數(shù)學(xué)物理方程概述

1、精選ppt數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程精選ppt教材及教學(xué)參考書(shū)教材及教學(xué)參考書(shū)o教材教材o 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院袁洪君、許孝精吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院袁洪君、許孝精, ,數(shù)學(xué)物理方數(shù)學(xué)物理方程，高等教育出版社，程，高等教育出版社，2006年年6月第月第1版。版。o參考書(shū)參考書(shū)o 彭芳麟，數(shù)學(xué)物理方程的彭芳麟，數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視解法與可視化化, ,清華大學(xué)出版社，清華大學(xué)出版社，20042004年年1111月月第第1版。版。o購(gòu)書(shū)地點(diǎn)購(gòu)書(shū)地點(diǎn)o 上海書(shū)城上海書(shū)城 （上海市福州路（上海市福州路465號(hào)）號(hào)）精選ppt授課內(nèi)容授課內(nèi)容o 第一章第一章 數(shù)學(xué)物理方程概述數(shù)學(xué)物理方程概述o 第二章第

2、二章 分離變量法和積分變換法分離變量法和積分變換法o 第三章第三章 行波法行波法o 第四章第四章 格林函數(shù)法格林函數(shù)法o 第五章第五章 勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式o 第六章第六章 定解問(wèn)題的適定性定解問(wèn)題的適定性o 第七章第七章 有限單元法及有限元軟件有限單元法及有限元軟件精選ppt第一章第一章 數(shù)學(xué)物理方程概述數(shù)學(xué)物理方程概述 1 偏微分方程舉例和基本概念偏微分方程舉例和基本概念 2 方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo)方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo) 3 兩個(gè)重要原理兩個(gè)重要原理精選ppt1 偏微分方程舉例和基本概念偏微分方程舉例和基本概念 自然科學(xué)和工程技術(shù)中，種種運(yùn)動(dòng)的變化發(fā)自然科學(xué)和工程技術(shù)中，種種運(yùn)動(dòng)的

3、變化發(fā)展過(guò)程與平衡現(xiàn)象各自遵守一定的規(guī)律。描展過(guò)程與平衡現(xiàn)象各自遵守一定的規(guī)律。描述這些規(guī)律通常用關(guān)于某個(gè)或某些未知多元述這些規(guī)律通常用關(guān)于某個(gè)或某些未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)方程式或數(shù)學(xué)方程組。函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)方程式或數(shù)學(xué)方程組。含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)（也可僅含有含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)（也可僅含有偏導(dǎo)數(shù)）的方程稱(chēng)為偏微分方程。描述物理偏導(dǎo)數(shù)）的方程稱(chēng)為偏微分方程。描述物理規(guī)律的偏微分方程稱(chēng)為數(shù)學(xué)物理方程。規(guī)律的偏微分方程稱(chēng)為數(shù)學(xué)物理方程。精選ppt1 偏微分方程舉例和基本概念偏微分方程舉例和基本概念常見(jiàn)的數(shù)學(xué)物理方程有常見(jiàn)的數(shù)學(xué)物理方程有 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程 Laplace方

4、程方程 弦振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程 梁的橫振動(dòng)方程梁的橫振動(dòng)方程 水波研究中的水波研究中的KdV方程方程 電磁場(chǎng)中用到的二維電磁場(chǎng)中用到的二維Cauchy-Riemann方程組方程組 空氣動(dòng)力學(xué)的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程空氣動(dòng)力學(xué)的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程精選ppt常見(jiàn)的數(shù)學(xué)物理方程常見(jiàn)的數(shù)學(xué)物理方程精選ppt常見(jiàn)的數(shù)學(xué)物理方程常見(jiàn)的數(shù)學(xué)物理方程精選ppt1 偏微分方程舉例和基本概念偏微分方程舉例和基本概念幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念 方程的階：偏微分方程中未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)；方程的階：偏微分方程中未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)； 線性偏微分方程：一個(gè)偏微分方程線性偏微分方程：一個(gè)偏微分方程F(u,Au)=

