導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用山東馬連東許美文近幾年來導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用題在高考試卷中已經(jīng)出現(xiàn)，并且新教材中導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用體的比重也有所增加，因此應(yīng)更加重是這方面的學(xué)習(xí)。 現(xiàn)在，我們研究幾個導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟生活中的 實際問題。1有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的的兩側(cè)，乙廠位于離河岸 40km的B處，乙廠到河岸的垂足 D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合 建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為3a元和5a元，問供水站C建在何處才能使水管費用最??？A C xBD分析：根據(jù)題設(shè)建立數(shù)學(xué)模型， 借助圖像尋找個條件間的 聯(lián)系，適當(dāng)設(shè)定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)和其他

2、方法求出最值，可確定 C點的位置。解法一：據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能能使總運費最省，設(shè)C點距D點xkm，如圖所示，則 BD=40，AC=50 -x, . BC = ： BD2 CD2 =：汶 402 , 又設(shè)總的水管費用為 y 元，由題意得 y =3a 50 -x 5a、. x2402 0 ： x : 50 , y -3a+j 5ax _令y" = 0,解得x=30.在(0， 50)上, y只有一個極值點，根據(jù)實際意義，函數(shù)在 x=30(km)處取得最小值，此時 AC=50-x=20(km)，所以供水站建立在 A、D之間距甲廠20間距甲廠20km處，可是水管費用

3、最省。解法二：設(shè)誥,CD=4仏叫0<8勺.AC =50 -40cot二。設(shè)總的水管費用為 f r ，依題意，有405 3cos vv - 3a 50 - 40cot v + 5a = 150a 40asisi n°f (A40a5任如 sin53ck ® 二彳。*sin2 二3 - 5cossin2 -3 3令f v -0,得cos。根據(jù)問題的實際意義，當(dāng) cos時，函數(shù)取得最小值，此時554 3sin日=一，二cot日=一，幾AC = 50 - 40 cot日=20 ( km)，即供水站建在即供水站建在5 4A、D之間距甲廠20km處，可是供水管費用最省。評注：解決

4、實際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系， 并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題， 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆?法解決，再返回到實際問題中加以說明。2.生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)一件正品，可獲利100元，已知該廠制造電子元件過程中，次品率p3x*px N .4x 32（1）（2）將該產(chǎn)品的日盈利額 T （元）表示為日產(chǎn)量 為獲最大利潤，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？200元，如果生產(chǎn)一件次品則損失與日產(chǎn)與日產(chǎn)量 x的函數(shù)關(guān)系是x的函數(shù)。分析：次品率p=日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量。每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為x（1 p）。xp,正品數(shù)為正品數(shù)為解：因為次品率3xp 蘭，當(dāng)每

5、天生產(chǎn) x件時，有4x 323xx 涇件次品，有4x 32(113x 、'件正品，所以T 200x 1 -3x 、I4x+32 丿14x +32 丿3x-100x -4x + 32=25 竺 匚.T'一25 x 32 -6。由 丁 =0,得 x=16,或 x=_32(舍去)。 x+8(x 8)2當(dāng)0：x：；16時，T 0;x0時 T : 0.所以，當(dāng)x=16時，T最大。及該廠的日產(chǎn)量為6件時，能獲得最大盈利。3.若電燈（B）可在過桌面上一點 0的垂線上移動，桌面上由與點0距離為a的另點A，問電燈與點 0的距離為多大時，可使點 A出有最大的亮度？（如圖，有光學(xué)知識，亮度y與sin

6、r成正比，與r2成反比）解:設(shè)O到B的距離為x，則sin r - x, r二.x2 a2rsi n y =c r° r x2 a2x=c 2 2x ax _0（ c適于燈光強度有關(guān)的常數(shù)）2 2, a -2x - y =c 5=0(x2 +a2 F當(dāng)y = 0,即方程a2 - 2x2 =0的根為x1.（舍）與x2V2_ a.2，xr a )a(a + ) l丘丿F y+0y極大值J距離為a時，點A的亮度y為最大。4.現(xiàn)要制作一個體積為30 m3的圓柱形無蓋容器，其底面用鋼板，側(cè)面用鋁板。已知每平方米鋼板的價格是鋁板的 分析：這是一道實際應(yīng)用題,3倍，問怎樣設(shè)計才能是材料費用最少？ 列

7、出材料費用的函數(shù)式，把它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值的問題。30n n解析：設(shè)圓柱形容器的底面半徑為xm，則圓柱的高為2 m，底面面積為二x2m2，側(cè)XX面積為60 m2。又設(shè)每平方米鋁板的價格為a元，鋼板的價格為 3a元，總費用為y元，則仔1.47.y 一定有最小值，故此極x2 6060y=3a 二 x a x 0 , . y= 6a 二 x .令 y =0,得 x =xx a因為y只有一個使其為零的點，即只有一個極值點。由題意,值點就是y的最小值點，這是圓柱的高為33110(m)。故圓柱的底面半徑為10m,咼為33： m時總費用最少。ji兀自變量選得恰當(dāng)有點評：在建立函數(shù)表達式時，首先要適當(dāng)選取自變

8、量及其取值范圍， 時可減少運算量。5.（2004年遼寧）甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠。由于乙方生產(chǎn)需要占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入。在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t噸滿足函數(shù)關(guān)系x二2000、. t。若乙方每年生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格）。（1 ）將乙方的年利潤 w （元）表示為年產(chǎn)量t 的年產(chǎn)量；（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y = 0.002t兀，在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入,s是多少？應(yīng)向乙方要求的賠付價格解：

9、（1）法一：因為賠付價格為 s元/噸,所以乙方的實際年利潤為w = 20001 - st.因為 w =2000 t -s t =-s A10002 丄 10002s2,所以當(dāng)th1000 i時，w取得最大'I S丿噸。值。所以乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t= 1000I S丿法二：因為賠付價格為 s元/噸，所以乙方的實際年利潤為w二2000、, t - st.1000w=廠1000-s、t,令 w =0,得 t = t°.當(dāng) t ：: to 時,w 0;當(dāng)t tg時，W ：. 0.所以t =：t。時，W取得最大值。所以乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量噸。（2）解：設(shè)甲方凈收入為_2v

10、 元，則 V =st 0.002t。1000s代入上式，得到甲方凈收入V與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式10002v =s2 10002_4s2 2P ”10002 8X10003 1000 M800。s )又 V55,令 v=0，得 s=20。sss當(dāng)s ： 20時，v 0 ；當(dāng)s 20時，v : 0,所以s=20時，V取得最大值。因此甲方向乙方要求賠付價格s=20元/噸時，獲最大凈收入。評述：本題主要考查函數(shù)的概念，運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值、最小值的方法以及運用數(shù)學(xué) 知識，建立簡單數(shù)學(xué)模型并解決實際問題的能力。6.（ 2005年全國3）用長為90cm、寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截取一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成（如圖）。問該容器高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器高為xcm,容器的容積為v x cm則 V x 二 x 90 -2x 48-2x = 4x3 - 276x2 4320x o ： x ： 24。求 V x 的導(dǎo)數(shù)得V x =12x2 -552x 4320 = 12 x2 -46x 360 =12 x -10 x-36 ,令V x =0,得 x1 =10,x2 =36（舍去）。當(dāng)