奧數(shù)題的幾種常見解決方法

1、v1.0可編輯可修改成數(shù)”、“折數(shù)”即“十分數(shù)”，它們常用中國數(shù)字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根據(jù)其文字去讀。它們也常用分母為十的分數(shù)，或者用百分數(shù)去表示，這時便可按分數(shù)、百分數(shù)的方法去讀。“千分數(shù)”是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的千分之幾的分數(shù)，它常用“千分號”-“%?！眮韺懬Х謹?shù)，如某地人口出生率為千分之七，寫作“ 7%?！?，讀作“千分之七”?！究茖W(xué)記數(shù)法】用帶一位整數(shù)的小數(shù)，去乘以 10的整數(shù)次福來表示一個數(shù)的方法，叫做“科學(xué)記數(shù)法”。利用小數(shù)點移動的規(guī)律，很容易把一個數(shù)用“科學(xué)記數(shù)法”表達為“ axl0n（Ka<l0,n是整數(shù)）”的形式。例如：25700,把

2、小數(shù)點向左移動四位，得1<<10,但比25700小了 10000倍，所以25700=X 104。,把小數(shù)點向右移動三位，得 1<<10,但比大了 1000倍，所以【近似數(shù)截取方法】截取近似數(shù)的方法，一般有四舍五入法、去尾法和進一法三種。四舍五入法省略一個數(shù)的一部分尾數(shù)，取它的近似數(shù)的時候，如果要舍去的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4 ,或者是比4小的數(shù)，就把尾數(shù)舍去；如果要舍去的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 5,或者是比5大的數(shù)，把尾數(shù)舍去以后， 要向它的前一位進一。這種求近似數(shù)的方法叫做“四舍五入法”。例如，把8, 654, 000四舍五入到萬位，約等于865萬；把四舍五入保留兩位小數(shù)

3、約等于；把2, 873, 000,000四舍五入到億位，約等于29億；把四舍五入精確到百分位約等于。去尾法要省略的尾數(shù)不論是多少，一律舍去不要，這種求近似數(shù)的方法叫做“去尾法”。進一法省略某一個數(shù)某一位后面的尾數(shù)時，不管這些尾數(shù)的大小，都向它的前一位進一。這種求近似數(shù) 的方法，叫做“進一法”。顯然，用“進一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“過剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法 截取的近似值，叫做“不足近似值”。值得注意的是：在近似數(shù)的取舍結(jié)果中，小數(shù)點后最右一位上的零必須寫上。例如，把四舍五入，保留兩位 小數(shù)得，即*,最后的“ 0”不可去掉，否則，它只精確到十分位了?！举|(zhì)數(shù)判定方法】

4、判定一個較大的數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，一般有兩種方法。(1)查表法。用查質(zhì)數(shù)表的方法，可以較快地判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)：質(zhì)數(shù)表上有的是質(zhì)數(shù)，同一范圍內(nèi)的 質(zhì)數(shù)表上沒有這個數(shù)，那它便是個合數(shù)。(2)試除法。如果沒有質(zhì)數(shù)表，也來不及制作一個質(zhì)數(shù)表，可以用試除來判斷。例如，要判定161和197是不是質(zhì)數(shù)，可以把這兩個數(shù)依次用2、3、5、7、11、13、17、19等質(zhì)數(shù)去試除。這是因為一個合數(shù)總能表示成幾個質(zhì)因數(shù)的乘積，若 161或197不能被這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)整除，那么也一定 不能被這個合數(shù)整除。所以，我們只要用質(zhì)數(shù)去試除就可以了。由161+7=23,可知161的約數(shù)除了 1和它本身外，至少還有 7和23。所以，

5、161是合數(shù)，而不是質(zhì)數(shù)。由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197+17=1110,這時的除數(shù)17已大于不完全商 11,于是可以肯定：197是質(zhì)數(shù)，而不是合數(shù)。因為 197除了它本身以外，不可能有比17大的約數(shù)。假定有，商也一定比11小。這就是說，197同時還要有比11小的約數(shù)。但經(jīng)過試除，比11小的質(zhì)數(shù)都不能整除 197,這說明比11小的約數(shù)是不存在的，所以197是質(zhì)數(shù)，不是合數(shù)?！咀畲蠊s數(shù)求法】最大公約數(shù)的求法，一般可用下面四種方法。(1)分解質(zhì)因數(shù)法。先把各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)公有的一切質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是所求的最大公約數(shù)。 例如，求2940、756和168的最大公

