企業(yè)退休職工養(yǎng)老金問題的數(shù)學(xué)模型(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上企業(yè)退休職工養(yǎng)老金問題的數(shù)學(xué)模型一、 摘要本文通過對企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革問題進(jìn)行了探究，建立Logistic數(shù)學(xué)模型并使用Matlab來預(yù)測未來一段時間內(nèi)職工的年平均工資，并利用預(yù)測數(shù)據(jù)來推算職工養(yǎng)老金替代率和未來職工的養(yǎng)老金缺口情況和收支平衡進(jìn)行分析與計算。最后提出了合理建議使得建立的模型盡可能地滿足目標(biāo)替代率58.5%和養(yǎng)老保險基金收支平衡。關(guān)鍵詞：Logistic數(shù)學(xué)模型 預(yù)測 替代率 收支平衡二、問題重述我國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險實行“社會統(tǒng)籌”與“個人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個人工資按

2、一定比例（8%）繳納到個人賬戶。這兩個賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險基金。退休后，按職工在職期間每月（或年）的繳費工資與社會平均工資之比（繳費指數(shù)），再考慮到退休前一年的社會平均工資等因素，從社會統(tǒng)籌賬戶中撥出資金（基礎(chǔ)養(yǎng)老金），加上個人工資賬戶中一定比例的資金（個人賬戶養(yǎng)老金），作為退休后每個月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會隨著社會平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個人賬戶中的余額可繼承。個人賬戶儲存額以銀行當(dāng)時公布的一年期存款利率計息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長又與經(jīng)濟(jì)增長相關(guān)。近30年來我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅

3、速，工資增長率也較高；而發(fā)達(dá)國家的經(jīng)濟(jì)和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平?，F(xiàn)在我國養(yǎng)老保險改革正處于過渡期。養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險基金的收支平衡，它關(guān)系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡。影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的一個重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國家對基本養(yǎng)老保險制度的總體思路，未來基本養(yǎng)老保險的目標(biāo)替代率確定為58.5%. 替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。

4、所謂缺口，是指當(dāng)養(yǎng)老保險基金入不敷出時出現(xiàn)的收支之差。問題一：對未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長的形勢做出你認(rèn)為是簡化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問題二：根據(jù)附件2計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），計算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三：假設(shè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老保險基

5、金的缺口情況，并計算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。問題四：如果既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡，該采取什么措施，請給出你的理由。三、模型的假設(shè)1、假設(shè)無論哪一年的個人賬戶儲存額的一年期存款利率利率均為3%；2、假設(shè)企業(yè)職工都愿意參加并繳納養(yǎng)老保險金；3、假設(shè)職工的工資平穩(wěn)增長，不會受到它因素的影響（比如金融危機）；4、假設(shè)個人賬戶養(yǎng)老金領(lǐng)取完后，只發(fā)放基礎(chǔ)養(yǎng)老金。四、符號說明y：年度平均工資；K：個人賬戶養(yǎng)老金；R：基礎(chǔ)養(yǎng)老金；T：替代率；pi：自2000年起，第i年個人工資；五、模型分析問題一 要求對未來我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資

6、增長形勢做出假設(shè)，就要根據(jù)實際情況作出合理的假設(shè)；要求根據(jù)已知數(shù)據(jù)預(yù)測出未來的平均工資，就要根據(jù)達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平后工資增長較慢來建立模型，當(dāng)達(dá)到一定程度后增長速度可能會下降，甚至達(dá)到0。所以這就會想到Logistic數(shù)學(xué)模型。問題二 要求計算養(yǎng)老金替代率，而且在題目中已經(jīng)給出了替代率的計算公式，只要找出退休時的養(yǎng)老金及退休的工資即可。問題三 在題目中提到養(yǎng)老保險基金的缺口即是指養(yǎng)老保險基金入不敷出時的收支出之差，收入就是社會統(tǒng)籌基金賬戶和個人賬戶的和，支出即發(fā)放給職工的養(yǎng)老金保險金額，由附錄三養(yǎng)老金計算公式可以求得支出。問題四 既要達(dá)到目標(biāo)替代率即題目中提到的，又要維持養(yǎng)老保險基金收支平衡

7、，而平衡既是指現(xiàn)在收入的與現(xiàn)在付出的差值為0。六、模型的建立與求解問題一模型：根據(jù)附表一所給數(shù)據(jù)我們用Matlab（代碼見附錄1）做出了如圖1的年份與工資的關(guān)系圖。圖1 山東省職工歷年平均工資統(tǒng)計圖由圖中的變化趨勢，選用指數(shù)趨勢線對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。設(shè)指數(shù)曲線的一般方程為其中的k1,k2表示待定系數(shù)。其中1978表示第一年，以此類推2010表示第33年，這里的t就是表示第幾年。采用1978年至2010年的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，用Matlab軟件計算可得(Matlab代碼見附錄2)： 所以擬合出來的函數(shù)為：帶入t值2011-2035年山東省職工年平均工資的預(yù)測值（如表1所示）表1 用指數(shù)模型預(yù)測2011-2

8、035年山東省職工年平均工資年份2011201220132014201520162017年平均工資37832432004933156332643267345483878年份2018201920202021202220232024年平均工資95781年份2025202620272028202920302031年平均工資年份2032203320342035年平均工資通過表1中預(yù)測數(shù)據(jù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)用指數(shù)增長模型所得的預(yù)測值在后面幾年的逐期增長量過大，不符合實際，所以我們對指數(shù)模型進(jìn)行修改，建立Logistic模型。由題中的意思和實際分析了解到工資的增長務(wù)必會隨著年份的增長，增長速度會慢慢的漸下來

