九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二十一章 一元二次方程 數(shù)學(xué)活動(dòng)導(dǎo)學(xué)案（新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

1、數(shù)學(xué)活動(dòng)一、活動(dòng)導(dǎo)入1.導(dǎo)入課題：老師在黑板上畫1個(gè)點(diǎn)，說明點(diǎn)是幾何中最基本的圖形，許多點(diǎn)排列起來可以構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)陣,點(diǎn)陣是非常有趣的圖形.今天我們就來研究“點(diǎn)陣中的規(guī)律”.(板書課題)2.活動(dòng)目標(biāo)：(1)通過觀察點(diǎn)陣(數(shù)學(xué)模型)，了解并掌握一些點(diǎn)陣及數(shù)學(xué)模型的變化規(guī)律.(2)探究三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式.(3)運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)和三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式解決問題.(4)通過活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、歸納和概括能力,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.3.活動(dòng)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：探究三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式,運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)和三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式解決問題.

2、難點(diǎn)：運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)和點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式解決問題.二、活動(dòng)過程活動(dòng)1三角形點(diǎn)陣1.活動(dòng)指導(dǎo)(1)活動(dòng)內(nèi)容：三角形點(diǎn)陣.(2)活動(dòng)時(shí)間：10分鐘.(3)活動(dòng)方法：完成活動(dòng)參考提綱.(4)活動(dòng)參考提綱：圖1是一個(gè)三角形點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)第n行有n個(gè)觀察圖形，完成下面各題.下表是該點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)和，請(qǐng)你按要求把它填寫完整.若該三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)和是300，求行數(shù)n.由知前n行的點(diǎn)數(shù)和為n(n+1)2=300，解得n1=24，n2= -25(舍去)，即行數(shù)n為24.該三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)和能是600嗎？如果能，求出其行數(shù)n；如果不能，

3、請(qǐng)說明理由.前n行的點(diǎn)數(shù)和n(n+1)2=600,解得n1=-1+48012, n2=-1-48012,因?yàn)閚是正整數(shù)，方程的兩根均不符合條件，所以三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)和不能是600.如果把圖中的三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2，4，6，2n，你能探究出前n行的點(diǎn)數(shù)和滿足什么規(guī)律嗎？前n行的點(diǎn)數(shù)和為n(2n+2)2=n(n+1)在中，三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理.依題意,n(n+1)=600.解得n1=24，n2= -25(舍去).即n的值為24.2.自學(xué)：學(xué)生參考活動(dòng)指導(dǎo)進(jìn)行活動(dòng)性學(xué)習(xí).3.助學(xué)：(1)師助生：明了學(xué)情：明了學(xué)生歸納公

4、式、建立一元二次方程模型等方面的情況.差異指導(dǎo)：對(duì)困難學(xué)生從歸納公式、建立一元二次方程模型等方面進(jìn)行指導(dǎo).(2)生助生：學(xué)生同桌之間互相交流.4.強(qiáng)化：(1)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式.(2)運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)和三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和的計(jì)算公式解決問題的一般過程.活動(dòng)2正六邊形點(diǎn)陣1.活動(dòng)指導(dǎo)(1)活動(dòng)內(nèi)容：正六邊形點(diǎn)陣. (2)活動(dòng)時(shí)間：8分鐘.(3)活動(dòng)方法：完成活動(dòng)參考提綱.(4)活動(dòng)參考提綱：如圖2是一個(gè)形如正六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，依此類推.填寫下表：寫出第n層所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)(n2)；6(n-1)寫出n層正六邊形

5、點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)(n2)；1+61+62+6(n-1)=1+61+n-12(n-1)=1+3n(n-1)如果點(diǎn)陣中所有層的總點(diǎn)數(shù)為331，請(qǐng)求出它共有幾層？1+3n(n-1)=331解得：n1=11，n2=-10(舍去)，它共有11層.點(diǎn)陣設(shè)計(jì)大賽：設(shè)計(jì)時(shí)間：5分鐘.設(shè)計(jì)要求：a. 每人設(shè)計(jì)一組有規(guī)律、美觀的點(diǎn)陣圖，畫出前4個(gè)點(diǎn)陣，并仿照三角形點(diǎn)陣的探究提出問題，然后在小組內(nèi)交流自己的設(shè)計(jì)方案.b. 每組評(píng)選出優(yōu)秀作品，派代表說明設(shè)計(jì)的方法及點(diǎn)陣中的規(guī)律.c. 優(yōu)秀設(shè)計(jì)作品將在班級(jí)“學(xué)習(xí)園地”展出.2.自學(xué)：學(xué)生參考活動(dòng)指導(dǎo)進(jìn)行活動(dòng)性學(xué)習(xí).3.助學(xué):(1)師助生:明了學(xué)情：明了學(xué)生是否會(huì)歸納n層正