6、約數(shù)：2940=22 X3X5X72,756=22X 33X 7,168=23X 3X7;.(2940, 756, 168)=22X3X7=84注：”(2940, 756, 168)=84”的意思，就是“294a756和168的最大公約數(shù)是 84” 。(2)檢驗公約數(shù)法?！皺z驗公約數(shù)法”即“試除法”，也是小學(xué)數(shù)學(xué)課本介紹的那一種一般的求法，此處略。(3)輾轉(zhuǎn)相減法。較大的兩個數(shù)求最大公約數(shù)，可以用“輾轉(zhuǎn)相減法”：用大數(shù)減小數(shù)，如果減得的差與較 小的數(shù)不相等，便再以大減小求差，直到出現(xiàn)兩數(shù)相等為止。這時，相等的數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。例如，求792和594的最大公約數(shù)。.(792 , 594

7、)=(792-594 , 594)=(198, 594)=(594-198 , 198)=(198, 396)=(198 , 396-198)=(198, 198)=198,. .(792, 594)=198。用輾轉(zhuǎn)相減法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，可以推廣到求n個數(shù)的最大公約數(shù)，具體做法是：可以不拘次序地挑選最方便的，從較大的數(shù)里減去較小的數(shù)。這樣逐次做下去，直到所得的差全部相等為止。這個相等的差，就是 這些數(shù)的最大公約數(shù)。例如，求1260、1134、882和1008的最大公約數(shù)。.(1260 , 1134, 882, 1008)=(1260-1134 , 882, 1008-882, 1134-

8、882)=(126, 126, 882, 252)=(126, 126, 882-126X 6, 252-126)=(126, 126, 126, 126)=126,. .(1260, 1134, 882, 1008)=126。(4)輾轉(zhuǎn)相除法(歐幾里得算法)。用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，步驟如下：光用較小數(shù)去除較大的數(shù)，得到第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)去除較小的數(shù)，得到第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)去除第一個余數(shù)，得到第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是 0為止。這時，余數(shù)“ 0”前面的那個余數(shù)，便是這兩 個數(shù)的最大公約數(shù)。求兩個較大的數(shù)的最大公約數(shù)，用上面的第一、二種

9、方法計算，是相當(dāng)麻煩的，而采用“輾轉(zhuǎn)相除法”去求,就簡便、快速得多了。例如，求437和551的最大公約數(shù)。具體做法是：先將437和551并排寫好，再用三條豎線把它們分開。然后依下述步驟去做：(1)用較小數(shù)去除較大數(shù)把商數(shù)“ 1”寫在較大數(shù)的線外，并求得余數(shù)為114。(2)用余數(shù)114去除437,把商數(shù)“3”寫在比114大的數(shù)(437)的線外，并求得余數(shù)為 95。(3)用余數(shù)95去除114,把商數(shù)“1”寫在114右邊的直線外，并求得余數(shù)為 19。(4)用余數(shù)19去除95,把商數(shù)"5”寫在 95左邊的直線外面，并求得余數(shù)為0。(5)當(dāng)余數(shù)為0時，就可斷定余數(shù) 0前面的那一個余數(shù) 19,就

10、是437和551的最大公約數(shù)。又如，求67和54的最大公約數(shù)，求法可以是由余數(shù)可知，67和54的最大公約數(shù)是1。也就是說，67和54是互質(zhì)數(shù)。輾轉(zhuǎn)相除法，雖又稱作“歐幾里得算法”，實際上它是我國最先創(chuàng)造出來的。早在我國古代的九章算術(shù) 上，就有“以少減多，更相減損”的方法求最大公約數(shù)的記載。一般認為，“輾轉(zhuǎn)相除法”即源于此。這比西方 人歐幾里得等人的發(fā)現(xiàn)要早 600年以上。輾轉(zhuǎn)相除法是求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的方法。如果要求三個或三個以上數(shù)的最大公約數(shù)，可以用它先求出其 中兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù)。這樣依次下去，直到最后一個數(shù)為止。 最后的一個最大公約數(shù)，就是這幾

11、個數(shù)所要求的最大公約數(shù)?！痉謹?shù)最大公約數(shù)求法】自然數(shù)的最大公約數(shù)的定義，可以擴展到分數(shù)。一組分數(shù)的最大公約數(shù)一定是分數(shù)，而這組分數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，應(yīng)得整數(shù)。求一組分數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：(1)先將各個分數(shù)中的帶分數(shù)化成假分數(shù)；(2)再求出各個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)a;(3)然后求出各個分數(shù)分子的最大公約數(shù)b;再求出三個分母的最小公倍數(shù)，得72;然后求出三個分子 35、21和56的最大公約數(shù)，得 7;【最小公倍數(shù)求法】求最小公倍數(shù)可采用下面三種方法。(1)分解質(zhì)因數(shù)法。先把各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，在所有相同的質(zhì)因數(shù)中，每一個取出指數(shù)最大的，跟所有不同的 質(zhì)因數(shù)連乘起來，就是所求的最小公倍數(shù)。例