5、0F(u,Au)=0關(guān)于所有未知函關(guān)于所有未知函數(shù)及所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，則稱(chēng)此方程為線性偏微分方程；數(shù)及所有偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，則稱(chēng)此方程為線性偏微分方程； 非線性偏微分方程：不滿足線性偏微分方程條件的偏微分方非線性偏微分方程：不滿足線性偏微分方程條件的偏微分方程；程； 半線性偏微分方程：所有最高階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，而且其半線性偏微分方程：所有最高階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，而且其系數(shù)不含未知多元函數(shù)及其低階偏導(dǎo)數(shù)的非線性偏微分方程；系數(shù)不含未知多元函數(shù)及其低階偏導(dǎo)數(shù)的非線性偏微分方程； 擬線性偏微分方程：最高階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)含未知多元函數(shù)及擬線性偏微分方程：最高階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)含未知多元函數(shù)及其低階偏導(dǎo)

6、數(shù)的非線性偏微分方程。其低階偏導(dǎo)數(shù)的非線性偏微分方程。精選ppt1 偏微分方程舉例和基本概念偏微分方程舉例和基本概念幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念 非齊次項(xiàng)非齊次項(xiàng): :在線性偏微分方程中在線性偏微分方程中, ,不含未知不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的非零項(xiàng)稱(chēng)為非齊次項(xiàng)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的非零項(xiàng)稱(chēng)為非齊次項(xiàng); ; 非齊次方程非齊次方程: :含有非齊次項(xiàng)的方程稱(chēng)為非含有非齊次項(xiàng)的方程稱(chēng)為非齊次方程齊次方程; ; 齊次方程齊次方程: :不含非齊次項(xiàng)的線性偏微分方不含非齊次項(xiàng)的線性偏微分方程稱(chēng)為齊次方程。程稱(chēng)為齊次方程。精選ppt1 偏微分方程舉例和基本概念偏微分方程舉例和基本概念幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念 （古典）解

7、（古典）解: :所謂一個(gè)所謂一個(gè)m階偏微分方程在某階偏微分方程在某區(qū)域內(nèi)的（古典）解，是指這樣的函數(shù)：它區(qū)域內(nèi)的（古典）解，是指這樣的函數(shù)：它有直到有直到m階的一切偏導(dǎo)數(shù)，且本身和這些偏階的一切偏導(dǎo)數(shù)，且本身和這些偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，將它及其偏導(dǎo)數(shù)替代方程中的導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，將它及其偏導(dǎo)數(shù)替代方程中的未知函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)后，這個(gè)方程對(duì)未知函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)后，這個(gè)方程對(duì)其全體自變量在該區(qū)域內(nèi)成為一個(gè)恒等式其全體自變量在該區(qū)域內(nèi)成為一個(gè)恒等式; ;精選ppt1 偏微分方程舉例和基本概念偏微分方程舉例和基本概念幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念 定解條件定解條件: :一個(gè)偏微分方程的解通常有無(wú)窮多個(gè)，而每個(gè)解一

8、個(gè)偏微分方程的解通常有無(wú)窮多個(gè)，而每個(gè)解都表示一個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。為了從這無(wú)窮多個(gè)解中找出都表示一個(gè)特定的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。為了從這無(wú)窮多個(gè)解中找出一個(gè)我們所研究的具體實(shí)際問(wèn)題要求的解，必須考慮研究一個(gè)我們所研究的具體實(shí)際問(wèn)題要求的解，必須考慮研究對(duì)象所處的周?chē)h(huán)境和初始時(shí)刻的狀態(tài)等其它因素對(duì)解產(chǎn)對(duì)象所處的周?chē)h(huán)境和初始時(shí)刻的狀態(tài)等其它因素對(duì)解產(chǎn)生的影響，從而通過(guò)在這些方面的考慮，得到一些已知條生的影響，從而通過(guò)在這些方面的考慮，得到一些已知條件。這樣就有可能確定出一個(gè)特定解，這個(gè)解既滿足方程件。這樣就有可能確定出一個(gè)特定解，這個(gè)解既滿足方程本身，又滿足我們?cè)诳紤]各種影響因素時(shí)所建立起來(lái)的條本身，又滿

