用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的分析

1、 MATLAB分析 1 MATLAB函數(shù)編程1.1 傳遞函數(shù)的整理已知三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為，整理成一般式得G(s)=,其中a為未知參數(shù)。從一般式可以看出系統(tǒng)沒有零點(diǎn)，有三個(gè)極點(diǎn)。（其中一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）1.2 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的定義上升時(shí)間：指響應(yīng)從終值10%上升到終值90%所需的時(shí)間；對于有振蕩系統(tǒng)，亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng) 響應(yīng)速度的一種度量。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。峰值時(shí)間:指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間：指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值5%內(nèi)所需的最短時(shí)間。超調(diào)量 %:指響應(yīng)的最大偏離量h()與終值h()的差與終值h()比

2、的百分?jǐn)?shù)，即%=×100%若h()<h()，則響應(yīng)無超調(diào)。超調(diào)量亦稱為最大超調(diào)量，或百分比超調(diào)量。在實(shí)際應(yīng)用中，常用的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)多為上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。通常，用或評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；用%評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度；而是同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性能指標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出，除簡單的一、二階系統(tǒng)外，要精確確定這些動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的解析表達(dá)式是很困難的。1.3 MATLAB函數(shù)編程求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能根據(jù)三階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式，在MATLAB的Editor中輸入程序：num=2.7aden=1,0.8+a,0.64+a,0.64at=0:0.01:20step(num,den,t)

3、y,x,t=step(num,den,t) %求單位階躍響應(yīng)maxy=max(y) %響應(yīng)的最大偏移量yss=y(length(t) %響應(yīng)的終值pos=100*(maxy-yss)/yss %求超調(diào)量for i=1:2001 if y(i)=maxy n=i;endendtp=(n-1)*0.01 %求峰值時(shí)間y1=1.05*yssy2=0.95*yssi=2001while i>0 i=i-1 if y(i)>=y1|y(i)<=y2;m=i;break end endts=(m-1)*0.01 %求調(diào)節(jié)時(shí)間title('單位階躍響應(yīng)')grid2 三階系

4、統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)及其動(dòng)態(tài)性能分析2.1 三階系統(tǒng)的近似分析根據(jù)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可知該三階系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)=-0.40.693j,因此該三階系統(tǒng)可近似成如下的二階系統(tǒng)： G(s)再利用MATLAB的零極點(diǎn)繪圖命令pzmap，可得該二階系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布，在Editor里面編寫如下程序： H=tf(2.7,1 0.8 0.64);grid pzmap(H);得到零極點(diǎn)分布圖如下： 2.2 編程求解動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)根據(jù)以上求解動(dòng)態(tài)性能的MATLAB函數(shù)程序，在編輯器里面編寫以下程序，得到近似二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。num=2.7den=1,0.8，0.64t=0:0.01:20s

5、tep(num,den,t)y,x,t=step(num,den,t) %求單位階躍響應(yīng)maxy=max(y) %響應(yīng)的最大偏移量yss=y(length(t) %響應(yīng)的終值pos=100*(maxy-yss)/yss %求超調(diào)量for i=1:2001 if y(i)=maxy n=i;endendtp=(n-1)*0.01 %求峰值時(shí)間y1=1.05*yssy2=0.95*yssi=2001while i>0 i=i-1 if y(i)>=y1|y(i)<=y2;m=i;break end endts=(m-1)*0.01 %求調(diào)節(jié)時(shí)間title('單位階躍響應(yīng)&

6、#39;)grid在Editor里面保存好程序，點(diǎn)擊運(yùn)行程序的命令圖標(biāo)。MATLAB命令框輸出： i=662 =6.6100MATLAB輸出的階躍響應(yīng)曲線為： 雙擊Figure1圖形界面，打開單位階躍響應(yīng)的屬性編輯器： 如圖，在Options選項(xiàng)中，將調(diào)節(jié)時(shí)間屬性設(shè)為5%，將上升時(shí)間屬性設(shè)為從10%到90%。再在Figure1圖形界面單機(jī)右鍵，將Characteristics的四個(gè)子選項(xiàng)Peak Responses、Setting Time、Rise Time、Steady State全選中，得到如Figure1中的四個(gè)藍(lán)色的點(diǎn)。將光標(biāo)分別移到藍(lán)點(diǎn)上，圖形上就會(huì)顯示該點(diǎn)的性質(zhì)參數(shù)。 因此，此系

