線(xiàn)性代數(shù)自考知識(shí)點(diǎn)匯總

1、行列式1. 行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 D Dt .性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).推論1如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素完全相同，則此行列式的值為零a b c如 a b c 0a b c性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式a11a12a13a11a12a13如ka?ika?2ka?3ka21a22a23a31a32a33a31a32a33推論2 如果行列式中有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值為零.a b c如 a b c 0ka kb kc性質(zhì)4 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之

2、和a11a12a13a11a12a13a11a12a13如a21 a21a22 a22a23a23a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33a31a32a33性質(zhì)5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變a11a12a13a11a12a13如a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31ka11a32ka12a33ka132. 余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，把元素 aj所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的n-1階行列式叫做元素 aj的余子式,記作Mj，A311312313如32132232333

3、1332333(1)i iMij叫做元素ay，元素323的余子式為M 23元素323的代數(shù)余子式為 A23（ 1）2 3M233.行列式按行（列）展開(kāi)法則的代數(shù)余子式.ai1a31311331ai2a32312332定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即D3i 1 Ai 13i2i1,2,L,n;311312313321322323331332333Ai 2L 3in Ain 或 D a1 j A1 j a2j A2jL3nj Anj1,2L n311A11a12 A12a13 A13定理2 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘

4、積之和等于零，即ai1Aj 1ai2Aj2Lain Ajn0,或 a1 j A1j a2 j A2 j Lanj Anj 0, i j i 1,2,L ,n;j 1,2L n4.行列式的計(jì)算（1 ）二階行列式311321312322311322312 321（2）三階行列式311312313321322323331332333311322333312323331313321332313322331312321333311323332對(duì)角行列式1212Ln，21ONnnn( m 1 )1)212L na11（4）三角行列式a?1a?2MMOan1an2Lanna11ai,n 1aina2,n 1

5、ai2La22 LOaina2nMannai1 a22 L anna11Ka21 Ka2,n 1an1an1an2dna2nMannn( n 1)(1)1 2 * * * *ama2,n 1L aM（5）消元法：利用行列式的性質(zhì)，將行列式化成三角行列式，從而求出行列式的值（6 ）降階法：禾U用行列式的性質(zhì)，化某行（列）只有一個(gè)非零元素，再按該行（列）展開(kāi)，通過(guò)降低 行列式的階數(shù)求出行列式的值 （7）加邊法：行列式每行（列）所有元素的和相等，將各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，進(jìn)而求出行列式的值 矩陣1.常見(jiàn)矩陣0的方陣，稱(chēng)為對(duì)角矩陣記作A.311312L31n322L32n0的方陣

6、如OM3nn如3213220的方陣如MMOan13n2L3nnA，即 3ijaji ,則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣TA，即aij3ji，則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角矩陣，稱(chēng)為單位矩陣記作E.E或AtA E，則稱(chēng)A為正交矩陣7）正交矩陣：設(shè)A為n階方陣，如果 AA72. 矩陣的加法、數(shù)乘、乘法運(yùn)算(1)矩陣的加法abcabcaab b c c如defdefdde e f f注： 只有同型矩陣才能進(jìn)行加減運(yùn)算； 矩陣相加減就是對(duì)應(yīng)元素相加減 .(2) 數(shù)乘矩陣a b c ka kb kc如kd e f kd ke kf注：數(shù)乘矩陣就是數(shù)乘矩陣中的每個(gè)元素 .(3) 矩陣的乘法：設(shè) A (aij )ms,B (bi

7、j )s n ，規(guī)定 AB C (cij )mn,s其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L aisbsjaik bkj(i 1,2 ,L ,m, j 1,2 ,L ,n.)k1注：左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣 B的行數(shù); 左矩陣A的第i行與右矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和是矩陣乘積 C的元素Gj 左矩陣A的行數(shù)為乘積 C的行數(shù)，右矩陣 B的列數(shù)為乘積 C的列數(shù)如行矩陣乘列矩陣是一階方陣(即一個(gè)數(shù)) ，即b11a11 a12 La11b11a12b21L a1sbs1列矩陣乘行矩陣是 s 階方陣，即a11a11b11a11b12La11b1sa21a21b11a21b12La21b1sb1

