非正弦周期電流電路分析

1、第八章第八章 非正弦周期電流電路的分析非正弦周期電流電路的分析 產生非正弦周期電流的原因：產生非正弦周期電流的原因：1 1、激勵本身為非正弦周期函數。、激勵本身為非正弦周期函數。2 2、幾個不同頻率的正弦激勵作用于同一線性電路。、幾個不同頻率的正弦激勵作用于同一線性電路。3 3、單一頻率的正弦激勵作用于非線性電路。、單一頻率的正弦激勵作用于非線性電路。對于周期性的激勵與響應，可以利用傅里葉級數分解為一系列對于周期性的激勵與響應，可以利用傅里葉級數分解為一系列不同頻率的簡諧分量。根據疊加定理，線性電路對非正弦周期不同頻率的簡諧分量。根據疊加定理，線性電路對非正弦周期性激勵的穩(wěn)態(tài)響應，等于組成激勵

2、信號的各簡諧分量分別作用性激勵的穩(wěn)態(tài)響應，等于組成激勵信號的各簡諧分量分別作用于電路時所產生的響應的疊加。而響應的每一簡諧分量可用正于電路時所產生的響應的疊加。而響應的每一簡諧分量可用正弦穩(wěn)態(tài)分析的相量法求得。弦穩(wěn)態(tài)分析的相量法求得。 8 8 1 1 周期函數的傅里葉級數展開式周期函數的傅里葉級數展開式 周期函數周期函數 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, ) 若滿足狄里赫利條件若滿足狄里赫利條件則則f(t)可展開為傅里葉級數可展開為傅里葉級數 (2)函數函數f ( t ) 在任一周期內只有有限個極大值和極小值；在任一周期內只有有限個極大值和極小值； (

3、3)函數函數f ( t ) 在任一周期內只有有限個不連續(xù)點；在任一周期內只有有限個不連續(xù)點； (1)函數函數f ( t ) 在任一周期內絕對可積，即對于任意時刻在任一周期內絕對可積，即對于任意時刻t0，積分，積分 Tttdttf00 ) ( 存在；存在； 1110)sincos(2)(nnntnbtnaatf 傅里葉級數展開式傅里葉級數展開式 TttdttfTa00 0 ) ( 12 TttndttntfTa00 1 cos ) ( 2 TttndttntfTb00 1 sin ) ( 2 T 2 1 )sin(sincos111nnntnAtnbtna 22nnnbaA nnnbaarcta

4、n 110)sin(2)(nnntnAAtf 基波基波(fundamental wave)或一次諧波或一次諧波(first harmonic) )sin(111 tAn次諧波次諧波(n-th harmonic)1( )sin(1 ntnAnn 110)sin(2)(nnntnAAtf 20A常數項（直流分量）常數項（直流分量）具有對稱性的周期函數的傅里葉級數展開式的特點：具有對稱性的周期函數的傅里葉級數展開式的特點： (1) 奇函數奇函數(odd function) ：f ( t ) = f ( t ) 奇函數的波奇函數的波形對稱于坐形對稱于坐標系的原點標系的原點 0 , 0 , 020 nn

5、baa TttndttntfTb00 1 )sin()(2 dttntfTT )sin()(412 0 (2) 偶函數偶函數(even function)： f ( t ) = f ( t ) 偶函數的波偶函數的波形對稱于坐形對稱于坐標系的縱軸標系的縱軸 0 , 02 , 0 0 nnaabdttntfTaTttn )cos()(21 00 dttntfTT )cos()(412 0 (3) 奇諧波函數奇諧波函數(odd harmonic function) ：)2()(Ttftf 后半周對橫軸的鏡象是前半周的重復后半周對橫軸的鏡象是前半周的重復 )sin()cos()(111 nnntnbt