7、統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：最大偏離量h()=4.91終值h()=4.22上升時(shí)間=2.05峰值時(shí)間=4.53調(diào)節(jié)時(shí)間=6.61超調(diào)量 %=16.33 三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.1 高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)一般可以表示為 （3-18）式中，由于均為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)只能是實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)。設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)均為單極點(diǎn)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換可表示為 （3-19）對上式進(jìn)行拉氏反變換可得 （3-20）可見，除常數(shù)項(xiàng)外，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是系統(tǒng)模態(tài)的組合，組合系數(shù)即部分分式系數(shù)。模態(tài)由閉環(huán)極點(diǎn)確定，而部分分式系數(shù)與閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布有關(guān)，所以，閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能均有影響

8、。當(dāng)所有閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部，即所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面時(shí)，隨時(shí)間的增加所有模態(tài)均趨于零（對應(yīng)瞬態(tài)分量），系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)最終穩(wěn)定在。很明顯，閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對值越大，相應(yīng)模態(tài)趨于零的速度越快。在系統(tǒng)存在重根的情況下，以上結(jié)論仍然成立。3.2 當(dāng)a已知時(shí)三階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線3.2.1 當(dāng)a=0.84時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 此時(shí)三階系統(tǒng)的一般表達(dá)式為：G(s)=,將分子分母的系數(shù)代入1.3所述MATLAB程序中，得到：num=2.268den=1,1.64,1.312，0.5376t=0:0.01:20step(num,den,t)y,x,t=step(num,den,t) %求單位階

9、躍響應(yīng)maxy=max(y) %響應(yīng)的最大偏移量yss=y(length(t) %響應(yīng)的終值pos=100*(maxy-yss)/yss %求超調(diào)量for i=1:2001 if y(i)=maxy n=i;endendtp=(n-1)*0.01 %求峰值時(shí)間y1=1.05*yssy2=0.95*yssi=2001while i>0 i=i-1 if y(i)>=y1|y(i)<=y2;m=i;break end endts=(m-1)*0.01 %求調(diào)節(jié)時(shí)間title('單位階躍響應(yīng)')grid 保存并運(yùn)行程序，得到單位響應(yīng)曲線： 從階躍響應(yīng)曲線圖中得到系統(tǒng)

10、的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)： 最大偏離量h()=4.59，終值h()=4.22，上升時(shí)間=2.81，峰值時(shí)間=6.07,調(diào)節(jié)時(shí)間=7.48,超調(diào)量 %=8.74。3.2.2 當(dāng)a=2.1時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 三階系統(tǒng)的一般表達(dá)式為：G(s)=,將3.2.1程序中分子分母的系數(shù)替換為此時(shí)的系數(shù)，程序其余部分不變。運(yùn)行程序得到階躍響應(yīng)曲線如下： 將鼠標(biāo)分別移動(dòng)的圖中四個(gè)藍(lán)點(diǎn)處，得到動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：h()=4.85，h()=4.22，=2.23，=5.09，=7.1，%=14.9。3.2.3 當(dāng)a=4.2時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線三階系統(tǒng)的一般表達(dá)式為：G(s)=,同上，把3.2.1程序中分子分母的系數(shù)替換為此表達(dá)式相

11、應(yīng)的系數(shù)，程序其余部分不變。同樣得到單位階躍響應(yīng)曲線為： 同樣從階躍響應(yīng)曲線得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)： 最大偏離量h()=5.27，終值h()=4.22，上升時(shí)間=1.91，峰值時(shí)間=4.62,調(diào)節(jié)時(shí)間=9.91,超調(diào)量 %=24.9。3.3 三階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析比較 表3-1 三階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析比較 編號 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) % 1 2.816.078.747.48 2 2.235.0914.97.1 3 1.914.6224.99.91 4 2.054.5316.36.61 比較表3-1中第三行與第四行的動(dòng)態(tài)性能，基本可以看出非主導(dǎo)極點(diǎn)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響為：增大峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢，

