傅里葉積分、傅里葉變換的matlab實現(xiàn)

1、傅里葉積分、傅里葉變換及其應用的mathb實現(xiàn)I*院 校：物理與電子科學學院班級： 0801 班姓名：1. 引言2. 理論推導2.1傅里葉級數(shù) 22傅里葉積分及傅里葉變換 2.3傅里葉積分、傅里葉變換的應用 2.3.1對無限長的細桿導熱問題的研究 2.3.2對長度為I的細桿導熱問題的研究2.3.3波動方程的定解條件 3. matlab 模擬結果4. 總結參考文獻傅里葉積分、傅里葉變換及其應用的matlab實現(xiàn)摘要：根據(jù)傅里葉積分、傅里葉變換理論，計算了若干例題，并利用此理論模 擬了無限長細竿、有限長細竿的導熱問題及波動方程的定解條件問題，做出了細竿 導熱情況的圖像。關鍵詞：傅里葉積分傅里葉變換

2、熱傳導定解問題1. 引言計算物理學是以計算機及計算機技術為工具和手段，運用計算數(shù)學的方法，解 決復雜問題的一門學科。傅里葉積分及傅里葉變換在物理學中有著重要的應用，而 其運算相對繁瑣，利用計算機技術可以方便地幫助我們解決這一問題，大大節(jié)省時 間，提高研究效率。傅里葉積分及傅里葉變換作為重要的計算方法被應用在物理學中的各個領域。 如量子力學、電動力學等等。我們選擇用matlab解決傅里葉變換的計算問題；繪制出有限長和無限長細竿熱 傳導溫度分布圖像，并對其作深入分析；解決波動方程定解條件的問題。2. 理論推導2.1傅里葉級數(shù)若函數(shù)f (x)以21為周期，即f(x 21) = f (x)則，將f (

3、x)展開為級數(shù)點knx丄knxf(x)=ao(akc°sbks in)k=1ll其中akffG)cos圧d©k=)；2(k=0)丄 l 丿lI k 丿 i(k=0)bk2若f(x)是定義在(0,丨)上的非周期函數(shù)，則可以采取延拓的方法，使其成為某 種周期函數(shù)g (x)，而在 (0,l)上，g(x)三f(x)。然后再對g(x)作傅里葉級數(shù)展開,使級數(shù)和在區(qū)間(0,丨)上代表f (x)。2.2傅里葉積分及傅里葉變換傅里葉積分實際上是把定義在(：，：)上的非周期函數(shù)進行積分形式的展開。即把f (x)展開為如下形式：ooO0f (x)二 ° A( )cos xdc 亠 I

4、 B( )sin，xd其中A( J =丄'f ( )co dn -°oB(，)f ( )sindn -°o第一個式子是傅里葉積分表達式，第二組式子為傅里葉變換式。把傅里葉積分寫成復數(shù)形式就為i 廣 xf(x) = .F®)edco傅里葉變換為F®)L/(x)e Pdx下面舉兩道例題。例1求矩形函數(shù)f (t) =hrect(t;'2T)的傅里葉變換，其中11(|x| ：-)rectx 二10(|x| ?)1FC)=T±.-；x2二dxhi _L T i T(e_e )2 二h sin，Tz r , 2例2求f（X）=X x的傅里葉

5、變換，其中，x定義在（-二，二）上。F( ) J.工2_ x2，x x)e dx4#2xjxdx，一理 x |1XqFdx +2 二#ix2 :蔦 e良-二 2-：/-5t JIG)二 xe八dxT Di cos.呦©+2Mex2 二in亠sinsin，二#i二COS 匚i .2 si n.g sin 匚 ©22 cosm o#2.3傅里葉積分、傅里葉變換的應用基于maltab在數(shù)學物理方法中利用分離變數(shù)（傅里葉級數(shù)）法求解一維（線 性）熱傳導方程問題的研究，在一維細桿熱傳導問題的研究將細桿分為有限長度與 無限長度兩方面來求解問題。2.3.1對無限長的細桿導熱問題的研究無限

6、長細桿的熱傳導的定解問題： 細桿上任意一點的溫度是時間t和位置x的函數(shù)u（x,t）泛定方程2ua uxx初始條件u x,t = 0二（x）利用傅里葉級數(shù)求得細桿上任意一點的溫度為：心甘川）話eP卅）若取初始溫度分布（x）設為5(x)_1,(0cxc1)Q(x1,x")一個高度為一得矩形脈沖波;則得到1 t Vo_1_2a.t e22a2d d6(x)2.3.2對長度為I的細桿導熱問題的研究討論有限長度I的細桿，在一端為第一類齊次邊界條件，另一端為第二類邊界 條件下的熱傳導問題的研究。有限長細桿熱傳導定解問題就是將上述無限細桿的長度有限化，對I取一確定有限值：泛定方程邊界條件a2- =

