第二類換元法

1、二、第二類換元法二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法一、第一類換元法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 換元積分法 第四四章 一、第一類換元法一、第一類換元法定理定理1.,)(有原函數(shù)設(shè)uf,)(可導(dǎo)xu則有換元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也稱配元法配元法即xxxfd)()(, 湊微分法湊微分法)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬能湊冪法xxxfdcos)(sin)

2、4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、第二類換元法二、第二類換元法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一類換元法解決的問題難求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求積分xxxfd)()(易求,則得第二類換元積分法 .難求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 設(shè))(tx是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且,0

3、)( t)()(ttf具有原函數(shù) ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函數(shù)是其中txxt證證:的原函數(shù)為設(shè))()(ttf, )(t令 )()(1xxF則)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有換元公式例例16. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122at

4、ttcossin22sin2axaxa22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例17. 求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xa1C例例18. 求. )0(d22aaxx解解:,時(shí)當(dāng)ax 令, ),0(,sec2ttax則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1t

5、anseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22ax axa,時(shí)當(dāng)ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時(shí)ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （1）被積函數(shù)含有22ax 時(shí), 可以采用22ax 或機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角代換,消去根式22xa 、 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)

6、被積函數(shù)的情況來定情況來定.說明：說明：例例1919 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）（2 2）設(shè)分子、分母關(guān)于設(shè)分子、分母關(guān)于x的最高次數(shù)的最高次數(shù), 當(dāng)分母當(dāng)分母的階較高時(shí)，可采用的階較高時(shí)，可采用倒代換：倒代換：.1tx 例例2020 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例2121 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111dttt 231222121dtt

7、t 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx ,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat（3）被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例11. 求.21d3xx解解: 令,23xu則,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC機(jī)動(dòng)

8、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12. 求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1414 求求.11dxex （4）如果被積函數(shù)是由指數(shù)構(gòu)成的

9、代數(shù)式，可考）如果被積函數(shù)是由指數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式，可考慮選用指數(shù)代換慮選用指數(shù)代換小結(jié)小結(jié):1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcsc

10、ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用基本積分公式的補(bǔ)充(7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代換倒代換 ,d)()6(xafx令xat xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm 時(shí),)(xR為假分式;nm 時(shí),)(xR為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式 + 真分 式分解其中部分

11、分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

12、 下頁 返回 結(jié)束 (3) 混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 代入等式兩端分別令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項(xiàng)積分 例例2. 求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21

13、(12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?d)32(222xxxx提示提示: 變形方法同例3, 并利用 P209 例9 . xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d455522

14、2423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常規(guī) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求求解解:

15、 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(見P348公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx1212

16、22xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步 分項(xiàng)積分 .此解法較繁 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè))cos,(sinxxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換t 的有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx21

17、2tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說明說明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時(shí),xttan往往更方便 .的有理式用代換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xbxacossin例例9. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos