導(dǎo)數(shù)地概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的平均變化率(1) 概念：函數(shù)-中，如果自變量二在匸處有增量，那么函數(shù)值 y也相應(yīng)的有增量厶y=f(x 0+ x)-f(x o)，其比值亠叫做函數(shù)從到 + 的平均變化率，即 Av =牝+A力二， 。Ay _若=二心，一 i十，則平均變化率可表示為八 ，稱為函數(shù)從:到心的平均變化率。 事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量 與體積增量的比值； 函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢(shì)，當(dāng)取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。 止是自變量在：處的改變量，丄；而是函數(shù)值的改變量，可以是 0。函數(shù) 的平均變化率是0，并不一定說(shuō)明函數(shù)沒有變化，

2、應(yīng)取丄二更小考慮。(2 )平均變化率的幾何意義函數(shù)1的平均變化率-心石的幾何意義是表示連接函數(shù)尸圖像上兩點(diǎn)割線的斜率。3 /tx如圖所示，函數(shù)的平均變化率-的幾何意義是：直線 AB的斜率力-堆心-了佃）Av事實(shí)上,作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念:1 導(dǎo)數(shù)的定義：對(duì)函數(shù) ：-，在點(diǎn)廠二處給自變量x以增量二：，函數(shù)y相應(yīng)有增量linL叟=乳聞+山）一了（和皿：丄* 。若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或八，此時(shí)也稱八在點(diǎn)二處可導(dǎo)。即：（或一 r * _）注意: 增量止工可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù); 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即

3、瞬時(shí)變化率2 導(dǎo)函數(shù):如果函數(shù) 小在開區(qū)間 內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)A，=l：-J -，都對(duì) 應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)廠為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念， 是常數(shù)，是函數(shù)- 在= 處的函數(shù)值，反映函數(shù)兒在工二附近的變化情況。3 導(dǎo)數(shù)幾何意義：(1) 曲線的切線曲線上一點(diǎn)P(X0, yo)及其附近一點(diǎn)Q(xo+ (,yo+ ，經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ , 粒則有並=5 0=型-其傾斜角為當(dāng)點(diǎn)Q(xo+ (,yo+ 沿曲線無(wú)限接近于點(diǎn) P(xo，yo),即Ax - 0時(shí)，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點(diǎn)

4、P處的切線。若切線的傾斜角為,則當(dāng)Ax-0時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率td g=氐曲=te?:即:站衛(wèi) Ax mtoXo(2) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)11 ：1在點(diǎn)xo的導(dǎo)數(shù)八-是曲線上點(diǎn)( 1 )處的切線的斜率。注意： 若曲線I 1在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與-軸垂直。 ，切線與工軸正向夾角為銳角，切線與T軸正向夾角為鈍角；廣切線與兀軸平行。(3) 曲線的切線方程如果/ ；1在點(diǎn)廠可導(dǎo)，則曲線-在點(diǎn)( 1 )處的切線方程為：二屮(話(心)O4 瞬時(shí)速度：物體運(yùn)動(dòng)的速度等于位移與時(shí)間的比，而非勻速直線運(yùn)動(dòng)中這個(gè)比值是變化的， 如何了解非勻速直線運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢程度，我

5、們采用瞬時(shí)速度這一概念如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足 s=s(t)(位移公式)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度V,就是物二氐3二如心體t到t+ 這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) -0時(shí)平均速度的極限，即如果把函數(shù)，-看作是物體的位移公式)，導(dǎo)數(shù)、表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速 度。規(guī)律方法指導(dǎo)1 .如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法:作差：求出-和 廠：作商：對(duì)所求得的差作商，即八 二【 o注意:/花)-了OJ 孑(帀 +時(shí)-_fg)(1)Ax，式子中二；、的值可正、可負(fù)，但一的值不能為零，的值可以為零。若函數(shù)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，宀 o(2) 在式子“-1 中，與是相對(duì)應(yīng)的“增量”，即在：】時(shí),(3)在式子一中

6、，當(dāng)廠取定值，二：取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率不同；當(dāng)止：取定值，習(xí)取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的平均變化率也不一樣。2. 如何求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(1 )利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通常用“三步法”計(jì)算函數(shù)的增量：;求平均變化率:/ Vc)= lim mo+k) 幾G 取極限得導(dǎo)數(shù)：一(2 )利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù) 1 在點(diǎn)山的導(dǎo)數(shù)是- -,則八廠表示曲線在點(diǎn)()處的切線的斜率。 設(shè)是位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則 表示物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度； 設(shè)，是速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，貝U ； 表示物體在、時(shí)刻的加速度；4 .利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步

7、驟 求出/，：在二處的導(dǎo)數(shù)：-：; 利用直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程為O類型一：求函數(shù)的平均變化率 1、求一I在到、i之間的平均變化率，并求，1時(shí)平均變化率的值.Ay _ Z(x0 +Ax)-/faj思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式一 進(jìn)行操作.舉一反三:【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2 , 2+止一內(nèi)的平均變化率。2【變式2】已知函數(shù)，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率:（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.【變式3】自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為，計(jì)算 t 從 3s 至U 3.1s，3.01s，3.001s 各段內(nèi)的平均速度（位移s的單位為m）【變式4】

8、過曲線-上兩點(diǎn)亠和- 1 -作曲線的割線，求出當(dāng)-J-丄-時(shí)割線的斜率.類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)C2、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù) 廠在x=1處的導(dǎo)數(shù)。舉一反三:【變式1】已知函數(shù)(1 )求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).嚴(yán)丄-&F(4-與(2 )求曲線 上一點(diǎn)處的切線方程?！咀兪?】利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);(2);(3) -：;(4) - o53、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點(diǎn)撥：從函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義可求得函數(shù)y=x3+2x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將 x=1代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而建立切線方程舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點(diǎn)的切

9、線:（1）平行于直線y=4x ；（2）垂直于直線2x -6y+5=0 ；（3 ）與x軸成135。的傾斜角。知識(shí)點(diǎn)三：常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) - (C 為常數(shù)),1，-(2) 一 (n 為有理數(shù))，d/ j(7)= Sin 7 f (x) = C0 7j (:r) =f (x) = - sin x(7) = 1“ 廣E = (8)mm叱廣專曲知識(shí)點(diǎn)四:函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則(1)和差的導(dǎo)數(shù)：丄J _積的導(dǎo)數(shù)：-|：-廠；-:-: - 1 -商的導(dǎo)數(shù)：-：G）知識(shí)點(diǎn)五:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則嚴(yán)幾兒或兒【於祕(mì)力的導(dǎo)即復(fù)合函數(shù)-對(duì)自變量芒的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)匸對(duì)中間變量 數(shù)丄，乘以中間變量對(duì)自變量卞的

10、導(dǎo)數(shù)。注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo), 遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。規(guī)律方法指導(dǎo)1 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系;分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；把中間變量代回原自變量（一般是 x ）的函數(shù)。整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分解一一求導(dǎo)一一回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重 復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。類型一：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(3 )，_=；(4) y=2x 3H3x2+5x + 4舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) 一 宀；j/ 2 sin (1

11、2cos )(2)-( 3) y=6x 3Fx2+9x O2、求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)一 一；(2) y=x2sinx;A+ CQSX(4) y=，一 ：丄兒舉一反三：【變式1】函數(shù)1 _ ：/ ?-在? = -處的導(dǎo)數(shù)等于()A. 1B. 2C. 3D. 4【變式2】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 工* 3 x + 1y -l(1)_ I ； ：* . ；(2) -【變式3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后1詳-1)(2)類型四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)03、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)(3)y = cos(2z-Fl)舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1(3) y=l n (x +門);f (x) = p_(cos x+sin x)類型五:求曲線的切線方程4、求曲線y=x 3+2x在x=1處的切線方程.舉一反三:【變式1】求曲線,-在點(diǎn)匚，處的切線的斜率，并寫出切線方程【變式2】已知i是曲線一廠上的兩點(diǎn)，則與直線“平行的曲線_ 的切線方程是【變式3】已知曲線.（1）求曲線丁上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點(diǎn)?【變式4】如