最新版北師版初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(新).doc

1、最新版北師版初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(新)最新北師版初中數(shù)學(xué)知識點復(fù)習(xí) 七年級上 第一章 豐富的圖形世界（New） 1 生活中的立體圖形 2 展開與折疊 3 截一個幾何體 4 從三個方向看物體的形狀 ¤1.¤2.¤3.球體：由球面圍成的（球面是曲面） ¤4.幾何圖形是由點、線、面構(gòu)成的。 幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面；面與面相交得到線；線與線相交得到點。 5.棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線都叫做棱。 6.側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，所有側(cè)棱長都相等。 ¤7.棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的

2、形狀都是長方形。 ¤8.根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它們底面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形 ¤9.長方體和正方體都是四棱柱。 ¤10.圓柱的表面展開圖是由兩個相同的圓形和一個長方形連成。 ¤11.圓錐的表面展開圖是由一個圓形和一個扇形連成。 12.設(shè)一個多邊形的邊數(shù)為n(n3，且n為整數(shù))，從一個頂點出發(fā)的對角線有(n-3)條；可以把n邊形成(n-2)個三角形；這個n邊形共有條對角線。 13.圓上兩點之間的部分叫做弧，弧是一條曲線。 14.扇形，由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形。

3、64;15.凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。 第二章 有理數(shù)及其運算（New） 1.有理數(shù) 2.數(shù)軸 3.絕對值 4.有理數(shù)的加法 5.有理數(shù)的減法 6.有理數(shù)的加減混合運算 7.有理數(shù)的乘法 8.有理數(shù)的除法 9.有理數(shù)的乘方 10.科學(xué)記數(shù)法 11.有理數(shù)的混和運算 12.用計算器進行運算 數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度（三者缺一不可）。 任何一個有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。（反過來，不能說數(shù)軸上所有的點都表示有理數(shù)） 如果兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0） 在數(shù)軸上，表示互為

4、相反數(shù)的兩個點，位于原點的側(cè)，且到原點的距離相等。 ¤數(shù)軸上兩點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點的右邊，負數(shù)在原點的左邊。 絕對值的定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的絕對值記作|a|。 正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的數(shù)；0的絕對值是0。 0 -1 -2 -3 1 2 3 越來越大 或 絕對值的性質(zhì)：除0外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)； 互為相反數(shù)的兩數(shù)（除0外）的絕對值相等； 任何數(shù)的絕對值總是非負數(shù)，即|a|0 比較兩個負數(shù)的大小，絕對值大的反而小。比較兩個負數(shù)的大小的步驟如下： 先求出兩個數(shù)負數(shù)的絕對值；比較兩個絕對值

5、的大?。?根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。 絕對值的性質(zhì)： 對任何有理數(shù)a，都有|a|0.若|a|=0，則|a|=0，反之亦然.若|a|=b，則a=±b.對任何有理數(shù)a,都有|a|=|-a| 有理數(shù)加法法則： 同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加。異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值。一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。 加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運算中同樣適用。 ¤靈活運用運算律，使用運算簡化，通常有下列規(guī)律：互為相反的兩個數(shù)，可以先相加；符號相同的數(shù)，可以先相加；分母相同的數(shù)，可以先相

6、加；幾個數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。 有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。 ¤有理數(shù)減法運算時注意兩“變”：改變運算符號；改變減數(shù)的性質(zhì)符號（變?yōu)橄喾磾?shù)） 有理數(shù)減法運算時注意一個“不變”：被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律。 ¤有理數(shù)的加減法混合運算的步驟： 寫成省略加號的代數(shù)和。在一個算式中，若有減法，應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為加法，然后再省略加號和括號；利用加法則，加法交換律、結(jié)合律簡化計算。 （注意：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，當有減法統(tǒng)一成加法時，減數(shù)應(yīng)變成它本身的相反數(shù)。） 有理數(shù)乘法法則： 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負