9、，不會一直往上增長。由這樣的分析我們就會想到Logistic數(shù)學(xué)模型。設(shè)r為工資的增長速度也是在經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)時的自然增長速度，分析知日r會隨著工資y的增長而減小，所以可將r表示為y的函數(shù)： （1)為了解釋q可以引一個社會可達(dá)到的最高工資額ym，這樣便可知道當(dāng)時工資的增長率趨于0，由此便可知道：將此式帶人（1）得： （2）因為單位時間內(nèi) 的增量等于乘以,所以可得到如下關(guān)系：將（2）式帶入得： 對此式求解得：我們利用1978年至2010年的山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)，用MATLAB軟件擬合得r=0.1237,ym=所以擬合后的函數(shù)為：擬合的圖像如圖2所示。圖2 Matlab擬合圖由上式可以預(yù)測201

10、1-2035年的平均工資如表2所示。表2 Logistic模型對2011-2035年年平均工資的預(yù)測年份2011201220132014201520162017年平均工資36079405614556251133573276419971805年份2018201920202021202220232024年平均工資802019442099581年份2025202620272028202920302031年平均工資年份2032203320342035年平均工資問題二 對于問題二中求企業(yè)各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資之比，可以先求出各年齡段的總工資，這時可以利用公式:即可求出該年齡段對應(yīng)的工資段的總平均

11、工資。其中表示組中值，m表示該工資段的。表3 各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資比值表年齡段年齡段的總工資比值各年齡段人數(shù)20-240.669128225-29.50.805026330-340.982524235-391.066622640-441.172822145-491.266619450-541.2086613555-59.51.15504101根據(jù)表3數(shù)據(jù)用Matlab繪制散點圖（Matlab代碼見附錄3）如圖3所示。圖3 各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資比值散點圖根據(jù)散點圖可看出其圖像近似二次函數(shù)，并用Matlab擬合函數(shù)（代碼見附錄4）為:所以60-65歲的繳費指數(shù)參考值為1.096

12、8。下面就要計算養(yǎng)老金的替代率了，跟據(jù)題中所給信息和附件3中的公式了解到：（1）養(yǎng)老金=基礎(chǔ)養(yǎng)老金+個人賬戶養(yǎng)老金。（2）個人賬戶養(yǎng)老金=個人賬戶儲存額計發(fā)月數(shù)，用公式表示為：個人賬戶養(yǎng)老金；（3）基礎(chǔ)養(yǎng)老金=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費工資）2繳費年限1%，用公式表示為：基礎(chǔ)養(yǎng)老金 ；本人指數(shù)化月平均繳費工資=全省上年度在崗職工月平均工資本人平均繳費指數(shù)，該指標(biāo)能夠反映參保人員在整個繳費年限的繳費工資平均水平。 能夠正確反映“本人指數(shù)化月平均繳費工資指標(biāo)的計算公式為：。（4）替代率是指職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休前工資的比例，計算公式為由（4）中公式計算問題二情況下的替

13、代率如表4所示。表4 不同年齡參保不同年齡退休的替代率開始交保險時年齡退休時年齡替代率30550.302430600.398730650.534240550.187840600.247940650.3287問題三 主要計算養(yǎng)老保險基金的缺口缺口以及養(yǎng)老金的收支平衡問題。要使收支平衡，即要使退休后每年養(yǎng)老金的累加額等于退休前養(yǎng)老金的繳費額的本息和。（1）參保人員退休后第年所領(lǐng)取的養(yǎng)老金額：；(2)參保人員繳納養(yǎng)老金年后賬戶本息和；(3)退休年后參保人員養(yǎng)老金基金賬戶余額。當(dāng)時表示員工繳存的養(yǎng)老保險金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老保險金之間達(dá)到收支平衡時表明養(yǎng)老保險基金缺口。帶入數(shù)據(jù)統(tǒng)籌基金比例20%，個人賬戶比

14、例8%，個人賬戶比例3%。表5 保險基金缺口與收支平衡年齡分布表年齡30-5530-6030-65額缺口（負(fù)表缺口）65872-平衡是年齡677381問題4 根據(jù)問題二的替代率公式以及問題三的分析知影響替代率及收支平衡的因素有：職工剛開始交養(yǎng)老保險時的年齡、退休年齡、養(yǎng)老金的領(lǐng)取等。所以針對這幾個方面可有如下措施：1、 在其他量不變的情況下，開始交保年齡高一年，養(yǎng)老保險的繳費年限就會減少一年，總交款額會因此減少，個人賬戶儲存額也就相對減少，從而個人賬戶養(yǎng)老金年領(lǐng)取額也降低。2、 提高退休年齡，則總貢獻(xiàn)因繳費年限的延長而增加, 同時, 基礎(chǔ)養(yǎng)老金因給付年限的縮短而減少。而貢獻(xiàn)的增加會導(dǎo)致個人帳戶

15、儲存額增加, 相應(yīng)地, 個人帳戶養(yǎng)老金年給付額也增加, 但個人帳戶養(yǎng)老金給付年限縮短,也有利于缺口問題的緩解。3、 養(yǎng)老保險金領(lǐng)取年限的長短對替代率沒有多大的影響，但是對缺口的影響比較大，養(yǎng)老保險金的領(lǐng)取年限每增加1年，養(yǎng)老金缺口就會增加1.07%，缺口增大就會導(dǎo)致負(fù)債增加，因此為了平衡兩者國家應(yīng)禁止提前退休并鼓勵延長退休年齡，在平均壽命不變的情況下來使得領(lǐng)取養(yǎng)老金的年限縮短，以此來減小養(yǎng)老金的缺口。七、附錄附錄1：t=1978:2010;F=566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074;plot(t,F,o)附錄2： t=1:33;F=566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,