九年級數(shù)學上冊 第二十一章 一元二次方程 數(shù)學活動導學案（新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年級上冊數(shù)學學案

1、數(shù)學活動一、活動導入1.導入課題：老師在黑板上畫1個點，說明點是幾何中最基本的圖形，許多點排列起來可以構成一個點陣,點陣是非常有趣的圖形.今天我們就來研究“點陣中的規(guī)律”.(板書課題)2.活動目標：(1)通過觀察點陣(數(shù)學模型)，了解并掌握一些點陣及數(shù)學模型的變化規(guī)律.(2)探究三角點陣中前n行的點數(shù)和的計算公式.(3)運用一元二次方程的知識和三角點陣中前n行的點數(shù)和的計算公式解決問題.(4)通過活動，培養(yǎng)學生的觀察、比較、歸納和概括能力,培養(yǎng)學生的空間想象能力.3.活動重、難點：重點：探究三角點陣中前n行的點數(shù)和的計算公式,運用一元二次方程的知識和三角點陣中前n行的點數(shù)和的計算公式解決問題.

2、難點：運用一元二次方程的知識和點陣中前n行的點數(shù)和的計算公式解決問題.二、活動過程活動1三角形點陣1.活動指導(1)活動內(nèi)容：三角形點陣.(2)活動時間：10分鐘.(3)活動方法：完成活動參考提綱.(4)活動參考提綱：圖1是一個三角形點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點第n行有n個觀察圖形，完成下面各題.下表是該點陣前n行的點數(shù)和，請你按要求把它填寫完整.若該三角點陣前n行的點數(shù)和是300，求行數(shù)n.由知前n行的點數(shù)和為n(n+1)2=300，解得n1=24，n2= -25(舍去)，即行數(shù)n為24.該三角點陣前n行的點數(shù)和能是600嗎？如果能，求出其行數(shù)n；如果不能，

3、請說明理由.前n行的點數(shù)和n(n+1)2=600,解得n1=-1+48012, n2=-1-48012,因為n是正整數(shù)，方程的兩根均不符合條件，所以三角點陣前n行的點數(shù)和不能是600.如果把圖中的三角點陣中各行的點數(shù)依次換為2，4，6，2n，你能探究出前n行的點數(shù)和滿足什么規(guī)律嗎？前n行的點數(shù)和為n(2n+2)2=n(n+1)在中，三角點陣中前n行的點數(shù)和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理.依題意,n(n+1)=600.解得n1=24，n2= -25(舍去).即n的值為24.2.自學：學生參考活動指導進行活動性學習.3.助學：(1)師助生：明了學情：明了學生歸納公

4、式、建立一元二次方程模型等方面的情況.差異指導：對困難學生從歸納公式、建立一元二次方程模型等方面進行指導.(2)生助生：學生同桌之間互相交流.4.強化：(1)三角點陣中前n行的點數(shù)和的計算公式.(2)運用一元二次方程的知識和三角點陣中前n行的點數(shù)和的計算公式解決問題的一般過程.活動2正六邊形點陣1.活動指導(1)活動內(nèi)容：正六邊形點陣. (2)活動時間：8分鐘.(3)活動方法：完成活動參考提綱.(4)活動參考提綱：如圖2是一個形如正六邊形的點陣，它的中心是一個點，算作第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依此類推.填寫下表：寫出第n層所對應的點數(shù)(n2)；6(n-1)寫出n層正六邊形

5、點陣的總點數(shù)(n2)；1+61+62+6(n-1)=1+61+n-12(n-1)=1+3n(n-1)如果點陣中所有層的總點數(shù)為331，請求出它共有幾層？1+3n(n-1)=331解得：n1=11，n2=-10(舍去)，它共有11層.點陣設計大賽：設計時間：5分鐘.設計要求：a. 每人設計一組有規(guī)律、美觀的點陣圖，畫出前4個點陣，并仿照三角形點陣的探究提出問題，然后在小組內(nèi)交流自己的設計方案.b. 每組評選出優(yōu)秀作品，派代表說明設計的方法及點陣中的規(guī)律.c. 優(yōu)秀設計作品將在班級“學習園地”展出.2.自學：學生參考活動指導進行活動性學習.3.助學:(1)師助生:明了學情：明了學生是否會歸納n層正

