中考數(shù)學一輪復習 第17課 等腰三角形導學案-人教版初中九年級全冊數(shù)學學案

1、第17課 等腰三角形【考點梳理】：（一） 等腰三角形的性質(zhì)1、 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個底角相等推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊且垂直于底邊，也就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2：等邊三角形的各角相等，且每一個角都等于60°.等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；2、 定理及推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等

2、，兩個角相等以及兩條直線相互垂直的重要依據(jù)。（二） 等腰三角形的判定1、 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等 推論1、三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2、有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2、 定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)。3、 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解

3、決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線相互重合，添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時需要作頂角的平分線，有時則需要作高或中線，視具體情況而定。思考與收獲【思想方法】方程思想，分類討論【考點一】：等腰三角形的性質(zhì)與判定【例題賞析】（2015，廣西玉林，6，3分）如圖，在abc中，ab=ac，debc，則下列結(jié)論中不正確的是（）a ad=aebdb=eccade=cdde=bc考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)專題：計算題分析：由de與bc平行，得到三角形ade與三角形

4、abc相似，由相似得比例，根據(jù)ab=ac，得到ad=ae，進而確定出db=ec，再由兩直線平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代換得到ade=c，而de不一定為中位線，即de不一定為bc的一半，即可得到正確選項解答：解：debc，=，ade=b，ab=ac，ad=ae，db=ec，b=c，ade=c，而de不一定等于bc，故選d點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵思考與收獲【考點二】：等邊三角形的性質(zhì)與判定【例題賞析】（1）（2015青海西寧第20題2分）如圖，abc是邊長為1的等邊三角形，bd為ac邊上的高，將abc

5、折疊，使點b與點d重合，折痕ef交bd于點d1，再將bef折疊，使點b于點d1重合，折痕gh交bd1于點d2，依次折疊，則bdn=考點：翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的性質(zhì).專題：規(guī)律型分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)依次求出邊上的高，找出規(guī)律即可得到結(jié)果解答：解：abc是邊長為1的等邊三角形，bd為ac邊上的高，bd=，bef是邊長為等邊三角形，bd1=，bd2=，bdn=，故答案為：點評：本題考查了翻折變換折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵思考與收獲（2）（2015湖北十堰，第14題3分）如圖，分別以rtabc的直角邊ac及斜邊ab為邊向外作等邊acd、等邊abe，e

6、fab，垂足為f，連接df，當=時，四邊形adfe是平行四邊形考點：平行四邊形的判定；等邊三角形的性質(zhì)分析：由三角形abe為等邊三角形，ef垂直于ab，利用三線合一得到ef為角平分線，得到aef=30°，進而確定bac=aef，再由一對直角相等，及ae=ab，利用aas即可得證abceaf；由bac與dac度數(shù)之和為90°，得到da垂直于ab，而ef垂直于ab，得到ef與ad平行，再由全等得到ef=ac，而ac=ad，可得出一組對邊平行且相等，即可得證解答：解：當=時，四邊形adfe是平行四邊形理由： =，cab=30°，abe為等邊三角形，efab，ef為bea

7、的平分線，aeb=60°，ae=ab，fea=30°，又bac=30°，fea=bac，在abc和eaf中，abceaf（aas）；bac=30°，dac=60°，dab=90°，即daab，efab，adef，abceaf，思考與收獲ef=ac=ad，四邊形adfe是平行四邊形故答案為：點評：此題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵【考點三】：線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【例題賞析】（1）（2015四川遂寧第8題4分）如圖，在abc中，ac=4cm，線

8、段ab的垂直平分線交ac于點n，bcn的周長是7cm，則bc的長為（）a1cmb2cmc3cmd4cm考點：線段垂直平分線的性質(zhì).分析：首先根據(jù)mn是線段ab的垂直平分線，可得an=bn，然后根據(jù)bcn的周長是7cm，以及an+nc=ac，求出bc的長為多少即可解答：解：mn是線段ab的垂直平分線，an=bn，bcn的周長是7cm，bn+nc+bc=7（cm），an+nc+bc=7（cm），an+nc=ac，ac+bc=7（cm），思考與收獲又ac=4cm，bc=74=3（cm）故選：c點評：此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：垂直平分線垂直且平分其所

9、在線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等（2）（2015湖北, 第7題3分）如圖，在abc中，b=30°，bc的垂直平分線交ab于點e，垂足為d，ce平分acb若be=2，則ae的長為（） a b 1 c d 2考點： 含30度角的直角三角形；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)分析： 先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出be=ce=2，故可得出b=dce=30°，再由角平分線定義得出acb=2dce=60°，ace=dce=30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出a=180

