二維隨機(jī)變量-ppt課件

1、四、小結(jié)四、小結(jié) 3.1 3.1 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 二、二維離散型隨機(jī)變量二、二維離散型隨機(jī)變量 三、二維延續(xù)型隨機(jī)變量三、二維延續(xù)型隨機(jī)變量 2)(eX 圖示圖示 )(eY S一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 1.定義定義 ，是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)E,eS 它它的的樣樣本本空空間間是是上上的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量，是是定定義義在在和和設(shè)設(shè)SeYYeXX)()( ),(YX由由它它們們構(gòu)構(gòu)成成的的一一個(gè)個(gè)向向量量叫做二維隨機(jī)向量叫做二維隨機(jī)向量 或二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)變量. e3炮彈的彈著點(diǎn)的位炮彈

2、的彈著點(diǎn)的位 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) ( X, Y ) 的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X X 、Y Y 調(diào)查某一地域?qū)W調(diào)查某一地域?qū)W 闡明闡明 實(shí)例實(shí)例1實(shí)例實(shí)例2而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系. 有關(guān)有關(guān), 構(gòu)成二維隨機(jī)變量構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W). 童的身高童的身高 H 和體重和體重 W 就就 前兒童的發(fā)育情況前兒童的發(fā)育情況, 機(jī)變量機(jī)變量. 置置 (X,Y) 就是一個(gè)二維隨就是一個(gè)二維隨 那么兒那么兒 42.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) (1)分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義 定義定義，是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量設(shè)

3、設(shè)),(YX, yx數(shù)數(shù)二元函數(shù)二元函數(shù):),(yxF)()(yYxXP ,yYxXP 記成記成，的分布函數(shù)的分布函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量),(YX或稱為隨機(jī)或稱為隨機(jī)對(duì)于恣意實(shí)對(duì)于恣意實(shí) .的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)和和變量變量YX看看成成是是平平面面上上隨隨如如果果將將二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(YX機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo), 那么那么,處處的的在在分分布布函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxF5xoy),(yx yYxX ,落落在在如如圖圖所所示示的的，函函數(shù)數(shù)值值就就是是隨隨機(jī)機(jī)點(diǎn)點(diǎn)),(YX方方的的無無窮窮矩矩形形域域?yàn)闉轫旐旤c(diǎn)點(diǎn)而而位位于于該該點(diǎn)點(diǎn)左左下下),(yx內(nèi)的概率內(nèi)的

4、概率.,),(),(21xxxyxYX 落在矩形域落在矩形域隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)的的概概率率為為21yyy 以以6,2121yyyxxxP ).,(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF (2) 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì),),(1的不減函數(shù)的不減函數(shù)和和是變量是變量yxyxF 即對(duì)于任即對(duì)于任, y意固定的意固定的);,(),(1212yxFyxFxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)于任對(duì)于任,x意固定的意固定的).,(),(1212yxFyxFyy 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 1),(02 yxF且且, y對(duì)于任意固定的對(duì)于任意固定的, 0),( yF7, x對(duì)對(duì)于于任任意意固固定定的的, 0),( xF, 0

5、),( F. 1),( Fxoyyx),(), 0(3yxFyxF ),()0,(yxFyxF ，右連續(xù)右連續(xù)關(guān)于關(guān)于即即xyxF),(.也右連續(xù)也右連續(xù)關(guān)于關(guān)于y8),(),(42211yxyx對(duì)于任意對(duì)于任意 ,2121yyxx 下下述不等式成立述不等式成立: . 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF證明證明,2121yYyxXxP , 0 ,211212yYyxXPyYyxXP ,1222yYxXPyYxXP . 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故,1121yYxXPyYxXP 9二、二維離散型隨機(jī)變量二、二維離散型隨

6、機(jī)變量 1. 定義定義 全全部部可可能能取取到到的的不不如如果果二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(YX一樣的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)一樣的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì),是是則稱則稱),(YX.離散型的隨機(jī)變量離散型的隨機(jī)變量102. 二維離散型隨機(jī)變量的分布律二維離散型隨機(jī)變量的分布律 所有可能取的所有可能取的設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量),(YX),(jiyx值為值為, 2 , 1, ji,ijjipyYxXP 記記, 2 , 1, ji那么由概率的定義有那么由概率的定義有 , 0 ijp, 111 ijijp,ijjipyYxXP 稱稱, 2 , 1, ji,),(的分布律的分布律型隨