6、六邊形點陣的總點數(shù).差異指導：對困難學生在歸納n層正六邊形點陣的總點數(shù)方面進行指導.(2)生助生：學生同桌之間互相交流.4.強化：(1)n層正六邊形點陣總點數(shù)的計算公式.(2)運用一元二次方程的知識和n層正六邊形點陣總點數(shù)的計算公式解決問題的一般過程.三、評價1.學生的自我評價(圍繞三維目標)：這節(jié)課你有什么收獲？有哪些不足？2.教師對學生的評價：(1)表現(xiàn)性評價：從學生回答問題、課堂的注意力等方面進行評價.(2)紙筆評價：課堂評價檢測.3.教師的自我評價(教學反思)：本課時是規(guī)律探究類問題的學習，解決問題的方法是列一元二次方程，也體現(xiàn)了一元二次方程用途的廣泛性.教學思路是以學生自主探究為主，

7、教師引導為輔，讓學生成為獲取知識的主動者，從而達到讓學生在掌握知識技能的同時并會運用的目的. (時間：12分鐘滿分：100分)一、基礎鞏固(50分)1.(30分)古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規(guī)律.(1)下圖反映了一個“三角形數(shù)”是如何得到的，認真觀察，并在后面的橫線上寫出相應的等式；1=1；1+2=3；1+2+3=6；1+2+3+4=10.(2)通過猜想，寫出(1)中與第九個點陣相對應的等式：1+2+3+9=45. (3)2015是“三角形數(shù)”嗎？為什么？解：不是.

8、“三角形數(shù)”都可以寫成n(n+1)2的形式，令2015=n(n+1)2，因為n是正整數(shù)，方程的兩根均不符合條件，所以2015不是“三角形數(shù)”.(4)從下圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.結合(1)觀察下列點陣圖，并在后面的橫線上寫出相應的等式.1=12；1+3=22；3+6=32；6+10=42；10+15=52.(5)通過猜想，寫出(4)中與第n個點陣相對應的等式：n(n-1)2+n(n+1)2=n2.(6)判斷225是不是“正方形數(shù)”，如果不是，說明理由；如果是，225可以看作哪兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和？解：是.152=225.225是“正方形

9、數(shù)”.由(5)，15(15-1)2+15(15+1)2=152，225可以看作105，120這兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和.2.(20分)如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個圖由1個圓組成，第2個圖由7個圓組成，第3個圖由19個圓組成，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第幾個圖形由217個圓組成？解：第n個圖形由1+3n(n-1)個圓組成.令1+3n(n-1)=217,解得 n1=9,n2=-8(舍去).第9個圖形由217個圓組成.二、綜合應用(20分)3.(20分)如圖是一個正五邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點.這個五邊形點陣前n層共有331個點,求n；這個

10、五邊形點陣會不會存在前n層共有1261個點的情形？如果存在，求n的值；如果不存在，說明理由.解：前n層共有1+5n(n-1)2個點.由1+5n(n-1)2=331,解得n1=12，n2= -11(舍去).令1+5n(n-1)2=1261,解得n1=1+2017,)2n2=1-2017,)2.n為正整數(shù)，方程的兩根均不合題意.即這個五邊形點陣不會存在前n層共有1261個點的情形.三、拓展延伸(30分)4.(30分)如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設矩形地面.請觀察下列圖形并解答有關問題： (1)在第n個圖中，每一橫行共有(n+3)塊瓷磚，每一豎列共有(n+2)塊瓷磚(均用含n的代數(shù)式表示)；(2) 按上述鋪設方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值；(3) 若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題(3)中，共需花多少元錢購買瓷磚?(4) 是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形?請通過計算說明為什么?解：(2)第n個圖共有(n+5n+6)塊瓷磚.由n2+5n+6=506.解得n1=20,n2=-25(舍去).n=20.(3)白瓷磚塊數(shù)是n(n+1)=20(20+1)=420,黑瓷磚塊