6、natf ), 5 , 3 , 1()sin(11 ntnAnnn 值得指出：一個周期函數是否具有半波對稱性，僅決值得指出：一個周期函數是否具有半波對稱性，僅決定于該函數的波形，但是，一個周期函數是否為奇函定于該函數的波形，但是，一個周期函數是否為奇函數或偶函數則不僅與該函數的波形有關，而且和時間數或偶函數則不僅與該函數的波形有關，而且和時間起點的選擇有關。起點的選擇有關。 8 8 2 2 線性電路對周期性激勵的線性電路對周期性激勵的穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應 步驟：步驟：1 1、將周期性激勵分解為傅里葉級數；、將周期性激勵分解為傅里葉級數；2 2、根據疊加定理，求每一諧波源單獨作用、根據疊加定理，求每

7、一諧波源單獨作用于電路的響應；于電路的響應；3 3、將各諧波激勵所引起的時域響應疊加，、將各諧波激勵所引起的時域響應疊加，即得線性電路對非正弦周期性激勵的穩(wěn)態(tài)即得線性電路對非正弦周期性激勵的穩(wěn)態(tài)響應響應 。 例例1. 1. 圖圖a a為一個周期性矩形脈沖電流源，用它來激勵為一個周期性矩形脈沖電流源，用它來激勵圖圖b所示電路所示電路已知：電路的參數為已知：電路的參數為R = 20 , L = 1 mH, C = 1000 pF，2T 求此電路的端電壓求此電路的端電壓u(t)。T T = = 6.28 s s，mAI2p mA。 解：解：(1)(1)對周期激勵電流進行諧波分析對周期激勵電流進行諧波

8、分析 2222 022 )(pTttTtIti 及及此函數波形具有偶函數對稱性，故此函數波形具有偶函數對稱性，故 bn=0 2 0 1 )cos()(4TndttntiTa )21sin(1 nn dttiTaITT )(1 2 2 2 00 4 p IT)21sin(1 nnan ，71513117531 aaaa0642 aaa電流電流i(t)的傅里葉級數展開式為的傅里葉級數展開式為 ttti11 3cos31 cos4()( mA ) 7cos71 5cos5111 tt (2) (2) 計算電路對各次諧波的端口等效阻抗計算電路對各次諧波的端口等效阻抗 ) ( 1) ( 1)(11111

9、LjnRCjnLjnRCjnjnZ CRjnLCnLjnR )(1 1211 sradT/10101028. 622 661 102)1(1020)(2231njnnjjnZ k 50) (1 jZ k 375. 0)3(95.891jejZ k 208. 0)5(99.891jejZ k 146. 0)7(901jejZ k 02. 00RZ(3) (3) 求激勵源的直流分量及各諧波求激勵源的直流分量及各諧波分量單獨作用時的電壓響應分量單獨作用時的電壓響應 V 0157. 0V 402. 000 RIUmA1901jmeI V50)(90111jmmeIjZU u基波電流單獨作用時：基波電流

10、單獨作用時：u直流分量單獨作用時：直流分量單獨作用時：tmAcos11 imA31903jmeI u當當3次、次、5次、次、7次諧波單獨作用時：次諧波單獨作用時：mA51905jmeI mA71907jmeI V 125. 0)3(95.17931 3jmmeIjZU V 0416. 0)5(01. 051 5jmmeIjZU V 0208. 0 )7(71 7 mmIjZU (4) (4) 將響應的直流分量及各諧波分量的時間函數式相將響應的直流分量及各諧波分量的時間函數式相疊加，求出電壓響應疊加，求出電壓響應 )()()()()(75310tutututuUtuV 7sin0208. 0)0

11、1. 0 5sin(0416. 0)95.179 3sin(125. 0)90 sin(500157. 01111 tttt 例例2 下圖所示電路，已知下圖所示電路，已知 = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 , L1 = 0.106 H，L2 = 0.0133 H，C1 = 95.6F，C2=159 F， V ) 3sin210 sin22010()(tttus 求求i1(t)及及i2(t)。解：解：1 1）直流分量電壓單獨作用）直流分量電壓單獨作用 A11010 RUIs020 I2 2）基波分量電壓單獨作用）基波分量電壓單獨作用 0S )103103( 1 2211 jLj

