(yè)的彎矩圖圖乘，很容易求得各柔度系數(shù)。a) c) 圖乘圖乘求求 ，b) d) 圖乘求圖乘求 ，a) d)或或b) c)圖乘

19、求圖乘求 ，進(jìn)而求自振頻率和，進(jìn)而求自振頻率和主振型。主振型。11221221c)圖圖1M圖圖2Md)aaa2a1aaa1a例例13-5-2 求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。m2=2maaam1=mEIEI解：解：aaaEIEI1a1M 圖aaaEIEI1a /22M 圖1) 作作 、 如右圖示，如右圖示，圖乘求系數(shù)。圖乘求系數(shù)。1M2M11333112(23122)2312()33aaaEIaaaaaEIaEI 322212()22326aaaaEIEI 312211 1(2)2224aaaaEIEI3331112224263aaa mmmmmEIEIEI322112212211233222114()4 () (1) 2616558()()486am mmEIaa mmEIEI 2) 求自振頻率求自振頻率12330.93152.3518EIEIa ma m33111212(2 )4aammmmEIEI31112233211112120.51410.15260.30521.1526amYmEIaa mYmmEIEI 3) 求主振型求主振型33321,214