9、足我們?cè)诳紤]各種影響因素時(shí)所建立起來(lái)的條件。我們把這樣的已知條件稱(chēng)為定解條件件。我們把這樣的已知條件稱(chēng)為定解條件; ; 定解問(wèn)題定解問(wèn)題: :定解條件聯(lián)立方程稱(chēng)之為定解問(wèn)題。定解條件聯(lián)立方程稱(chēng)之為定解問(wèn)題。 并不是每個(gè)定解問(wèn)題都有解。并不是每個(gè)定解問(wèn)題都有解。精選ppt第一章第一章 數(shù)學(xué)物理方程概述數(shù)學(xué)物理方程概述 1 偏微分方程舉例和基本概念偏微分方程舉例和基本概念 2 方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo)方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo) 3 兩個(gè)重要原理兩個(gè)重要原理精選ppt2 方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo)方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo) 2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) 2.2 薄膜平衡薄膜平衡方程的物

10、理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 2.3 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 2.4 定解條件和定解問(wèn)題定解條件和定解問(wèn)題精選ppt2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) 設(shè)有一根拉緊的均勻柔軟細(xì)弦，其線密度（單位長(zhǎng)度設(shè)有一根拉緊的均勻柔軟細(xì)弦，其線密度（單位長(zhǎng)度質(zhì)量）為常數(shù)質(zhì)量）為常數(shù) ，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l,兩端被固定在兩端被固定在O,A兩點(diǎn)，且在兩點(diǎn)，且在單位長(zhǎng)度上受到垂直于單位長(zhǎng)度上受到垂直于OA向上的力向上的力F作用。當(dāng)它在平作用。當(dāng)它在平衡位置附近作垂直于衡位置附近作垂直于OA方向的微小橫向振動(dòng)時(shí)，求弦方向的微小橫向振動(dòng)時(shí)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 所謂微小振動(dòng)是指振動(dòng)

11、的幅度及弦在任意位置處切線所謂微小振動(dòng)是指振動(dòng)的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小，弦在偏離平衡位置后，弦上任意一點(diǎn)的傾角都很小，弦在偏離平衡位置后，弦上任意一點(diǎn)的斜率遠(yuǎn)小于的斜率遠(yuǎn)小于1。橫向振動(dòng)是指弦上的點(diǎn)沿垂直于。橫向振動(dòng)是指弦上的點(diǎn)沿垂直于x軸軸的方向運(yùn)動(dòng)。的方向運(yùn)動(dòng)。精選ppt2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)精選ppt2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) 以以O(shè)A為為x軸，弦振動(dòng)方向?yàn)榱硪蛔鴺?biāo)軸方向建軸，弦振動(dòng)方向?yàn)榱硪蛔鴺?biāo)軸方向建立如圖坐標(biāo)系，并以立如圖坐標(biāo)系，并以u(píng)(x,t)表示弦上表示弦上x(chóng)點(diǎn)處在點(diǎn)處在t時(shí)時(shí)刻垂直于刻垂直于x方向的位移。方向的位移

12、。 任取弦上一微段任取弦上一微段PQ，由于是，由于是微小振動(dòng)，可近似微小振動(dòng)，可近似認(rèn)為認(rèn)為PQ的弧長(zhǎng)為的弧長(zhǎng)為x，沿，沿x方向和方向和u方向力的平方向力的平衡條件為衡條件為 TQcos-TPcos= 0 (1) TQsin-TPsin+Fx= xutt (2)精選ppt2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) 可近似認(rèn)為可近似認(rèn)為T(mén)Q=TP=T，則，則(1)變成了變成了cos cos 。 （2）變?yōu)椋┳優(yōu)?Tsin-Tsin+Fx= xutt (3) sin du(x+ x,t)/dx=ux(x+ x, t) (4) sin du(x,t)/dx=ux(x,t) (5) 將（將（4）

