第四章 向量組的線性相關(guān)性26238

1、第四章向量組的線性相關(guān)性1設(shè),求及.解 2設(shè)其中,求解 由整理得3舉例說明下列各命題是錯誤的:(1)若向量組是線性相關(guān)的,則可由線性表示.(2)若有不全為0的數(shù)使成立,則線性相關(guān), 亦線性相關(guān).(3)若只有當(dāng)全為0時,等式才能成立,則線性無關(guān), 亦線性無關(guān).(4)若線性相關(guān), 亦線性相關(guān),則有不全為0的數(shù),使同時成立.解 (1) 設(shè)滿足線性相關(guān),但不能由線性表示.(2) 有不全為零的數(shù)使 原式可化為取其中為單位向量,則上式成立,而 ,均線性相關(guān)(3) 由 (僅當(dāng))線性無關(guān)取取為線性無關(guān)組滿足以上條件,但不能說是線性無關(guān)的.(4) 與題設(shè)矛盾.4設(shè),證明向量組線性相關(guān).證明 設(shè)有使得則(1) 若

2、線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),;由不全為零,知不全為零,即線性相關(guān).(2) 若線性無關(guān),則由知此齊次方程存在非零解則線性相關(guān).綜合得證.5設(shè),且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).證明 設(shè)則因向量組線性無關(guān),故因為故方程組只有零解則所以線性無關(guān)6利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組:(1) ; (2) .解 (1) 所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組.(2) ，所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組7求下列向量組的秩,并求一個最大無關(guān)組:(1),;(2),.解(1)線性相關(guān).由秩為2,一組最大線性無關(guān)組為.(2) 秩為2,最大線性無關(guān)組為.8設(shè)是一組維向量,已知維單位坐標(biāo)向量能由

3、它們線性表示,證明線性無關(guān).證明 維單位向量線性無關(guān)不妨設(shè):所以兩邊取行列式，得由即維向量組所構(gòu)成矩陣的秩為故線性無關(guān).9設(shè)是一組維向量,證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示.證明設(shè)為一組維單位向量，對于任意維向量則有即任一維向量都可由單位向量線性表示.線性無關(guān)，且能由單位向量線性表示，即故兩邊取行列式，得由令則由即都能由線性表示，因為任一維向量能由單位向量線性表示，故任一維向量都可以由線性表示.已知任一維向量都可由線性表示，則單位向量組：可由線性表示，由8題知線性無關(guān).10設(shè)向量組:的秩為,向量組:的秩向量組: 的秩,證明 證明 設(shè)的最大線性無關(guān)組分別為,含有的向量

4、個數(shù)(秩)分別為,則分別與等價,易知均可由線性表示,則秩()秩(),秩()秩()，即設(shè)與中的向量共同構(gòu)成向量組,則均可由線性表示,即可由線性表示,從而可由線性表示，所以秩()秩(),為階矩陣，所以秩()即.11.證明.證明:設(shè) 且行向量組的最大無關(guān)組分別為 顯然,存在矩陣,使得,因此12設(shè)向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且組線性無關(guān)。證明組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩.證明若組線性無關(guān)令則有由定理知由組:線性無關(guān)知，故.又知為階矩陣則由于向量組:能由向量組:線性表示,則綜上所述知即若令,其中為實數(shù)則有又,則由于線性無關(guān),所以即 （1）由于則(1)式等價于下列方程組: 由于所以方程組

5、只有零解.所以線性無關(guān),證畢.13設(shè)問是不是向量空間？為什么？證明 集合成為向量空間只需滿足條件：若，則若，則是向量空間，因為：且 故故不是向量空間，因為：故故當(dāng)時，14試證:由所生成的向量空間就是.證明 設(shè) 于是故線性無關(guān).由于均為三維,且秩為3,所以為此三維空間的一組基,故由所生成的向量空間就是.15由所生成的向量空間記作,由所生成的向量空間記作,試證.證明 設(shè)任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成已知數(shù),把看成未知數(shù) 有唯一解同理可證: ()故16驗證為的一個基,并把用這個基線性表示.解 由于即矩陣的秩為3故線性無關(guān)，則為的一個基.設(shè)，則故設(shè)，則故線性表示為17求下列齊次線

6、性方程組的基礎(chǔ)解系:(1) (2) (3).解(1)所以原方程組等價于取得取得因此基礎(chǔ)解系為(2) 所以原方程組等價于取得取得因此基礎(chǔ)解系為(3)原方程組即為取得取得取得所以基礎(chǔ)解系為18設(shè),求一個矩陣,使,且.解由于,所以可設(shè)則由可得,解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣19求一個齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為.解顯然原方程組的通解為,()即消去得此即所求的齊次線性方程組.20設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量且，求該方程組的通解解 由于矩陣的秩為3，一維故其對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得

7、為其基礎(chǔ)解系向量，故此方程組的通解：，21設(shè)都是階方陣，且，證明證明 設(shè)的秩為，的秩為，則由知，的每一列向量都是以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解向量(1) 當(dāng)時,該齊次線性方程組只有零解,故此時,，結(jié)論成立(2)當(dāng)時,該齊次方程組的基礎(chǔ)解系中含有個向量,從而的列向量組的秩,即,此時,結(jié)論成立。綜上,22設(shè)階矩陣滿足,為階單位矩陣,證明(提示:利用題11及題21的結(jié)論)證明所以由21題所證可知又由11題所證可知由此23求下列非齊次方程組的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：(1) (2)解(1)(2) 24設(shè)是非齊次線性方程組的一個解,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,證明:(1)線性無

8、關(guān)；(2) 線性無關(guān)。證明 (1)反證法,假設(shè)線性相關(guān),則存在著不全為0的數(shù)使得下式成立: (1)其中,否則,線性相關(guān),而與基礎(chǔ)解系不是線性相關(guān)的產(chǎn)生矛盾。由于為特解，為基礎(chǔ)解系，故得而由(1)式可得故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得產(chǎn)生矛盾,假設(shè)不成立, 故線性無關(guān).(2)反證法,假使線性相關(guān).則存在著不全為零的數(shù)使得下式成立: （2）即1) 若,由于是線性無關(guān)的一組基礎(chǔ)解2) 系,故,由(2)式得此時與假設(shè)矛盾.3) 若由題(1)知, 線性無關(guān),故與假設(shè)矛盾,綜上,假設(shè)不成立,原命題得證.25.設(shè)是非齊次線性方程組的個解，為實數(shù)，滿足.證明也是它的解.證明 由于是非齊次線性方程組的個解.故有 而即 （）從而也是方程的解26設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，是它的個線性無關(guān)的解(由題24知它確有個線性無關(guān)的解)試證