10、76;bacb=90°，然后在rtcae中根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出ae=ce=1解答： 解：在abc中，b=30°，bc的垂直平分線交ab于e，be=2，be=ce=2，b=dce=30°，ce平分acb，acb=2dce=60°，ace=dce=30°，a=180°bacb=90°在rtcae中，a=90°，ace=30°，ce=2，ae=ce=1思考與收獲故選b點評： 本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角

11、和定理，求出a=90°是解答此題的關(guān)鍵【考點四】：坐標系中的等腰三角形 【例題賞析】（2015四川攀枝花第14題4分）如圖，在平面直角坐標系中，o為坐標原點，矩形oabc中，a（10，0），c（0，4），d為oa的中點，p為bc邊上一點若pod為等腰三角形，則所有滿足條件的點p的坐標為（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） 考點：矩形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理專題：分類討論分析：由矩形的性質(zhì)得出ocb=90°，oc=4，bc=oa=10，求出od=ad=5，分情況討論：當po=pd時；當op=od時；當dp=do時；根據(jù)線段垂直平分

12、線的性質(zhì)或勾股定理即可求出點p的坐標解答：解：四邊形oabc是矩形，ocb=90°，oc=4，bc=oa=10，d為oa的中點，od=ad=5，當po=pd時，點p在od得垂直平分線上，點p的坐標為：（2.5，4）；當op=od時，如圖1所示：則op=od=5，pc=3，點p的坐標為：（3，4）；當dp=do時，作peoa于e，思考與收獲則ped=90°，de=3；分兩種情況：當e在d的左側(cè)時，如圖2所示：oe=53=2，點p的坐標為：（2，4）；當e在d的右側(cè)時，如圖3所示：oe=5+3=8，點p的坐標為：（8，4）；綜上所述：點p的坐標為：（2.5，4），或（3，4），

13、或（2，4），或（8，4）；故答案為：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） 點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；本題有一定難度，需要進行分類討論才能得出結(jié)果【考點五】：等腰三角形的綜合運用【例題賞析】（2015曲靖23題10分）如圖，過aob平分線上一點c作cdob交oa于點d，e是線段oc的中點，請過點e畫直線分別交射線cd、ob于點m、n，探究線段od、on、dm之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論思考與收獲考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).分析：首先根據(jù)oc是aob的平分線，cdob，判斷出doc=dc0

14、，所以od=cd=dm+cm；然后根據(jù)e是線段oc的中點，cdob，推得cm=on，即可判斷出od=dm+on，據(jù)此解答即可解答：解：線段od、on、dm之間的數(shù)量關(guān)系是：od=dm+on證明：oc是aob的平分線，doc=c0b，又cdob，dco=c0b，doc=dc0，od=cd=dm+cm，e是線段oc的中點，ce=oe，cdob，cm=on，又od=dm+cm，od=dm+on點評：（1）此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡單說成：兩直線平行，同位角相等定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補簡

15、單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等思考與收獲（2）此題還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰三角形的兩腰相等等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合【真題專練】1. （2015丹東，第6題3分）如圖，在abc中，ab=ac，a=30°，e為bc延長線上一點，abc與ace的平分線相交于點d，則d的度數(shù)為（） a 15° b 17.5° c 20° d 22.5°2. （2015，廣西玉林，1

16、7，3分）如圖，等腰直角abc中，ac=bc，acb=90°，點o分斜邊ab為bo：oa=1：，將boc繞c點順時針方向旋轉(zhuǎn)到aqc的位置，則aqc=3. （2015河北,第20題3分）如圖，boc=9°，點a在ob上，且oa=1，按下列要求畫圖：以a為圓心，1為半徑向右畫弧交oc于點a1，得第1條線段aa1；再以a1為圓心，1為半徑向右畫弧交ob于點a2，得第2條線段a1a2；思考與收獲再以a2為圓心，1為半徑向右畫弧交oc于點a3，得第3條線段a2a3；這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n= 5. （2015湖北, 第7題3分）如圖，在a