12、但可以使超調(diào)量%減表明閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)可以增大系統(tǒng)阻尼，且這種作用將隨閉環(huán)極點(diǎn)接近虛軸而加劇。 從以上四幅階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)可以看出，它們的終值相等。說明主導(dǎo)極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)分量，隨時(shí)間的推移衰減緩慢，在系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程中起主導(dǎo)作用。3.4 近似條件3.4.1 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 對穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)對應(yīng)的模態(tài)只影響階躍響應(yīng)的起始段，而距虛軸近的極點(diǎn)對應(yīng)的模態(tài)衰減緩慢，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能主要取決于這些極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)分量。此外，各瞬態(tài)分量的具體值還與其系數(shù)大小有關(guān)。根據(jù)部分分式理論，各瞬態(tài)分量的系數(shù)與零、極點(diǎn)的分布有如下關(guān)系：若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)很??；若某極點(diǎn)接近一零點(diǎn)，而又遠(yuǎn)離

13、其他極點(diǎn)和零點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)也很小；若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)或其他極點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)就比較大。系數(shù)大而且衰減慢的分量在瞬態(tài)響應(yīng)中起主要作用。因此，距離虛軸最近而且附近又沒有零點(diǎn)的極點(diǎn)對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能起主導(dǎo)作用，稱相應(yīng)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)。3.4.2 估算高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的零點(diǎn)極點(diǎn)法 一般規(guī)定，若某極點(diǎn)的實(shí)部大于主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部的56倍以上時(shí)，則可以忽略相應(yīng)分量的影響；若兩相鄰零、極點(diǎn)間的距離比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級時(shí)，則稱該零、極點(diǎn)對為“偶極子”，其作用近似抵消，可以忽略相應(yīng)分量的影響。在絕大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)中，可以選留最靠近虛軸的一個(gè)或幾個(gè)極點(diǎn)作為主導(dǎo)極點(diǎn)，略去比主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸遠(yuǎn)

14、5倍以上的閉環(huán)零、極點(diǎn)，以及不十分接近虛軸的靠得很近的偶極子，忽略其對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。 應(yīng)該注意使簡化后的系統(tǒng)與原高階系統(tǒng)有相同的閉環(huán)增益，以保證階躍響應(yīng)終值相同。利用MATLAB語言的step指令，可以方便準(zhǔn)確地得到高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。4 心得體會(huì) 在此次用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的分析的課程設(shè)計(jì)中，我對三階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能有了更深的認(rèn)識。在控制工程實(shí)踐中，通常要求控制系統(tǒng)既具有較快的響應(yīng)速度，又具有一定的阻尼程度，此外，還要求減少死區(qū)、間隙和庫侖摩擦等非線性因素對系統(tǒng)性能的影響，因此高階系統(tǒng)的增益常常調(diào)整到使系統(tǒng)具有一對閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)。這時(shí)，可以用二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)

15、性能指標(biāo)來估算高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 結(jié)束語 經(jīng)過兩周的使用MATLAB分析控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的課程設(shè)計(jì)，我覺得學(xué)習(xí)像自動(dòng)控制這樣實(shí)用的知識，不僅要掌握書本上的基本內(nèi)容，還要靈活思考，善于變換，這樣才能找到最優(yōu)設(shè)計(jì)，達(dá)到事半功倍的效果。而這是日后最實(shí)用的，真的是受益匪淺。要面對社會(huì)的挑戰(zhàn)，只有不斷的學(xué)習(xí)、實(shí)踐，再學(xué)習(xí)、再實(shí)踐；才能使自己不被社會(huì)淘汰。課程設(shè)計(jì)是培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識,發(fā)現(xiàn),提出,分析和解決實(shí)際問題,鍛煉實(shí)踐能力的重要環(huán)節(jié),是對學(xué)生實(shí)際工作能力的具體訓(xùn)練和考察過程.隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展的日新日異，自動(dòng)化控制已經(jīng)成為當(dāng)今計(jì)算機(jī)應(yīng)用中空前活躍的領(lǐng)域， 在生活中可以說得是無處不在。因此作為二