7、0txx屮(0, t) = 0 J P(I,t)=0初始條件l（x, t = 0）=（x）“1,(10£X“1)當 20，"10,半(X)0,(XWZ10)時，解得u(x,t)八n =1cos n 二11n :-cosa20 e2 2 2n at400 sin20#(x)#(x)將上述問題具體化為，初始時刻桿的一端溫度為零度，另一端溫度為J ,桿上0的溫度均勻（®（x）=卩0x/l），零度溫度一端保持溫度不變（卩（0, t） = 0）， 另一端跟外界溫度絕熱（J （l,t） = 0），這細桿上溫度隨時間與空間變化的函數(shù)x關系設為 x, t 。細桿上溫度）x, t綜

8、合上述條件:2泛定方程J -a2亠 -0t a xx邊界條件7(0, t)=0 卜(l,t)=0I X72初始條件TJX/1由齊次方程的定解問題的求解方法求得2» «J(x, t) “ (- 1)k =Q將上述參數(shù)具體化，設定20匈kux, t)=r(-1)兀 k=0 '(k2 sin2)= 10C , l(k(k £ 二才tT= 20, a =10則"x, t可化為.(k 0.5)二 x 2 sin(k 0.5)2.3.3波動方程的定解條件一根長l為兩端固定的弦，用手把它的中點橫向拉開距離 振動，寫出它的初始條件。t =0時各點的位移由圖中折線

9、確定，所以r竺xg丄u(x,o)“ 人i"(l -b), x.l2研究兩端固定均勻弦的自由振動，即定解問題是：202(k 0.5)2二 t4e，然后放手任其自由它的解是:其中u(x = 0,t) =0;u(x=l ,t) =0u(x,t=0)£(x);ut (x,t=0)U(x,t)Bn(x)oO八(Ax cosBn sin)sinn=1Illn at()sinnd0 .I ( )sindlJl對于有限長的弦，如果在討論的時間范圍內，邊界的影響還沒有到達，則產(chǎn)生29的現(xiàn)象與無限長的弦是一樣的。sin乞 x(3Lxl 7 -3. matlab 模擬結果圖1為例題1傅里葉變換的

10、函數(shù)圖像圖1圖2為例題2傅里葉變換的函數(shù)圖像圖2圖3為無限長桿溫度隨時間和空間變化的瀑布圖無醍桿黑傳導桿上濕廈分布酸100十帀10圖3從圖3中可以看出，在開始時刻，溫度分布在原點附近定義為一個脈沖函數(shù)， 在沿著細桿的方向上，溫度逐漸降低形成一個平緩的波包，并向周圍傳導，如果時 間足夠長，最終細桿上的溫度為零。在前面的程序上加上以下程序，則圖4表示桿上溫度暫停0.1s時刻的傳導情況：圖4圖5為有限長桿溫度傳導函數(shù)的圖像有眼稈上的撫傳導溫虔廿布圖與無限桿有相同的初冶祭件）時間T0 0圖5由于初始條件相同，有限桿與無限桿的溫度分布是一樣的，無限長的桿熱傳導 現(xiàn)象只是邊界條件還沒有產(chǎn)生影響的有限桿上熱

11、傳導現(xiàn)象的一種近似。由于在理論 的計算中，n的疊加到無窮，而以上程序中n只取到50,在圖像中可以看到， 在x=10 到11的兩端，溫度出現(xiàn)較小幅度的波動，沒有無限桿的熱傳導溫度在兩端都減小而不增大的現(xiàn)象，而當桿長趨近于無窮時，使得兩圖可以近似為同一圖形。圖6為有限長細桿上溫度隨時間和空間變化的三維曲面圖有限桿溫度綾性變化的熱薛爭圖像時間T° 0桿曲圖6從圖中可以看出，在沿桿的方向上，溫度是隨條件定義的線性傳導變化，在同 樣的泛定函數(shù)下，給定不同的初始條件下，圖四可近似看圖三的一個部分。1 2 2(kg)兀 a如果考慮先前時刻即考慮t<o,則eT七隨k的增大而急劇增大，從而級數(shù)解

12、x, t發(fā)散，因為細桿上溫度分布總是趨于某種平衡狀態(tài)，而且只要邊界條件相同，不管初始溫度是怎樣分布的，總趨于同一平衡狀態(tài)，所以從某一時刻的溫 度分布可以推算以后的溫度分布，卻不能反推先前時刻的溫度分布，另外，對于以21 2 2 (k )二 a2后時刻，t>0,則e大，級數(shù)收斂越快。在t>0.18 |時，可以只保留k=0的項，略去k>0的項，從而簡化叫x,80t)=T兀2 2.兀 xSin4|，在MATLA啲程序中也可不使用 forendl e 4l的循環(huán)語句,畫出的圖像也大致相同，其誤差不超過1%-Tt隨k的增大而急劇減小，從而級數(shù)收斂的很快。t越4總結基于理論分析，我們展示了傅里葉變換的函數(shù)圖像，無限長及有限長細竿熱傳 導溫度的分布規(guī)律并作出其圖像，波動方程的定解問題。其中，我們利用圖像形象 直觀地表現(xiàn)了所研究的問題，且理論分析也較為透徹，有