初中數(shù)學證明三角形全等方法總結

1、初中數(shù)學證明三角形全等方法總結姓名：指導:日期：在證明線段或角相等時，解題的關鍵往往是根據(jù)條件找到兩個可能全等的三角形，再證明這兩個三角形全等，最后得出結論.利用全等三角形的性質可以證明分別屬于兩個三角形中的線段或角相等.下面介紹證明三角形全等的幾種方法，供同學們參考.一、利用公共角證明全等例題1如圖1 ,已知AB = AC, AE=AF , BF交CE于點0.求證:/ABF = zACE.分析：要證明zABF = zACE ,只需證明BOE里aCOF或&ABF*ACE.而由 圖形可知zA是公共角,又由已知條件AB = AC, AE=AF,所以 ABF*ACE ( SAS ),于是問題

2、獲證.證明：略.二、利用對頂角證明全等【例題2如圖2 ,點B、E、F、D在同一條直線上，AB=CD , BE=DF , AE二CF ,連接AC交BD于點0 .圖2求證：AO = CO .分析：要證明AO = CO ,只需證明AOECOF或AOB之2COD即可.根 據(jù)現(xiàn)有條件都無法直接證明而由已知條件AB二CD,BE二DF,AE=CF可 直接證明 SBEaCDF ,則有/AEB=/CFD ,進而有zAEO=zCFO,再利用 對頂角相等即可證明&AOEaCOF ( AAS )于是問題獲證.證明：略.三、利用公共邊證明全等【例題3如圖3 ,已知AB二CD , AC二BD .分析：設AC與BD

3、交于點0 ,此時/B與nC分別在 MOB和DOC中， 而用現(xiàn)有的已知條件是不可能直接證明這兩個三角形全等的，需添加輔助線來構 造另一對全等三角形.此時可以連接AD ,那么AD是 MBD和DCA的公 共邊，這樣可以證明 MBDDCA (SSS),從而可證明zB=/C ,于是問題 獲證.證明：略.四、利用相等線段中的公共部分證明全等例題4如圖4 ,點E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點,求證:BEllDF.分析：要證明BEllDF,只需證明zBEC=nDFA ,此時可以轉換為證明zAEB二 nCFD,進而證明aAEB2aCFD ( SAS ).而 AE = AF - EF , CF =

4、CE - EF ,古攵 AE = CF .證明：V在平行四邊形ABCD中,/. ABnCD , AB = CD ,/. zBAE = zDCF ,v AE = AF-EF/CF = CE-EF/AF = CE ,/. AE = CF ,SEB 之 aCFD(SAS),zAEB = zCFD,/. zBEC = 1800- zAEB = 180°- zCFD = zDFA , /. BEllDF.五、利用等角中的公共部分證明全等【例題 5如圖 5,已知 zE = 30°,AB = AD ,AC = AE ,zBAE = zDAC .求：zC的度數(shù).分析：已知nE=30

5、6; ,要求nC ,可考慮證明 SBC少ADE ,由zBAE = nDAC ,結合圖形可知/BAC =zDAE ,于是問題獲解.證明：zBAE = zDAC ,zBAE + zEAC = zDAC + zEAC ,/. zBAC =zDAE ,AB = AD , AC = AE ,SBC ”ADE ( SAS ),/. zC = zE = 30°.六、利用互余或互補角的性質證明全等【例題6如圖6 ,已知zDCE = 90° , zDAC = 90°, BE±AC于點Bz且 DC = EC,能否找出與AB + AD相等的線段,并說明理由.E分析：由于 AC

6、 = AB + BC ,可以猜想 AC = AB + AD，或 BE =AB + AD , 此時只需證明AD=BC即可而事實上用同角的余角相等可得到zDCA二 zE ,從而證明&ADC空&BCE ,問題獲證.注意考點：同角或等角的余角相等.證明：V BE_lAC ,/. zEBC = 90° ,v zDCA + zACE = zDCE = 90° , zE + zACE = 90° , /. zDCA =zE ,v zDAC = zEBC = 90° , DC = EC,/. 5DC-BCE( AAS),/. AC = BE , AD =

7、 BC ,/. AB + AD = AB + BC = AC = BE .七、利用角平分線的，性質構造全等三角形證明全等考點：角平分線上的點到角兩邊的距離相等例題7如圖7 ,點P是zABC的平分線BN上一點，PE垂直AB所在 的直線與E , PF垂直BC所在的直線于F, zPAB + zPCB=180°.E證明：BN 是 zEBC 的角平分線，PE±BA , PF±BC ,/. zPEA = zPFC = 90°, PE = PF,v zPAB + zPAE = zPAB + zPCB = 180° ,/. zPAE = zPCF ,SAE 空

8、 aPCF ,PA = PC.八、利用截長補短法構造全等三角形證明全等所謂截長法是指在較長的線段上截取一條線段等于較短的線段,而補短法是指 延長較短的線段等于較長的線段，通過截長補短可以把分散的條件相對集中起 來，以便構造全等三角形?！纠}8如圖8 ,在 SBC中，nC = 2nB , zl = z2.求證：AB = AC + CD.第7頁共10頁分析從結論分析，"截長"或"補短"都可實現(xiàn)問題的轉化，即延長AC至E 使 CE = CD ,來證明 MDB 2 &ADE ( AAS ).始 AB上截取AF = AC ,來證明 MDF空&ADC

9、 ( SAS ),AB = AF + FB = AF + FD = AC + CD .證明：略.九、利用"一線三等角"模型構造全等三角形證明全等所謂”一線三等角是指一條直線上有三個相等角，如果有一組邊對應相等則 可以構造全等三角形.類型一：直角三角形中的"一線三等角“模型例題9如圖9 ,在 MBC中，/B = 90°, CD±AC ,過點D作DE±BC 交BC延長線于點E ,且AC=CD ,第8頁共io頁第io頁共io頁求證：aABC 空 aCED.證明： / DE_1_BC , CD±AC ,/. zDEC = 90° z zACD = 90° , nA + zACB = 90° z zACB + zDCE = 1800- zACD = 90° ,./A = zDCE , / zB = zE = 90°, AC = CD, zA = zDCE ,/. &ABC 空 aCED ( AAS ).類型二：等腰三角形中底邊上的"一線三等角”模型AB、BC 上 ;【例題10如圖10，在SBC中，AB=AC ,點D、E分別在 作zDEF=/B ,射線EF交線段AC于點F ,若DE二EF,求證:ADBE 空 AECF.證明： AB = AC