16、十一世紀(jì)的大學(xué)來說掌握單片機(jī)的開發(fā)技術(shù)是十分重要的。回顧起此次自動(dòng)課程設(shè)計(jì)，至今我仍感慨頗多，的確，從選題到定稿，從理論到實(shí)踐，在整整兩星期的日子里，可以說得是苦多于甜，但是可以學(xué)到很多很多的的東西，同時(shí)不僅可以鞏固了以前所學(xué)過的知識，而且學(xué)到了很多在書本上所沒有學(xué)到過的知識。通過這次課程設(shè)計(jì)使我懂得了理論與實(shí)際相結(jié)合是很重要的，只有理論知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有把所學(xué)的理論知識與實(shí)踐相結(jié)合起來，從理論中得出結(jié)論，才能真正為社會(huì)服務(wù)，從而提高自己的實(shí)際動(dòng)手能力和獨(dú)立思考的能力。在設(shè)計(jì)的過程中遇到問題，可以說得是困難重重，這畢竟第一次做的，難免會(huì)遇到過各種各樣的問題，同時(shí)在設(shè)計(jì)的過程中發(fā)現(xiàn)了自己的不

17、足之處，對以前所學(xué)過的知識理解得不夠深刻，掌握得不夠牢固，通過這次課程設(shè)計(jì)之后，一定把以前所學(xué)過的知識重新溫故。這次課程設(shè)計(jì)終于順利完成了，在設(shè)計(jì)中遇到了很多問題，最后在老師的辛勤指導(dǎo)下，終于游逆而解。同時(shí)，在老師的身上我學(xué)得到很多實(shí)用的知識，在次我表示感謝！同時(shí)，對給過我?guī)椭乃型瑢W(xué)和各位指導(dǎo)老師再次表示忠心的感謝！在這次設(shè)計(jì)中，也要感謝同學(xué)和老師的幫助，相互討論中也使我學(xué)習(xí)了他們不同的思考方式，使我明白了接受別人好的意見也是很重要的。綜上所述，在這次課程設(shè)計(jì)過程中，我既學(xué)習(xí)到了自動(dòng)控制原理的知識，又學(xué)到了許多書本之外寶貴的分析動(dòng)手能力。與其臨淵羨魚，不如退而結(jié)網(wǎng)。這次自動(dòng)控制設(shè)計(jì)給我的最

18、大的印象就是如果自己有了興趣，就動(dòng)手去做，困難在你的勇氣和毅力下是抬不了頭的。 致謝 在過去的不到兩周的時(shí)間里，我感覺很充實(shí)，感覺自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力明顯提高。在這段時(shí)間里，我完成了從以前的僅僅只會(huì)做題到會(huì)使用MATLAB分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。除了自己本身的努力外，當(dāng)然還有指導(dǎo)老師和同學(xué)的幫助。在這里特別感謝劉老師于百忙之中兩次抽出時(shí)間給我們答疑，很及時(shí)地給我們解決了問題。在劉老師耐心地指導(dǎo)下，我少走了很多彎路。劉老師啟發(fā)了我新的思路，讓我找到了解決問題的不同方法。在MATLAB軟件使用方面我也得到了同班同學(xué)的很多幫助，避免了自己一個(gè)人緩慢地摸索。最后再次感謝劉老師的辛勤工作和耐心指導(dǎo)，使得我們通過自己的努力鍛煉了自己的能力！ 參考文獻(xiàn)1胡壽松.自動(dòng)控制原理（第五版）.科學(xué)出版社，2007.62黃堅(jiān).自動(dòng)控制原理及其應(yīng)用.高等教育出版社，2009.73程麗平、劉傳璽、孫秀云.自動(dòng)控制原理與系統(tǒng).天津大學(xué)出版社，2008