13、、（）、（5）代入（）代入（3），兩邊同時(shí)除以），兩邊同時(shí)除以x得得精選ppt2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) Tuxx(x,t) +F= utt (6) 兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以 得得 utt = a2uxx + f (7) 其中，其中，a2 = T/ , f = F/ 這就是弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程。這就是弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程。 若外力若外力F=0，則方程（，則方程（7）變?yōu)椋┳優(yōu)?utt = a2uxx (8) (8)稱(chēng)為稱(chēng)為弦的自由橫振動(dòng)方程。弦的自由橫振動(dòng)方程。精選ppt2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) 一些其它類(lèi)型的物理問(wèn)題，如管道中氣體小擾一些其它類(lèi)型的物

14、理問(wèn)題，如管道中氣體小擾動(dòng)的傳播以及電報(bào)方程等問(wèn)題也可以歸結(jié)為偏動(dòng)的傳播以及電報(bào)方程等問(wèn)題也可以歸結(jié)為偏微分方程（微分方程（7）、（）、（8）的形式，只是其中未知）的形式，只是其中未知函數(shù)表示的物理意義不同，同一個(gè)方程反映的函數(shù)表示的物理意義不同，同一個(gè)方程反映的不是一個(gè)物理現(xiàn)象，而是一類(lèi)物理現(xiàn)象。不是一個(gè)物理現(xiàn)象，而是一類(lèi)物理現(xiàn)象。精選ppt2 方程及定解問(wèn)題的物理方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo)推導(dǎo) 2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) 2.2 薄膜平衡薄膜平衡方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 2.3 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 2.4 定解條件和定解問(wèn)題定解條件和定解問(wèn)題精

15、選ppt2.2 薄膜平衡薄膜平衡方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 物理模型：將均勻柔軟的薄膜張緊于微翹的物理模型：將均勻柔軟的薄膜張緊于微翹的固定框架上，除膜自身的重力作用外，無(wú)其固定框架上，除膜自身的重力作用外，無(wú)其它外力作用。由于框架的微翹，薄膜形成一它外力作用。由于框架的微翹，薄膜形成一曲面，求靜態(tài)薄膜上各點(diǎn)的橫向位移。曲面，求靜態(tài)薄膜上各點(diǎn)的橫向位移。 薄膜平衡薄膜平衡方程方程 uxx+ uyy = f (9) 忽略重力，（忽略重力，（9）變?yōu)椋┳優(yōu)?uxx+ uyy = 0 (10) 推導(dǎo)過(guò)程從略。推導(dǎo)過(guò)程從略。精選ppt2.2 薄膜平衡薄膜平衡方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo)精選ppt2.

16、2 薄膜平衡薄膜平衡方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 形如形如 uxx+ uyy = f (x,y) (11) 的方程，稱(chēng)為二維泊松的方程，稱(chēng)為二維泊松(Poisson)方程。方程。 方程方程 uxx+ uyy = 0 (10) 稱(chēng)為稱(chēng)為二維拉普拉斯二維拉普拉斯(Laplace)方程（或調(diào)和方方程（或調(diào)和方程）程）。精選ppt2.2 薄膜平衡薄膜平衡方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 相應(yīng)地，相應(yīng)地， uxx+ uyy+ uzz = f (x,y,z) (12) 和和 uxx+ uyy+ uzz = 0 (13) 分別稱(chēng)之為分別稱(chēng)之為三維泊松三維泊松(Poisson)方程和三維拉普拉斯方程和三維拉普拉斯

17、(Laplace)方程（調(diào)和方程）方程（調(diào)和方程）。 許多物理學(xué)和工程技術(shù)問(wèn)題都?xì)w結(jié)為求許多物理學(xué)和工程技術(shù)問(wèn)題都?xì)w結(jié)為求泊松方程和拉泊松方程和拉普拉斯方程的解，如靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布，不可壓縮流普拉斯方程的解，如靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布，不可壓縮流體的定常無(wú)旋流場(chǎng)的速度位勢(shì)等問(wèn)題。體的定常無(wú)旋流場(chǎng)的速度位勢(shì)等問(wèn)題。精選ppt2 方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo)方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo) 2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) 2.2 薄膜平衡薄膜平衡方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 2.3 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 2.4 定解條件和定解問(wèn)題定解條件和定解問(wèn)題精選ppt2.3 熱傳導(dǎo)方程的物