7、，絕對值相乘。任何數(shù)與0相乘，積仍為0。 如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1。（如：-2與 、 等） 乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運算中同樣適用。 ¤有理數(shù)乘法運算步驟：先確定積的符號； 求出各因數(shù)的絕對值的積。 ¤乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。注意： 零沒有倒數(shù)。求分數(shù)的倒數(shù)，就是把分數(shù)的分子分母顛倒位置。一個帶分數(shù)要先化成假分數(shù)。正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。 有理數(shù)除法法則： 兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。 0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。 指數(shù) 底數(shù) 冪 有理數(shù)的乘方 注意：一個數(shù)可以看作是本身的一次方，如

8、5=51； 當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。 乘方的運算性質(zhì)： 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)； 任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負數(shù)；1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0； -1的偶次冪得1；-1的奇次冪得-1；在運算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值。 有理數(shù)混合運算法則:先算乘方,再算乘除,最后算加減如果有括號,先算括號里面的.第三章 整式及其加減（New） 1 字母表示數(shù) 2 代數(shù)式 3 整式 4 整式的加減 5 探索與表達規(guī)律 代數(shù)式的概念： 用運算符號（加、減、乘除、乘方、開方等）把數(shù)與表示數(shù)的字母連接而成的式子叫

9、做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。 注意：代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號； 代數(shù)式中不含有“=、>、n).2.在應(yīng)用時需要注意以下幾點: 法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a0.任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即,如,(-2.50=1),則00無意義.任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個數(shù)的p的次冪的倒數(shù),即 ( a0,p是正整數(shù)), 而0-1,0-3都是無意義的;當a>0時,a-p的值一定是正的; 當a1時，伸長為原來的n倍；當01時， 伸長為原來的n倍；當00）或向左(a0）或向下(b0），所得的圖形與原

10、圖形相比，形狀不變；當n>1時，對應(yīng)線段大小擴大到原來的n倍；當00時,y隨_的增大而增大; 當k 線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。 線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 A C B O 圖1 圖2 O A C B D E F 三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等。（如圖1所示，AO=BO=CO） 四.角平分線 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。 角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。 角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。 三角形三條角平分線交于一點，并

11、且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內(nèi)心。 (如圖2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元一次不等式與一元一次不等式組 1.不等關(guān)系 2.不等式的基本性質(zhì) 3.不等式的解集 4.一元一次不等式 5.一元一次不等式與一次函數(shù) 6.一元一次不等式組 一.不等關(guān)系 1.一般地,用符號“”(或“”)連接的式子叫做不等式.¤2.要區(qū)別方程與不等式: 方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系.3.準確“翻譯”不等式,正確理解“非負數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語.非負數(shù) 大于等于0(0) 0和正數(shù) 不小于0 非正數(shù) 小于等于0(0) 0和負數(shù) 不大于0 二.不等式的基本性質(zhì) 1.掌握不等式

12、的基本性質(zhì),并會靈活運用: (1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變,即: 如果a>b,并且cb,那么a-b是正數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么a>b; 如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b; 如果ab a-b>0 a=b a-b=0 a a-bb(或a時

13、,解為;當a=0時,且bb 兩大取較大 _>a 兩小取小 a 公式法 （注意在找abc時須先把方程化為一般形式） 分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式； 將二次項系數(shù)化成1； 把常數(shù)項移到方程的右邊； 兩邊加上一次項系數(shù)的一半的平方； 把方程轉(zhuǎn)化成的形式； 兩邊開方求其根。 根與系數(shù)的關(guān)系：當b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根； 當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當b2-4ac。（通常第二種方法更適用） 反比例函數(shù)的圖象由兩條

14、曲線組成，叫做雙曲線 反比例函數(shù)的畫法的注意事項：反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的； 選取的點越多畫的圖越準確； 畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。 反比例函數(shù)性質(zhì)： 當k>0時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨_的增大而減小； 當k0）或向左（h0）或向下（k0，則當_時，y隨_的增大而增大。 若a時，y隨_的增大而減小。 最值：若a>0，則當_=時，；若a0 拋物線與_軸有2個交點； =0 拋物線與_軸有1個交點； 拋物線與_軸有0個交點（無交點）； 當>0時，設(shè)拋物線與_軸的兩個交點為A、B，則這兩個點之間的距離： 化簡后即為： -