8、1 b12 Lb1sM 11 12 1sMMMas1as1b11as1b12Las1b1s3. 逆矩陣設(shè)n階方陣A、B，若AB=EBA=E，貝U A,B都可逆，且A 1B,B1 A.(1)二階方陣求逆，設(shè)，則A 1|AA1ad be（兩調(diào)一除法）a對(duì)角矩陣的逆aia1O1On分塊對(duì)角陣的逆AA2a2a2OnanOn1a2As1A2般矩陣求逆，初等行變換的方法:As1ERT4. 方陣的行列式的行列式記作A或det （A）.由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變）叫做方陣5. 矩陣的初等變換下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行（列）變換：（1 ）互換兩行（列）；（2 ）數(shù)乘某行（列）；（3 ）

9、某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）6. 初等矩陣單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣，稱(chēng)為初等矩陣001100100如010,0k0,010都是初等矩陣100001k017. 矩陣的秩矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱(chēng)為矩陣A的秩記作R （ A）或r （ A）.求矩陣的秩的方法：（1 ）定義法：找出 A中最高階的非零子式，它的階數(shù)即為 A的秩（2 ）初等行變換法：A已只丁 行階梯形矩陣，R（ A）=R （行階梯形矩陣）=非零行的行數(shù)8. 重要公式及結(jié)論（1 ）矩陣運(yùn)算的公式及結(jié)論A BB A,(A B) C A (B C),(AB) AB(AB)CA(BC),(AB)C ACbc,(AB)(A)BA(

10、 B)Ak1 Ak2Ak1k2(Ak1)k2Ak1k2J(A)kkAk ,Ek EAB kA BA k 1'b.EA AEa,A0EAt TA, (AB)Tatbt,A Tat,AB TbtatA 丁 At , AB B A ,AA A A |A EAT| |a, I A n A, AB ab| |ba, An| |a： |a b |a |b 矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，即一般地AB MAB;矩陣乘法不滿(mǎn)足消去律，即一般地若AB=AC，無(wú)B=C ;只有當(dāng)A可逆時(shí)，有B=C.一般地若 AB=O，則無(wú)A=O或B=O.222A B B?A2 2AB B2.（2 ）逆矩陣的公式及定理A1A,1丄A1

11、1ABAt 1A1TA1A可逆A11IAA,AkAAA1k|A|工0AE(即A與單位矩陣E等價(jià))(3 )矩陣秩的公式及結(jié)論R(O)0,R(Am n) min m,n ,R( At ) R( A),R( kA)R(A),k 0R(A) n, R A BR( AB )<R( A ), R( AB ) WR( B ).特別地,當(dāng) A 可逆時(shí)，R(AB)=R(B)；B 可逆時(shí)，R(AB)=R(A).A ETB A B R A R即等價(jià)矩陣的秩相等或初等變換不改變矩陣的秩9. 矩陣方程(1 )設(shè)A為n階可逆矩陣，B為n Xm矩陣，則矩陣方程AX=B的解為X A 1B ；解法：求出A1，再計(jì)算A 1

12、B ；ERT(2 )設(shè)A為n階可逆矩陣，B為m Xn矩陣，則矩陣方程XA=B的解為X BA1 ；1 1解法：求出A，再計(jì)算BA ； A ECT EB10. 矩陣間的關(guān)系(1 )等價(jià)矩陣：如果矩陣 A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B，那么稱(chēng)矩陣A與B等價(jià).即存在可逆矩陣 P, Q，使得PAQ=B.性質(zhì)：等價(jià)矩陣的秩相等(2 )相似矩陣：如果存在可逆矩陣 P，使得P 1AP B，那么稱(chēng)A與B相似.性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，相同的特征值，相同的行列式，相同的跡(3)合同矩陣：如果存在可逆矩陣P,使得PtAP B，那么稱(chēng)A與B合同.性質(zhì)：合同矩陣的秩相等向量空間1. 線(xiàn)性組合(1 )若= k卩，則

13、稱(chēng)向量a與卩成比例.(2 )零向量O是任一向量組的線(xiàn)性組合.(3 )向量組中每一向量都可由該向量組線(xiàn)性表示.2. 線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)(1 )單獨(dú)一個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是零向量.(2 )單獨(dú)一個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是非零向量.(3 )兩向量線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量對(duì)應(yīng)成比例(4 )兩向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量不對(duì)應(yīng)成比例(5 )含有O向量的向量組一定線(xiàn)性相關(guān).(6 )向量組!, 2,K , m線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是 齊次線(xiàn)性方程組& 1 k2 2 Lkm m 0有非零解. 以向量組為列作的矩陣1, 2K , m的秩 < 向量的個(gè)數(shù)m.(7) n個(gè)n維向量1, 2L , n線(xiàn)性