18、理推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 物理模型：設(shè)有一個(gè)導(dǎo)熱物體，當(dāng)此導(dǎo)熱物物理模型：設(shè)有一個(gè)導(dǎo)熱物體，當(dāng)此導(dǎo)熱物體內(nèi)各處的溫度不一致時(shí)，熱量就要從高溫體內(nèi)各處的溫度不一致時(shí)，熱量就要從高溫處向低溫處傳遞，試確定它的內(nèi)部各點(diǎn)在任處向低溫處傳遞，試確定它的內(nèi)部各點(diǎn)在任意時(shí)刻的溫度所滿足的方程。意時(shí)刻的溫度所滿足的方程。 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程 u/ t = a2u+ f (x,y,z,t) (14) = 2/ x2 + 2/ y2 + 2/ z2 推導(dǎo)過(guò)程從略。推導(dǎo)過(guò)程從略。精選ppt2 方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo)方程及定解問(wèn)題的物理推導(dǎo) 2.1 弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo)弦振動(dòng)方程的物理推導(dǎo) 2.2 薄膜平衡薄膜

19、平衡方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 2.3 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的物理推導(dǎo)方程的物理推導(dǎo) 2.4 定解條件和定解問(wèn)題定解條件和定解問(wèn)題精選ppt2.4 定解條件和定解問(wèn)題定解條件和定解問(wèn)題 定解條件通常被分為兩大類(lèi)：初值條件和邊定解條件通常被分為兩大類(lèi)：初值條件和邊值條件值條件 初值條件：描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程在開(kāi)始時(shí)刻（可設(shè)初值條件：描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程在開(kāi)始時(shí)刻（可設(shè)為為t=0）介質(zhì)內(nèi)部及邊界上任一點(diǎn)的狀態(tài)。）介質(zhì)內(nèi)部及邊界上任一點(diǎn)的狀態(tài)。 邊值條件：描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中邊界上各點(diǎn)在任邊值條件：描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中邊界上各點(diǎn)在任一時(shí)刻的狀態(tài)。一時(shí)刻的狀態(tài)。精選ppt2.4 定解條件和定解問(wèn)題定解條件和定解問(wèn)題 初值條件：初值

20、條件： 弦振動(dòng)方程：弦振動(dòng)方程：u|t=0=(x), u/ t|t=0 =(x), 0 x l 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程：u|t=0=(x,y,z), (x,y,z) D. 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程:未知函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，未知函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，無(wú)初值條件。無(wú)初值條件。精選ppt2.4 定解條件和定解問(wèn)題定解條件和定解問(wèn)題 邊值條件：通常有三種類(lèi)型邊值條件：通常有三種類(lèi)型 以弦振動(dòng)方程為例以弦振動(dòng)方程為例 （1）兩個(gè)端點(diǎn)被固定）兩個(gè)端點(diǎn)被固定 u|x=0=0, u|x=l=0, t 0 稱(chēng)為第一邊值條件稱(chēng)為第一邊值條件 （2）弦的兩個(gè)端點(diǎn)為自由端，則最后得到的邊值條件為）弦的兩個(gè)端點(diǎn)為自由端，則最后得到的邊值條件為 u/ x|x=0 =0, u/ x|x=l =0 稱(chēng)為第二邊值條件稱(chēng)為第二邊值條件精選ppt2.4 定解條件和定解問(wèn)題定解條件和定解問(wèn)題 （3）兩個(gè)端點(diǎn)為彈性支撐端，根據(jù)胡克定律，）兩個(gè)端點(diǎn)為彈性支撐端，根據(jù)胡克定律，最后得到的邊值條件為最后得到的邊值條件為 （ u