15、 這就是拋物線與_軸的兩交點之間的距離公式。 第三章 圓 1 圓 2 圓的對稱性 _3 垂徑定理 4 圓周角和圓心角的關(guān)系 5 確定圓的條件 6 直線和圓的位置關(guān)系 _7 切線長定理 8 圓內(nèi)接正多邊形 9 弧長及扇形的面積 一圓 描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點O為圓心的圓，記作O，讀作“圓O” 集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。 對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線

16、，不是圓面； 圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。 2.點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則 點在圓上 d=r; 點在圓內(nèi) d d>r.其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。 二.圓的對稱性 1.與圓相關(guān)的概念： 弦和直徑： 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。 弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。?弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，以CD為端點的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。 半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一

17、條弧叫做半圓。 優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。 劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。) 弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。 同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。 等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。 等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。 三.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。 說明：根據(jù)

18、垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備： 過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎Φ牧踊?。 上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。 4.定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。 推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.四.圓周角和圓心角的關(guān)系 1.1°的弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360份時,每一份的角都是1°的圓心角,相應(yīng)的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.2.圓心角的度數(shù)和它

19、所對的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成AOB= ,這是錯誤的.3.圓周角的定義: 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4.圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等； 推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑； 五.確定圓的條件 1.理解確定一個圓必須的具備兩個條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.2.

20、經(jīng)過三點作圓要分兩種情況: (1) 經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓.(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.定理: 不在同一直線上的三個點確定一個圓.3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點的距離相等.六.直線與圓的位置關(guān)系 1.直線和圓相交、相切相離的定義: (1)相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線.(2)相

21、切: 直線和圓有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點做切點.(3)相離: 直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征: 設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d； d 直線L和O相交.d=r 直線L和O相切.d>r 直線L和O相離.3.切線的總判定定理: 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.4.切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.分析p 性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論: 如果一條直線具備下列三

22、個條件中的任意兩個,就可推出第三個.垂直于切線; 過切點; 過圓心.5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.6.三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內(nèi)角.（補充） 圓和圓的位置關(guān)系.1.外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離: 兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(2)

23、外切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.(3)相交: 兩個圓有兩個公共點,此時叫做這個兩個圓相交.(4)內(nèi)切: 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.(5)內(nèi)含: 兩個圓沒有公共點, 并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例.2.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定: (1)兩圓外離 d>R+r (2)兩圓外切 d=R+r (3)兩圓相交 R-r d=R-r (R>r) (5)

24、兩圓內(nèi)含 dr) 3.相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.4.相交兩圓的性質(zhì): 相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.七切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 如圖6，PA，PB分別切O于A、B PA=PB，PO平分APB _圖6 _P _O _B _A 2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。 推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。 如圖7，CD切O于C，則，ACD=B _O _C _D _A _B 八 圓內(nèi)接多邊形 若四邊形的四個頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個

25、四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征: 圓內(nèi)接四邊形的對角互補; 圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.九.弧長及扇形的面積 1.圓周長公式:圓周長C=2R (R表示圓的半徑) 2.弧長公式: 弧長 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù)) 3.扇形定義: 一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4.弓形定義: 由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5.圓的面積公式.圓的面積 (R表示圓的半徑) 6.扇形的面積公式: 扇形的面積 (R表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數(shù)) 弓形的面積公式:(如圖5) 圖5 (1)當弓形所含的弧是劣弧時, (2)當弓形所含的弧是優(yōu)弧時, (3)當弓形所含的弧是半圓時, 補充： 圓錐的有關(guān)概念: 1.圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.2.圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算: 圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形,這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(扇形半徑)是l, 底面圓周長(扇形弧長)為c,那么它的側(cè)面積是: 與圓有關(guān)的輔助線 1.如圓中有