17、bc中，b=30°，bc的垂直平分線交ab于點e，垂足為d，ce平分acb若be=2，則ae的長為（） a b 1 c d 26. (2015年陜西省,6,3分)如圖，在abc中，a=36°，ab=ac，bd是abc的角平分線若在邊ab上截取be=bc，連接de，則圖中等腰三角形共有（）a2個 b3個 c4個 d5個思考與收獲7. （2015湖南湘西州，第16題，4分）如圖，等腰三角形abc中，ab=ac，bd平分abc，a=36°，則1的度數(shù)為（）a36°b60°c72°d108°8. （2015昆明第14題，3分）如圖，

18、abc是等邊三角形，高ad、be相交于點h，bc=4，在be上截取bg=2，以ge為邊作等邊三角形gef，則abh與gef重疊（陰影）部分的面積為9. （2015宜昌，第18題7分）如圖，一塊余料abcd，adbc，現(xiàn)進行如下操作：以點b為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交ba，bc于點g，h；再分別以點g，h為圓心，大于gh的長為半徑畫弧，兩弧在abc內(nèi)部相交于點o，畫射線bo，交ad于點e（1）求證：ab=ae；（2）若a=100°，求ebc的度數(shù)思考與收獲10. （2015山東萊蕪,第21題9分）如圖，abc是等腰直角三角形，acb=90°，分別以ab，ac為直角邊向外作

19、等腰直角abd和等腰直角ace，g為bd的中點，連接cg，be，cd，be與cd交于點f（1）判斷四邊形acgd的形狀，并說明理由（2）求證：be=cd，becd【真題演練參考答案】1. （2015丹東，第6題3分）如圖，在abc中，ab=ac，a=30°，e為bc延長線上一點，abc與ace的平分線相交于點d，則d的度數(shù)為（） a 15° b 17.5° c 20° d 22.5°考點： 等腰三角形的性質(zhì)分析： 先根據(jù)角平分線的定義得到1=2，3=4，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得1+2=3+4+a，1=3+d，則21=23+a，利用等式的性質(zhì)得到d

20、=a，然后把a的度數(shù)代入計算即可解答： 解：abc的平分線與ace的平分線交于點d，1=2，3=4，ace=a+abc，即1+2=3+4+a，21=23+a，1=3+d，d=a=×30°=15°故選a點評： 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進行分析2. （2015，廣西玉林，17，3分）如圖，等腰直角abc中，ac=bc，acb=90°，點o分斜邊ab為bo：oa=1：，將boc繞c點順時針方向旋轉(zhuǎn)到aqc的位置，則aqc=105°考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形專題：計算題分析：連接oq，

21、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：aqcboc，從而推出oaq=90°，ocq=90°，再根據(jù)特殊直角三角形邊的關(guān)系，分別求出aqo與oqc的值，可求出結(jié)果解答：解：連接oq，ac=bc，acb=90°，bac=a=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：aqcboc，aq=bo，cq=co，qac=b=45°，acq=bco，oaq=bac+caq=90°，ocq=oca+acq=oca+bco=90°，oqc=45°，bo：oa=1：，設(shè)bo=1，oa=，aq=，aqo=60°，agc=105°點評：本題主要考查了圖形旋

22、轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角直角三角形的邊角關(guān)系，掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記特殊直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵3. （2015河北,第20題3分）如圖，boc=9°，點a在ob上，且oa=1，按下列要求畫圖：以a為圓心，1為半徑向右畫弧交oc于點a1，得第1條線段aa1；再以a1為圓心，1為半徑向右畫弧交ob于點a2，得第2條線段a1a2；再以a2為圓心，1為半徑向右畫弧交oc于點a3，得第3條線段a2a3；這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=9考點： 等腰三角形的性質(zhì)分析： 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次可得a1ab的度數(shù)，a2a1c的度數(shù)，a

23、3a2b的度數(shù)，a4a3c的度數(shù)，依此得到規(guī)律，再根據(jù)三角形外角小于90°即可求解解答： 解：由題意可知：ao=a1a，a1a=a2a1，則aoa1=oa1a，a1oa2=a1a2a，boc=9°，a1ab=18°，a2a1c=27°，a3a2b=36°的度數(shù)，a4a3c=45，9°n90°，解得n10故答案為：9點評： 考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等；三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和4（2015衡陽, 第7題3分）已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為（

24、） a 11 b 16 c 17 d 16或17考點： 等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系專題： 分類討論分析： 分6是腰長和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關(guān)系判斷，然后根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解解答： 解：6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、5，能組成三角形，周長=6+6+5=17；6是底邊時，三角形的三邊分別為6、5、5，能組成三角形，周長=6+5+5=16綜上所述，三角形的周長為16或17故選d點評： 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點在于分情況討論5. （2015湖北, 第7題3分）如圖，在abc中，b=30°，bc的垂直平分線交ab于點e，垂足為