6、六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù).差異指導(dǎo)：對(duì)困難學(xué)生在歸納n層正六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)方面進(jìn)行指導(dǎo).(2)生助生：學(xué)生同桌之間互相交流.4.強(qiáng)化：(1)n層正六邊形點(diǎn)陣總點(diǎn)數(shù)的計(jì)算公式.(2)運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)和n層正六邊形點(diǎn)陣總點(diǎn)數(shù)的計(jì)算公式解決問題的一般過程.三、評(píng)價(jià)1.學(xué)生的自我評(píng)價(jià)(圍繞三維目標(biāo))：這節(jié)課你有什么收獲？有哪些不足？2.教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)：(1)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)：從學(xué)生回答問題、課堂的注意力等方面進(jìn)行評(píng)價(jià).(2)紙筆評(píng)價(jià)：課堂評(píng)價(jià)檢測(cè).3.教師的自我評(píng)價(jià)(教學(xué)反思)：本課時(shí)是規(guī)律探究類問題的學(xué)習(xí)，解決問題的方法是列一元二次方程，也體現(xiàn)了一元二次方程用途的廣泛性.教學(xué)思路是以學(xué)生自主探究為主，

7、教師引導(dǎo)為輔，讓學(xué)生成為獲取知識(shí)的主動(dòng)者，從而達(dá)到讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)并會(huì)運(yùn)用的目的. (時(shí)間：12分鐘滿分：100分)一、基礎(chǔ)鞏固(50分)1.(30分)古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律.(1)下圖反映了一個(gè)“三角形數(shù)”是如何得到的，認(rèn)真觀察，并在后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式；1=1；1+2=3；1+2+3=6；1+2+3+4=10.(2)通過猜想，寫出(1)中與第九個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式：1+2+3+9=45. (3)2015是“三角形數(shù)”嗎？為什么？解：不是.

8、“三角形數(shù)”都可以寫成n(n+1)2的形式，令2015=n(n+1)2，因?yàn)閚是正整數(shù)，方程的兩根均不符合條件，所以2015不是“三角形數(shù)”.(4)從下圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和.結(jié)合(1)觀察下列點(diǎn)陣圖，并在后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式.1=12；1+3=22；3+6=32；6+10=42；10+15=52.(5)通過猜想，寫出(4)中與第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式：n(n-1)2+n(n+1)2=n2.(6)判斷225是不是“正方形數(shù)”，如果不是，說明理由；如果是，225可以看作哪兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和？解：是.152=225.225是“正方形

9、數(shù)”.由(5)，15(15-1)2+15(15+1)2=152，225可以看作105，120這兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和.2.(20分)如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第幾個(gè)圖形由217個(gè)圓組成？解：第n個(gè)圖形由1+3n(n-1)個(gè)圓組成.令1+3n(n-1)=217,解得 n1=9,n2=-8(舍去).第9個(gè)圖形由217個(gè)圓組成.二、綜合應(yīng)用(20分)3.(20分)如圖是一個(gè)正五邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊有三個(gè)點(diǎn).這個(gè)五邊形點(diǎn)陣前n層共有331個(gè)點(diǎn),求n；這個(gè)

10、五邊形點(diǎn)陣會(huì)不會(huì)存在前n層共有1261個(gè)點(diǎn)的情形？如果存在，求n的值；如果不存在，說明理由.解：前n層共有1+5n(n-1)2個(gè)點(diǎn).由1+5n(n-1)2=331,解得n1=12，n2= -11(舍去).令1+5n(n-1)2=1261,解得n1=1+2017,)2n2=1-2017,)2.n為正整數(shù)，方程的兩根均不合題意.即這個(gè)五邊形點(diǎn)陣不會(huì)存在前n層共有1261個(gè)點(diǎn)的情形.三、拓展延伸(30分)4.(30分)如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面.請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問題： (1)在第n個(gè)圖中，每一橫行共有(n+3)塊瓷磚，每一豎列共有(n+2)塊瓷磚(均用含n的代數(shù)式表示)；(2) 按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)n的值；(3) 若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題(3)中，共需花多少元錢購買瓷磚?(4) 是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形?請(qǐng)通過計(jì)算說明為什么?解：(2)第n個(gè)圖共有(n+5n+6)塊瓷磚.由n2+5n+6=506.解得n1=20,n2=-25(舍去).n=20.(3)白瓷磚塊數(shù)是n(n+1)=20(20+1)=420,黑瓷磚塊