7、機(jī)變量型隨機(jī)變量YX為二維離散為二維離散 YX和和或隨機(jī)變量或隨機(jī)變量.的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律11二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) ( X,Y ) 的分布律也可表示為的分布律也可表示為 XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp12例例1四四個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù)中中等等可可能能在在設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量4 , 3 , 2 , 1X中等可能中等可能在在另一個(gè)隨機(jī)變量另一個(gè)隨機(jī)變量XY1地取一個(gè)值地取一個(gè)值, 地取一整數(shù)值地取一整數(shù)值. .),(的分布律的分布律試求試求YX:,的取值情況是的取值情況是jYiX 解解 .),(的的分分布布律律用用乘乘法

8、法公公式式容容易易求求得得YX易知易知 , 4 , 3 , 2 , 1 i取不大取不大j.的正整數(shù)的正整數(shù)于于i且且 ,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 1312341234418112116108112116100121161000161XY的分布律為的分布律為于是于是),(YX141.定義定義 三、二維延續(xù)型隨機(jī)變量三、二維延續(xù)型隨機(jī)變量 ),(),(yxFYX的的分分布布函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量有有使對(duì)于任意使對(duì)于任意如果存在非負(fù)可積函數(shù)如果存在非負(fù)可積函數(shù)yxyxf,),(,dd),(),(vuvufyxFyx ,),

9、(量量是連續(xù)型的二維隨機(jī)變是連續(xù)型的二維隨機(jī)變則稱則稱YX,),(),(的的概概率率密密度度稱稱為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量YXyxf.的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度和和稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量YX函數(shù)函數(shù) 或或 152.性質(zhì)性質(zhì) . 0),(1 yxfyxyxfdd),(2 .dd),(),( GyxyxfGYXP,3平平面面上上的的區(qū)區(qū)域域是是設(shè)設(shè)xOyG ,),(),(4連連續(xù)續(xù)在在若若yxyxf ),( F. 1落在落在點(diǎn)點(diǎn)),(YX那么有那么有內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為G . ),(),(2yxfyxyxF 16 3.闡明闡明 ，由由性性質(zhì)質(zhì) 4處有處有在連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)點(diǎn)),(yxyxyyYy

10、xxXxPyx ,lim00 )1 . 1(由由),(),(1lim00yxxFyyxxFyxyx ),(),(yxFyyxF yxyxF ),(2 ).,(yxf17:這表示這表示很很小小時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)yx ,yyYyxxXxP ,),(yxyxf 內(nèi)的內(nèi)的落在小長(zhǎng)方形落在小長(zhǎng)方形即即,(,(),(yyyxxxYX .),(yxyxf 概率近似地等于概率近似地等于.),(表表示示空空間間的的一一個(gè)個(gè)曲曲面面在在幾幾何何上上yxfz 知知，由由性性質(zhì)質(zhì) 2, 1dd),( yxyxf. 1),(為為平平面面的的空空間間區(qū)區(qū)域域的的體體積積和和介介于于xOyyxfz 連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)若若),(

11、),(yxyxf18，由由性性質(zhì)質(zhì) 3為為底底，的的值值等等于于以以GGYXP),( .),(為為頂頂面面的的柱柱體體體體積積yxfz 以以曲曲面面.dd),(),( GyxyxfGYXP19);,()1(yxF求分布函數(shù)求分布函數(shù)具具有有概概率率密密度度設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(YX),(yxf.)2(XYP 求求概概率率例例2 , 0, 0,e2)2( yxyx., 0其其他他20解解)1( yxyxyxfdd),(),(yxF yxyxyxyx00)2(, 0, 0,dde2.,0其他其他 ),(yxF即有即有 . 0, 0),e1)(e1(2 yxyx., 0其其他他,),(G

12、YXXY (2)即有即有 坐標(biāo)，坐標(biāo)，看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的將將),(YX平面上直線平面上直線為為其中其中xOyG21XY GxyO.及其下方的部分及其下方的部分xy 于是于是 XYP yxyxfGdd),( yxyyxdde20)2( .31),(GYXP 22推行推行 定義定義 ，是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)E它的樣本空間是它的樣本空間是 ,eS ),(11eXX 設(shè)設(shè)),(22eXX ,)(eXXnn ，上的隨機(jī)變量上的隨機(jī)變量是定義在是定義在S維維由它們構(gòu)成的一個(gè)由它們構(gòu)成的一個(gè)n維維隨隨機(jī)機(jī)維維隨隨機(jī)機(jī)向向量量或或叫叫做做向向量量nnXXXn),(21變量變量. n 維隨機(jī)變量的概念維隨機(jī)變量的概念 23,21nxxxn個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于任任意意元函數(shù)元函數(shù)n,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 的的分分布布函函數(shù)數(shù)或或隨隨維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量稱稱為為),(21nXXXn.,21的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)機(jī)變量機(jī)