幾何概型典型例題1

1、幾何概型1(2009年高考福建卷)點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為_解析：設(shè)事件M為“劣弧的長(zhǎng)度小于1”，則滿足事件M的點(diǎn)B可以在定點(diǎn)A的兩側(cè)與定點(diǎn)A構(gòu)成的弧長(zhǎng)小于1的弧上隨機(jī)取一點(diǎn)，由幾何概型的概率公式得：P(M).答案：2(2010年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知如圖所示的矩形，長(zhǎng)為12，寬為5，在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲1000粒黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為600粒，則可以估計(jì)出陰影部分的面積約為_解析：設(shè)所求的面積為S，由題意得，S36.答案：363在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概

2、率為_解析：P.答案：4(2010年揚(yáng)州調(diào)研)已知集合Ax|1x0，在集合A中任取一個(gè)元素x ，則事件“xAB”的概率是_解析：由題意得Ax|1x5，Bx|2xR，此時(shí)N1ON2180，故所求的概率為.答案：7已知(x，y)|xy6，x0，y0，E(x，y)|x2y0，x4，y0，若向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的概率為_解析：如圖，區(qū)域表示的平面區(qū)域?yàn)锳OB邊界及其內(nèi)部的部分，區(qū)域E表示的平面區(qū)域?yàn)镃OD邊界及其內(nèi)部的部分，所以點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域E的概率為.答案：8已知函數(shù)f(x)x2axb.若a、b都是從區(qū)間0,4任取的一個(gè)數(shù)，則f(1)0成立的概率是_解析：f(1)1ab0，即ab1，

3、如圖：A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC，P.答案：9在區(qū)間0,1上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x3axb在區(qū)間1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為_解析：f(x)x2a，故f(x)在x1,1上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x3axb在1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即有f(1)f(1)0成立，即(ab)(ab)0，可化為或由線性規(guī)劃知識(shí)在平面直角坐標(biāo)系aOb中畫出這兩個(gè)不等式組所表示的可行域，再由幾何概型可以知道，函數(shù)f(x)x3axb在1,1上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為可行域的面積除以直線a0，a1，b0，b1圍成的正方形的面積，計(jì)算可得面積之比為.答案：10設(shè)不等式組表示的區(qū)域

4、為A，不等式組表示的區(qū)域?yàn)锽.(1)在區(qū)域A中任取一點(diǎn)(x，y)，求點(diǎn)(x，y)B的概率；(2)若x，y分別表示甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)數(shù)，求點(diǎn)(x，y)在區(qū)域B中的概率解：(1)設(shè)集合A中的點(diǎn)(x，y)B為事件M，區(qū)域A的面積為S136，區(qū)域B的面積為S218，P(M).(2)設(shè)點(diǎn)(x，y)在區(qū)域B為事件N，甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點(diǎn)(x，y)的個(gè)數(shù)為36個(gè)，其中在區(qū)域B中的點(diǎn)(x，y)有21個(gè)，故P(N).11(2010年江蘇南通模擬)已知集合Ax|1x0，集合Bx|axb2x10,0a2,1b3(1)若a，bN，求AB的概率；(2)若a，bR，求AB的概率解：(1)因?yàn)閍，bN

5、，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9組令函數(shù)f(x)axb2x1，x1,0，則f(x)abln22x.因?yàn)閍0,2，b1,3，所以f(x)0，即f(x)在1,0上是單調(diào)遞增函數(shù)f(x)在1,0上的最小值為a1.要使AB，只需a10，即2ab20.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7組所以AB的概率為.(2)因?yàn)閍0,2，b1,3，所以(a，b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形(如圖)，面積為4.由(1)可知，要使AB，只需f(x)mina102ab20，所以滿足AB的(a，b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域是如圖陰影部分所以S陰影1，所以AB的概率為P.12將長(zhǎng)為1的棒任意地折成三段，求：三段的長(zhǎng)度都不超過a(a1)的概率解：設(shè)第一段的長(zhǎng)度為x，第二段的長(zhǎng)度為y，第三段的長(zhǎng)度為1xy，則基本事件組所對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域可表示為(x，y)|0x1,0y1,0xy1，此區(qū)域面積為.事件“三段的長(zhǎng)度都不超過a(a1)”所對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域可表示為A(x，y)|(x，y)，xa，ya,1xya即圖中六邊形區(qū)域，此區(qū)