14、相關(guān)的充分必要條件是以向量組為列作的行列式的值1, 2K , n =0.(8 )向量組1, 2,K , m線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 齊次線(xiàn)性方程組k1 1 k2 2 L km m 0只有零解. 以向量組為列作的矩陣1, 2,K , m的秩=向量的個(gè)數(shù)m.(9) n個(gè)n維向量i, 2L , n線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是以向量組為列作的行列式的值1, 2 K , n工0.(10 )當(dāng)m>n時(shí)，m個(gè)n維向量一定線(xiàn)性相關(guān).定理1 ：向量組，a? , am (m >2)線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是向量組中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線(xiàn)性表示.向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是向量組中任何一個(gè)向量

15、都不能由其余向量線(xiàn)性表示.定理2 :如果向量組 A : ai , a?,ar線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而向量組 a , a?,a，a線(xiàn)性相關(guān)，則a 可由A線(xiàn)性表示，且表示式唯一.定理 3 :設(shè)向量組 A： 1, 2,L , r , B :1, 2 L , r , r 1 L , m若A線(xiàn)性相關(guān)，則向量組 B也線(xiàn)性相關(guān)；反之，若向量組B線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組 A也線(xiàn)性無(wú)關(guān).(即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，則部分無(wú)關(guān))定理4 :無(wú)關(guān)組的截短組無(wú)關(guān)，相關(guān)組的接長(zhǎng)組相關(guān)3. 極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩定義1如果在向量組 T中有r個(gè)向量a , a? ,ar 滿(mǎn)足條件： 向量組a，a? , ar線(xiàn)性無(wú)關(guān)，T ,1, 2L ,

16、 r,線(xiàn)性相關(guān).那么稱(chēng)向量a1 , a2 ,ar是向量組T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.定義2 向量組的極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為向量組的秩定義3 矩陣的行向量組的秩稱(chēng)為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱(chēng)為矩陣的列秩。結(jié)論1線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是它本身。結(jié)論2 如果向量組的秩是r，那么該向量組的任意 r個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都是它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。定理1 設(shè)向量組A:a,a2,a；及向量組B:b,b2,bs，如果組A能由組B線(xiàn)性表示，且組 A線(xiàn) 性無(wú)關(guān)，則r角.推論 1 等價(jià)的向量組有相同的秩 .定理2 矩陣的秩=矩陣列向量組的秩=矩陣行向量組的秩4. 向量空間定義1設(shè)V為n維向量的集合，如果集合

17、 V非空，且集合V對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就 稱(chēng)集合 V 為向量空間 .5. 基與向量在基下的坐標(biāo)定義2 設(shè)V是向量空間，如果向量組 a，a? , , ar 滿(mǎn)足條件：（1 ）向量組 a1 , a2 , , ar 線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2 ）T ， 1, 2,L , r, 線(xiàn)性相關(guān) .那么稱(chēng)向量組a1 , a2 ,ar是向量空間V的一個(gè)基， 基中所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量空間 V的維數(shù)， 記作 dimV ，并稱(chēng) V 為 r 維向量空間定義3 設(shè)向量組a，a2 ,a是向量空間V的一個(gè)基，則 V中任一向量x可唯一地表示為基的一 個(gè)線(xiàn)性組合，即 x 1a1 2a2 Lrar ，稱(chēng)有序數(shù)組1, 2L , r

18、為向量x在基a , a2 ,ar下的坐標(biāo).線(xiàn)性方程組1. 線(xiàn)性方程組解的判定（1 ） 線(xiàn)性方程組 Ax=b 有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣 A 和增廣矩陣（ A,b ）的秩相同，即 R（A）=R （A， b）.當(dāng) R（A）=R （A， b）=r 方程組 AX=b 有惟一解的充分必要條件是 r=n; 方程組 AX=b 有無(wú)窮多解的充分必要條件是 r n.(2 )方程組AX= b無(wú)解的充分必要條件是 R(A) MR (A , b ).2. 齊次線(xiàn)性方程組有非零解的判定(1 )齊次方程組AX=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩R(A) 未知量的個(gè)數(shù)n .(2 ) 含有 n 個(gè)方程， n 個(gè)未

19、知量的齊次線(xiàn)性方程組 AX=0 有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù) 行列式等于零 .(即 |A|=0 )(3)齊次線(xiàn)性方程組 AX=0中，若方程的個(gè)數(shù) m未知量的個(gè)數(shù)n,則方程組有非零解3. 齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)(1 )若 1, 2 是 Ax=0 的解,則 12 也是 Ax=0 的解；(2 )若 是 Ax=0 的解,則 k 也是 Ax=0 的解 .4. 齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系與通解( 1 ) 解空間齊次線(xiàn)性方程組 Ax=0 的全體解向量所組成的集合,是一個(gè)向量空間,稱(chēng)為方程組Ax=0 的解空間.記作 V，即 V= x | Ax=0 , x R .( 2 ) 基礎(chǔ)解系齊次方程組 AX=0