25、d，ce平分acb若be=2，則ae的長為（） a b 1 c d 2考點： 含30度角的直角三角形；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)分析： 先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出be=ce=2，故可得出b=dce=30°，再由角平分線定義得出acb=2dce=60°，ace=dce=30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出a=180°bacb=90°，然后在rtcae中根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出ae=ce=1解答： 解：在abc中，b=30°，bc的垂直平分線交ab于e，be=2，be=ce=2，b=dce=30

26、76;，ce平分acb，acb=2dce=60°，ace=dce=30°，a=180°bacb=90°在rtcae中，a=90°，ace=30°，ce=2，ae=ce=1故選b點評： 本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，求出a=90°是解答此題的關(guān)鍵6. (2015年陜西省,6,3分)如圖，在abc中，a=36°，ab=ac，bd是abc的角平分線若在邊ab上截取be=bc，連接de，則圖中等腰三角形共有（）a2個 b3個 c4個 d5個

27、考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)已知條件分別求出圖中三角形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判定即可找出圖中的等腰三角形解答：ab=ac，abc是等腰三角形；ab=ac，a=36°，abc=c=72°，bd是abc的角平分線，abd=dbc=abc=36°，a=abd=36°，bd=ad，abd是等腰三角形；在bcd中，bdc=180°dbcc=180°36°72°=72°，c=bdc=72°，bd=bc，bcd是等腰三角形；be=bc，bd=be，bde是等腰三角形；bed=（180

28、6;36°）÷2=72°，ade=beda=72°36°=36°，a=ade，de=ae，ade是等腰三角形；圖中的等腰三角形有5個故選d點評：此題考查了等腰三角形的判定，用到的知識點是等腰三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形的角平分線定義等，解題時要找出所有的等腰三角形，不要遺漏7. （2015湖南湘西州，第16題，4分）如圖，等腰三角形abc中，ab=ac，bd平分abc，a=36°，則1的度數(shù)為（）a36°b60°c72°d108°考點：等腰三角形的性質(zhì).分析

29、：根據(jù)a=36°，ab=ac求出abc的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出abd的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算得到答案解答：解：a=36°，ab=ac，abc=c=72°，bd平分abc，abd=36°，1=a+abd=72°，故選：c點評：本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩個底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵8. （2015昆明第14題，3分）如圖，abc是等邊三角形，高ad、be相交于點h，bc=4，在be上截取bg=2，以ge為邊作等邊三角形gef，則abh與gef重疊（陰影

30、）部分的面積為考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的重心；三角形中位線定理分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得ad的長，abg=hbd=30°，根據(jù)等邊三角形的判定，可得meh的形狀，根據(jù)直角三角形的判定，可得fin的形狀，根據(jù)面積的和差，可得答案解答：解：如圖所示：，由abc是等邊三角形，高ad、be相交于點h，bc=4，得ad=be=bc=6，abg=hbd=30°由直角三角的性質(zhì)，得bhd=90°hbd=60°由對頂角相等，得mhe=bhd=60°由bg=2，得eg=bebg=62=4由ge為邊作等邊三角形gef，得fg=eg=4，egf=g

31、ef=60°，mhe是等邊三角形；sabc=acbe=ac×eh×3eh=be=×6=2由三角形外角的性質(zhì)，得bif=fgeibg=60°30°=30°，由ibg=big=30°，得ig=bg=2，由線段的和差，得if=fgig=42=2，由對頂角相等，得fin=big=30°，由fin+f=90°，得fni=90°，由銳角三角函數(shù)，得fn=1，in=s五邊形nighm=sefgsemhsfin=×42×22××1=，故答案為：點評：本題考查了等

32、邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，利用圖形的割補法是求面積的關(guān)鍵9. （2015宜昌，第18題7分）如圖，一塊余料abcd，adbc，現(xiàn)進行如下操作：以點b為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交ba，bc于點g，h；再分別以點g，h為圓心，大于gh的長為半徑畫弧，兩弧在abc內(nèi)部相交于點o，畫射線bo，交ad于點e（1）求證：ab=ae；（2）若a=100°，求ebc的度數(shù)考點：作圖基本作圖；等腰三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得aeb=ebc，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得ebc=abe，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得aeb，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得答案解答：（1）證明：adbc，aeb=ebc由be是