2017年中考數(shù)學(xué)專題練習(xí)探索研究類問(wèn)題

1、探索研究類問(wèn)題1.1.課本中，把長(zhǎng)與寬之比為 、2的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙，請(qǐng)思考解決下列問(wèn)題：（1 1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD（AB : BC）對(duì)開(kāi)，如圖 1 1 所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn) 紙請(qǐng)給予證明圖1（2 2）在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（AB：BC）進(jìn)行如下操作：第一步：沿過(guò)A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖 2 2 甲）； 第二步：沿過(guò)D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG（如圖 2 2 乙）， 此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；第三步：沿直線DM折疊（如圖 2 2 丙），此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合請(qǐng)你探究：矩形紙片ABCD

2、是否是一張標(biāo)準(zhǔn)？請(qǐng)說(shuō)明理由（3 3）不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖3 3 一次又一次對(duì)開(kāi)后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙，現(xiàn) 有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB=1,BC = ,2，問(wèn)第 5 5 次對(duì)開(kāi)后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)是多少？探 索并直接寫出第 20122012 次對(duì)開(kāi)后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng) . .ADBC-第三次對(duì)開(kāi)第二次對(duì)開(kāi)2答案：解：(1 1)是標(biāo)準(zhǔn)紙理由如下:BC_:矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，.BC = .2AB1由對(duì)開(kāi)的含義知：AF BC. .2ABAF二AB=嚴(yán)2山1BCBC22矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙. .(2 2)是標(biāo)準(zhǔn)紙. .理由如下： 設(shè)AB=CD =a由圖形折疊可知：DN二CD二DG =a

3、DG _ EM:由圖形折疊可知：ABE AFE1DAEBAD =452. ADG是等腰直角三角形.在RtAADG中，AD h：；AG2DG2=、,2aAB a矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙對(duì)開(kāi)次數(shù)第一次第二次第三次第四次第五次第六次周長(zhǎng)*+2坷2冷2肌呵2卜?2駅2冷第 5 5 次對(duì)開(kāi)后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為：-42.2.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為 4 4 的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不 與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH.(1 1)求證：_APB二BPH；第 20122012 次對(duì)開(kāi)后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)

4、:3(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；(3) 設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在 最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：解：( (1 1)T PE二BE,EBP=/EPB.又：EPH EBC =90 EPH - EPB =/EBC - EBP. 即PBC =/BPH.又；AD/BC,APB =/PBC.:APB =/BPH.(2(2)PHD的周長(zhǎng)不變，為定值 &G GG GG G84證明：過(guò)B作BQ _ PH，垂足為Q 由(1 1 知.APB=/BPH, 又；NA=NBQP=90BP

5、= BP,ABPQBPAP二QP,AB二BQ又：AB二BC,BC二BQ又；NC=NBQH=90BH=BH,BCHBQHCH二QH.PHD的周長(zhǎng)為：PD DH PH二AP PD DH HC = AD CD = 8. .)(3 3)過(guò)F作FM _ AB，垂足為M，貝VFM二BC二AB 又EF為折痕，EF _ BP. .EFM = MEF = ABP BEF二90,EFM = ABP又：AEMF =90,EFM BPAEM = AP = x在RtAAPE中，(4-BE)2X2=BE2.x2E EH HF FG G5解得，BE =26x.CF二BE - EM =2 x.8又四邊形PEFG與四邊形BEF

6、C全等，11x2二S (BE CF )BC (4 x) 4.22412即：Sx2-2x 8212配方得，S (x-2)2,當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值 6 6.3.3. (20(20 如圖 1 1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若N MBN=45易證MN =AM CN.(1) 如圖 2 2,在梯形ABCD中，BC/AD,AB二BC = CD，點(diǎn)M、N分別在AD、CD1上，若MBNABC，試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜2想，并給予證明.(2) 如圖 3 3,在四邊形ABCD中，AB=BC，乂ABC+N ADC =180，點(diǎn)M、N分別1在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若

7、MBNABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出猜想，不需證明.7答案：解：(1 1)圖 2 2,猜想：MN =AM CN證明：延長(zhǎng)NC至點(diǎn)F，使CF =AM，連接BF:四邊形ABCD是等腰梯形Z DAB ZADC又：AD/CB ADC = BCF.BCF = DAB又：AB二BC AM =CF.AMBCFB.2 3 BM二BF1:MBN ABC2.1 2MBN.1.3= MBN即MBN NBF又：BN =BN BM =BF.MBNFBNMN =NF；NF =NC CF.MN二AM CN(2 2)圖 3 3 猜想：MN =CN -AM4.4.如圖，半徑分別為m, n 0

8、.=S.試探究：是否存在一條經(jīng)過(guò)P,Q兩點(diǎn)、開(kāi)口向下且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為 一的拋返d物線？若存在，請(qǐng)求出拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由兩圓同時(shí)與兩8答案：解：(1 1)方法一：由于兩圓同時(shí)與兩坐標(biāo)軸相切，所以兩圓圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相 等，又兩圓圓心均在第一象限，故兩圓圓心均在第一、三象限的角平分線上，從而所求的直線的解析式為：y=x方法二：設(shè)兩圓心Q, 02所在的直線的解析式是：y=kx b由題意可知：01m, m，02n，n m：n丄km b二mkn b = nk =1b = 0故所求的直線方程為：y = x.(2 2 )方法一： Oim, m ,。2n, n m：n，兩圓LO,

