數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義——直線與圓的方程(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義直線與圓的方程一、例題例1 求函數(shù)的值域.例2 當實數(shù)，滿足時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例3 過直線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為， ，試求的垂心的軌跡方程.二、練習(xí)題1. 若直線，與能圍成一個三角形，則實數(shù)的取值范圍是_.2. 方程表示的曲線是_.3. 以兩圓與的公共弦為直徑的圓的方程為_.4. 已知當且時，圓總與直線相切，則直線的方程是_.5. 在平面直角坐標系中，橫縱坐標都是有理數(shù)的點稱為有理點，則過點且其上至少存在兩個有理點的直線的條數(shù)為_.6. 在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，則平面上的整點到直線的距離的最小值

2、是_.7. 已知矩形的頂點的坐標為，頂點在圓 上移動，且，兩邊始終分別平行于軸，軸，求矩形面積的最小值，以及取得最小值時點的坐標.8. 已知直線與圓相交于，兩點，點在上，且.當變化時，求點的軌跡方程.9.（2012年全國聯(lián)賽）在平面直角坐標系中，菱形的邊長為4，且.（1）求證：為定值；（2）當點在半圓上運動時，求點的軌跡.10. 直線與相離，點為上任意一點，過點引的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點.數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義直線與圓的方程參考答案1.2.兩個半圓.3.4.5.答案：1.分析：顯然，若存在這樣的直線，則該直線必有斜率.下面用反證法證明斜率必為零.假設(shè)斜率不為零，設(shè)點與為該直線上的兩個

3、不同的有理點，則有，注意到等號的左邊是個無理數(shù)，而右邊是有理數(shù)，矛盾.因此假設(shè)錯誤，即滿足條件的直線的斜率必為零.注：此題屬競賽級別.6.答案：分析：平面上的整點到直線的距離，因為的倍數(shù)，故當且僅當，即，亦即，（）（根據(jù)數(shù)論中的孫子定理，當然若想簡單一點，取便可）時，取最小值.注：此題屬競賽級別.7.當且僅當點的坐標為或時，矩形面積最小且最小值為.8.答案：點的軌跡方程為.分析：易見點在圓的外部，即點在點、的同側(cè).否則，若點在線段上，則（這里為圓的半徑），矛盾.利用切割線定理，設(shè)直線與圓相切于點，則有，于是，這表明點在以為圓心，為半徑的圓上，但不能說這個圓就是點的軌跡，因為點還有其他約束條件，即點在直線上，而是要與圓相交的.9.（1）（從幾何關(guān)系入手）設(shè)點為菱形的對角線的交點，則注：此題的條件可以簡化一下.（2）（利用圓的參數(shù)方程）因點在半圓上運動，故可設(shè)點的坐標為，再利用（1）的結(jié)論，可得點的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），即點的軌跡是一條線段，端點為，.10. 如圖建立直角坐標系，設(shè)圓的半徑為， 直線的方程為，上的動點，切點，則切線，的方程分別為，因點在切線，上，故，上述兩個方程表明都在直線上，這恰是直線的方程.據(jù)此方程可知，直線恒過定點.換個角度，由于，故點，在以為直徑的圓上，從而直線成為圓與圓的公共弦所在的直線了.注：直線（也稱