12、Cj L1與與C1并聯(lián)的等效導納為并聯(lián)的等效導納為L1與與C1發(fā)生并聯(lián)諧振，并聯(lián)處相當于開路發(fā)生并聯(lián)諧振，并聯(lián)處相當于開路 A1e= 1j452211s2111CjRRUIImmm A)45 sin(1)()(2111 ttiti 3 3）三次諧波分量電壓單獨作用）三次諧波分量電壓單獨作用 L1與與C1并聯(lián)后與并聯(lián)后與L2串聯(lián)串聯(lián)的的等效阻抗為等效阻抗為 0 3 31 j31211 LjLjC 該串聯(lián)支路發(fā)生串聯(lián)諧振，相當于短路該串聯(lián)支路發(fā)生串聯(lián)諧振，相當于短路 A2013s13jmmeRUI 023 mI A 3sin2)(13tti A0)(23 ti4 4）當直流分量和各次諧波分量共同作

13、用時：）當直流分量和各次諧波分量共同作用時：)()()(1311101titiIti A sin2)45 sin(1 tt )()()(2321202titiIti A)45 sin(1 t 注意注意 (1) (1) 當激勵函數中的直流分量單獨作用時，電容相當當激勵函數中的直流分量單獨作用時，電容相當于開路，電感相當于短路。于開路，電感相當于短路。 (2) 當激勵函數中的各諧波分量分別作用時，由于感抗當激勵函數中的各諧波分量分別作用時，由于感抗與諧波次數成正比（與諧波次數成正比（XLn=n1L），容抗與諧波次數成反），容抗與諧波次數成反比比（XCn=1/n1C） ，因而電路對不同頻率的諧波所呈

14、現(xiàn)的，因而電路對不同頻率的諧波所呈現(xiàn)的阻抗阻抗(或導納或導納)也必然不同。也必然不同。 判斷電路是否發(fā)生諧振判斷電路是否發(fā)生諧振(3) (3) 激勵函數中各次諧波分別作用時求得的頻域響應，必激勵函數中各次諧波分別作用時求得的頻域響應，必須變成時域響應才能進行疊加。也就是說，只能用各次諧須變成時域響應才能進行疊加。也就是說，只能用各次諧波的時域函數進行加減，而不可用它們的相量進行加減。波的時域函數進行加減，而不可用它們的相量進行加減。 8 8 3 3 非正弦周期電流和非正弦周期電流和電壓的有效值電壓的有效值平均功率平均功率 一一. 有效值有效值 周期電流周期電流i(t)的有效值為的有效值為 Td

15、ttiTI 0 2)(1 110)sin()(nnnmtnIIti TnnmndttnIITI02110)sin(1 20 0 201)1(IdtITT 2)(sin 1)2(2 0 122mnTnmnIdttnIT 0)sin(21)3( 0 10 TnmndttnIIT )(0)sin()sin(21)4(011npdttptnIITTpnmpmn 122021nnmIII 1220nnIII 122021nnmUUU 1220nnUUU二二. 非正弦周期電流電路中的平均功率非正弦周期電流電路中的平均功率 dttituTdttpTPTT )( )(1 )(1 0 0 11 0)sin()(

16、nnmntnUUtu 11 0)sin()(nnmntnIIti 00 0 00 1 )1(IUdtIUTT 0 )( 1 )3( 0 1 0 TnmndttnIUT )sin()sin(1 )2(1 1 0 dttntnIUTnnmnmnT nnnIU cos 0 )sin( 1 )4( 0 1 0 TnmndttnUIT )( 0 )sin()sin( 1 )5( 0 11 npdttptnIUTTpnmpmn 10100cosnnnnnnPPIUIUP 二端網絡吸收的平均功率二端網絡吸收的平均功率 非正弦周期電流電路的功率因數（非正弦周期電流電路的功率因數（）仍定義為仍定義為平均功率（平均功率（P）與視在功率（與視在功率（UI） 之比，即之比，即 UIP 例例1. 已知一無源二端口網絡的端口電壓和電流分別為已知一無源二端口網絡的端口電壓和電流分別為V )4 3sin(4 .56 2sin6 .84)4 sin(141)( ttttu A )4 3sin(5 .30)4 sin(4 .5