9、O2的半徑分別為m, n二Of = m, O2P二n222m T 1亠1 4一m m則由題意結(jié)合勾股定理可得：2 22n -1 亠n - 4 n解之得：m=5-2-. 2, n =5 .2故兩圓圓心距：|O1O272| m n= 血疋4丁2=89方法二：（構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理求解）（3 3 ）假設(shè)存在這樣的拋物線，不妨設(shè)其方程為：因?yàn)辄c(diǎn)Q與點(diǎn)P 4,1關(guān)于直線：y = x對(duì)稱，根據(jù)三角形全等的知識(shí)可得點(diǎn)Q 1,4由對(duì)稱性結(jié)合勾股定理可以求出：PQ = 3J2在四邊形PO1QO2中，由于兩對(duì)角線PQ,O1O2互相垂直1 1故sPQLO1O23 2 8=12.2,S2= 1 m n nm

10、二20、2所以邑二S21=1J2d又設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為：（X!, 0 ）,（x2, 0 ），則x, -x2=116a +4b +c =1從而a +b +c =4(2)% X2j(X +2X2 ) _4XX2(3)由（1 1）, （2 2）可得f +bb =-1 -5ajX1 +X2 a代入第（3 3）可得又cc =5a +4aX1X2 =_La1丄土打I a丿a整理可得：8a2-10a 1 = 0解得：a一萬(wàn)08這與題設(shè)a : 0相矛盾. .故這樣的拋物線不存在2y = ax bx c a：0Mrt x105.5.已知，如圖，NMON =60，點(diǎn)A, B為射線OM,ON上的動(dòng)點(diǎn)(

11、點(diǎn)A,B不與APB =120(1 1 )求AP的長(zhǎng)；(2 2)求證：點(diǎn)P在.MON的平分線上.(3 3)如圖，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn), 連接CD，DE，EF，F(xiàn)C，OP當(dāng)AB _OP時(shí)，請(qǐng)直接寫出四邊形CDEF的周長(zhǎng)的值；若四邊形CDEF的周長(zhǎng)用t表示，請(qǐng)直接 寫出t的取值范圍.答案：解：( (1 1)過(guò)點(diǎn)P作PQ _ AB于點(diǎn)Q:PA二PB,APB =120AB=4.3.AQJAB4、3 =2 .32 211APQ APB1206022AQ在RtAPQ中，sin .APQ-2APAQ 2-32 3,.AP4sin APQ sin 60旦2(2 2

12、)過(guò)點(diǎn)P分別作PS _ OM于點(diǎn)S，PT _ ON于點(diǎn)TOSP=/OTP=90在四邊形OSPT中，SPT=360- OSP- SOT- OTP= 360906090120APBSPT=120APSBPT又；ASPBTP=90AP = BPAPS BPT PS = PT點(diǎn)O重合)，且AB =4、3，在.MON的內(nèi)部、AOB的外部有一點(diǎn)P，且AP = BP，011點(diǎn)P在MON的平分線上12(3(3)8 4、34 4. 3：:t 8 4、36.6.按照如圖所示的程序計(jì)算:若輸入x =8.6，貝ym m = =_答案：8 87.7.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,F為AD中點(diǎn)，CE

13、 _ AB于點(diǎn)E, 設(shè).ABC=a(60 x：90).(1 1 )當(dāng)a =60時(shí)，求 CECE 的長(zhǎng)；(2 2 )當(dāng)60a : 901是否存在正整數(shù)k，使得.EFD AEF?若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng) 說(shuō)明理由.2 22連接CF，當(dāng)CE -CF取最大值時(shí)，求tanDCF的值. ./樹(shù)A止IfcM /I是13答案：解：（1 1 ）在RtABEC中，.BEC =90,BC =10,當(dāng)=60時(shí)，.BCE0 -60 = 3,0所以BE =1BC = 5由勾股定理可得：（2 2 分）(2)存在如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接FM交EC于點(diǎn)N，連接FC，:平行四邊形ABCD中，F(xiàn)、M分別為AD、BC的中點(diǎn)

14、，.AF/BM,AF二BM =5；FD/MC,FD二MC =5,四邊形ABMF、四邊形FMCD均為平行四邊形.又：AB二CD二FD =5,四邊形FMCD為菱形，.23:CE _ AB, FM/AB,M為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)M為EC的垂直平分線.EF二FC,2 ,EFD =3 1.又：AEF =3 1,EFD =3 AEF.所以k =3；如圖，由可知，MN/BE,MN CM 1 _ _ =_BE一BC 2,BE =2MN.設(shè)MN =x，貝U BE =2x,FN =5x;在RtAEBC中，CE2=BC2-BE2=100 -4x2,在RtAFNC中，CF2二FN2NC2二（5 -x）2（52- x2） =50 T0 x,2 2 2CE -CF =100 -4x -（50T0 x）148.8.已知a、b是正實(shí)數(shù)，那么，_ Ob是恒成立的.2（1 1） （3 3 分）由、0-、62_0恒成立，說(shuō)明a b_不恒成立；2（2 2） （3 3 分）填空：已知a、b、c是正實(shí)數(shù)，由_衛(wèi)_、恒成立，猜測(cè)：a b c_23也恒成立；（3 3）（2 2 分）如圖，已知AB是直徑，點(diǎn)P是弧上異于點(diǎn)A和點(diǎn)B的一點(diǎn)，PCXAB垂足為C, AC=a,BC=b，由此圖說(shuō)明 色_衛(wèi)_ . 恒成立.2答案：1 1）由 a a b2_ 0得，a -2：ab，b - 0.1 1 分于是a b亠2