12、如，求120、330和525的最小公倍數(shù)。.-120=23X 3X5,330=2X 3X5X11,525=3X 52x 7；.120, 330, 525=23X3X52X7X11=46200注：”120, 330, 525=46200”表示“120、330和525三個數(shù)的最小公倍數(shù)是46200”。(2)檢驗公約數(shù)法。“檢驗公約數(shù)法”即“試除法”或“用短除法的求法”，也就是小學(xué)數(shù)學(xué)課本上介紹的 一般方法，此處略。(3)先求最大公約數(shù)法。由于“兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積”，即a? b=(a , b) ? a , b所以，兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，可由這兩個數(shù)的乘積除以這兩個數(shù)

13、的最大公約數(shù)來求得。即例如，求42 , 105。若要求三個或三個以上的數(shù)的最小公倍數(shù)，可以先求其中兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，再求這個最小公倍數(shù)與第三 個數(shù)的最小公倍數(shù)，再求這個最小公倍數(shù)與第四個數(shù)的最小公倍數(shù)，如此依次做下去，直到最后一個數(shù)為 止。最后求得的那個最小公倍數(shù)，就是所要求的這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如，求300 , 540, 160, 720. .300, 540, 160, 720=21600【分數(shù)最小公倍數(shù)求法】自然數(shù)的最小公倍數(shù)的定義，可以推廣到分數(shù)。一組分數(shù)的最小公倍數(shù)，可能是分數(shù)，也可能是整數(shù)，但它一定是這組分數(shù)中各個分數(shù)的整數(shù)倍數(shù)。求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)，方法是：(1)先將各個

14、分數(shù)中的帶分數(shù)化成假分數(shù)；(2)再求出各個分數(shù)分子的最小公倍數(shù)a;(3)然后求出各個分數(shù)分母的最大公約數(shù)b;再求各分數(shù)分子的最小公倍數(shù)，得35 , 21 , 56=840;然后求各分數(shù)分母的最大公約數(shù)，得(6, 8, 9)=1【數(shù)的互化方法】整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，整數(shù)、假分數(shù)和帶分數(shù)，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)，成數(shù)(或折數(shù))、分數(shù)和百分數(shù)，它們之間可以互化，互化的方法見小學(xué)數(shù)學(xué)課本，此處略。化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)，還可以用移動循環(huán)節(jié)的方法。例如由這些實例，可以得循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的法則如下：(1)純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的法則。純循環(huán)小數(shù)可以化成這樣的分數(shù)：分子是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù)；分母的各位數(shù)字都是9,

15、“9”的個數(shù)同循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。(2)混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的法則。混循環(huán)小數(shù)可以化成這樣的分數(shù)：分子是小數(shù)點后面第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾個數(shù)字是 9,末幾位數(shù)字是0, “9”字的個數(shù)同循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，“ 0”字的個數(shù)和不循環(huán)部分的位數(shù)相同?！痉謹?shù)化有限小數(shù)判斷法】若進一步研究，它又有以下的三種情況：5(即與10互質(zhì))，或者除2和5以外，還包含其他的質(zhì)因數(shù)，那么，這樣的分數(shù)就不能化成有限小數(shù)，而只 能化成無限循環(huán)小數(shù)。這里，又有以下的兩種情況：和5時，這樣的分數(shù)就可以化成純循環(huán)小數(shù)。循環(huán)節(jié)內(nèi)數(shù)字的個數(shù)，跟數(shù)列9, 99, 999,

16、9999,各項中，能被分母 b整除的最小的數(shù)所含“ 9”字的個數(shù)相同。分母37去除9, 99, 999, 9999,能整除的最小的數(shù)是999,即99937（即“999能被37整除“，""是整除符號；亦可逆讀為“ 37能整除999”）也可以表示為 37|999（即“37能整除999”，“|"也是整除符號；亦可逆讀為“ 999能被37整除”。）這里“999”，含有 3個“9”，所以它化成的純循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)內(nèi)數(shù)字的個數(shù)也是3個：以外的質(zhì)因數(shù)，那么這樣的分數(shù)就可以化成混循環(huán)小數(shù)。它的不循環(huán)部分數(shù)字的個數(shù)，跟2和5在分母內(nèi)最高乘方的指數(shù)相同；循環(huán)節(jié)內(nèi)數(shù)字的個數(shù)，跟數(shù)列9, 99, 999, 9999,各項中，能被分母內(nèi) 2和5以外的質(zhì)因數(shù)的積所整除的最小的數(shù)，所含“ 9”字的個數(shù)相同。質(zhì)因數(shù)11,所以這分數(shù)可以化成混循環(huán)小數(shù)。不循環(huán)部分數(shù)字的個數(shù)是3個（最高乘方23的指數(shù)為3）,循環(huán)部分的循環(huán)節(jié)數(shù)字是兩個 （11|99 , “9”的個數(shù)為