20、的解空間 V 的一個(gè)基,稱(chēng)為齊次方程組 AX=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . 基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)是 n-r ( A) .方程組 AX=0 的任意 n-r 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解都是 AX=0 的基礎(chǔ)解系 .(3 )齊次線(xiàn)性方程組的通解為k1 1 k2 2 Lkn r n r ,其中 1, 2,L , n r 是 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系.5. 非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)(1 )若 1, 2是 Ax=b 的解,則 12是 Ax=0 的解；即 Ax=b的任意兩個(gè)解的差必是其導(dǎo)出組Ax=0的解.(2 )若是Ax=b的解， 是Ax=0的解，則是Ax=b的解.即 Ax=b的任意一個(gè)解和其導(dǎo)出組Ax=0的任意一個(gè)解之和

21、仍是Ax=b 的解.6. 非齊次線(xiàn)性方程組的通解非齊次線(xiàn)性方程組 AX=b的通解為ki i k22 Lkn r n r其中1, 2L , n r為對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,為非齊次線(xiàn)性方程組AX=b的任意一個(gè)解，稱(chēng)為特解方陣的特征值1. 向量的內(nèi)積XiX2M，yy1y2，則x, y的內(nèi)積為 x,yx1y1%y2 LM人齊.Xnyn(1)向量x的長(zhǎng)度:1 、非零向量的單位化：若向量x工0 ,則廠x是單位向量lxlx,y 0時(shí),稱(chēng)向量x與y正交.若非零向量組中的向量?jī)蓛烧唬瑒t稱(chēng)該向量組為正交組.若正交組中每個(gè)向量都是單位向量，則稱(chēng)它為標(biāo)準(zhǔn)正交組 定理1 正交向量組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)定理

22、2 A為正交矩陣的充分必要條件是A的列(行)向量都是單位向量且兩兩正交.(6 )施密特正交化過(guò)程1, 2, 3是一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組,正交化：令11,2 a21 ,a3a31單位化：取e1e33等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交組2. 特征值與特征向量(1 )方陣A的特征值是特征方程A E0的根.三角矩陣和對(duì)角矩陣的全部特征值就是它的全部對(duì)角元.方陣和它的轉(zhuǎn)置方陣有相同的特征值n, A 12L設(shè)1, 2,L , n是n階方陣A的全部特征值，則tr A 12 L即方陣A的對(duì)角線(xiàn)上元素之和等于 A的全部特征值之和，方陣A的行列式等于 A的全部特征值的乘積(5 )若是方陣A的特征值，則f是方陣f A的特征值特別地，當(dāng)f

23、A0時(shí)，方陣A的特征值是f0的根說(shuō)明:f(x) amXm amm 1-1x Laix a, f (A) amAm am iAm 1 L例如是方陣A的特征值,則方陣fA A 2E的特征值是f2.方陣f AA2 3A 4E的特征值是f34.2 2例如若1, 2 4 ki,k2不全為零也是0的A 3A 4E 0 ,則方陣A的特征值是34 0的根，即(6)設(shè)Pi,P2都是方陣A的屬于同一特征值 0的特征向量，則kiR k2P2特征向量.(7 )屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)(8 )屬于不同特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的并集仍線(xiàn)性無(wú)關(guān)3. 方陣的對(duì)角化(1 )若方陣A與對(duì)角矩陣A相似，則說(shuō) A可以對(duì)角化

24、即存在可逆矩陣P，使得P 1AP(A是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.)(2 ) n階方陣A可以對(duì)角化的充分必要條件是 A 有 n 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；屬于每一個(gè)特征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)與該特征值的重?cái)?shù)相同(3 )n 階方陣 A 可以對(duì)角化的充分條件是n 階方陣 A 的 n 個(gè)特征值互不相等(4)若 A 與 B 相似，則 f A 與 f B 相似.4. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化(1 )實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交.(2 )實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以對(duì)角化即存在正交矩陣 P,使得P 2 ,L , n ，最后做正交變換 x=Cy ，得到 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為2 ,L , n 是 fxT Ax 的矩陣 A 的特征值 .)2 ) 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟AP .(A是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