南開實(shí)驗(yàn)學(xué)校王芳(9)

1、 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng) 南開實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王芳 數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)安排了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四塊學(xué)習(xí)領(lǐng)域,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動,發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、以及應(yīng)用意識與推理的能力。這些內(nèi)容中最重要的部分,就是數(shù)學(xué)模型。在中學(xué)階段,數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列的概念系統(tǒng),算法系統(tǒng),關(guān)系、定律、公理系統(tǒng)等。數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實(shí)問題提供重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)的意義。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師應(yīng)采取有效措施，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)

2、學(xué)生用數(shù)學(xué)意識以及分析和解決實(shí)際問題的能力。在教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)模型思想呢？一、什么是數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)具體問題，在一定假設(shè)下找出解決這個問題的數(shù)學(xué)框架，求出模型的解，并對它進(jìn)行驗(yàn)證的全過程。也就是說，數(shù)學(xué)建模是將某一領(lǐng)域或某一實(shí)際問題，經(jīng)過抽象、簡化、明確變量和參數(shù)，并根據(jù)某種規(guī)律建立變量和參數(shù)間的一個明確的數(shù)學(xué)模型，然后求解該問題，并對此結(jié)果進(jìn)行解釋和驗(yàn)證。二、強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義。 數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，因此，要將現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時引入課堂，要將教材上的內(nèi)容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學(xué)生，描述數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景。情景的創(chuàng)設(shè)要與

3、社會生活實(shí)際、時代熱點(diǎn)問題、自然、社會文化等與數(shù)學(xué)問題有關(guān)的各種因素相結(jié)合，讓學(xué)生感到真實(shí)、新奇、有趣、可操作，滿足學(xué)生好奇好動的心理要求。這樣很容易激發(fā)學(xué)生的興趣，并在學(xué)生的頭腦中激活已有的生活經(jīng)驗(yàn)，也容易使學(xué)生用積累的經(jīng)驗(yàn)來感受其中隱含的數(shù)學(xué)問題，從而促使學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，感知數(shù)學(xué)模型的存在。三、數(shù)學(xué)建模的一般方法。 數(shù)學(xué)建模的方法很多，但從理論上講，主要有以下兩種方法：（1）機(jī)理建模方法。（2）系統(tǒng)辯識建模方法。直接利用觀察數(shù)據(jù)，根據(jù)一定的優(yōu)良準(zhǔn)則在模型中找出與數(shù)據(jù)擬合的最好模擬。這種方法在建立過程控制模型中是常用的。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使學(xué)生初步學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型的方法，提高學(xué)

4、生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，應(yīng)著重注意以下幾點(diǎn)： 首先是審題。對實(shí)際問題的題目，要耐心細(xì)致地讀題，深刻分解實(shí)際問題的背景，明確建模的目的；弄清問題中的主要已知事項(xiàng)，盡量掌握建模對象的各種信息；挖掘?qū)嶋H問題的內(nèi)在規(guī)律，明確所求結(jié)論和對所求結(jié)論的限制條件。接著是簡化。抓住主要因素，拋棄次要因素，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識和方法，用精確的語言作出假設(shè)。最后是抽象定型。將已知條件與所求問題聯(lián)系起來，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達(dá)出來，從而建立數(shù)學(xué)模型。按上述方法建立起來的數(shù)學(xué)模型，是不是符合實(shí)際，在對模型求解、分析以后通常還

5、要用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴Ｋ?、立足教材?qiáng)化建模意識教學(xué) 從廣義講，一切數(shù)學(xué)概念、公式、方程式和算法系統(tǒng)等都是數(shù)學(xué)專家從現(xiàn)實(shí)生活實(shí)踐中總結(jié)出來的數(shù)學(xué)模型,可以說，數(shù)學(xué)建模的思想滲透在中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中。因此，只要我們深入鉆研教材，挖掘教材所蘊(yùn)涵的應(yīng)用數(shù)學(xué)的教材，并從中總結(jié)提煉，就能找到數(shù)學(xué)建模教學(xué)的素材。例如：（1）平均增長率問題，包括產(chǎn)量、繁殖、資金、利率、裂變等，可以建立冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或方程模型。（2）最大（?。┲祮栴}，包括面（體）積最大（?。⒂昧献钍?、費(fèi)用最低、效益最好等，可以建立函數(shù)或不等式模型。（3）行程問題、工程問題、濃度問題，可以建立方程（組）、不等式（組）

6、模型。（4）拱橋問題、炮彈發(fā)射問題、衛(wèi)星軌道問題，可以建立二次曲線模型。（5）測量問題，可以建立解三角形模型 接下來從一個具體的問題出發(fā)探討一下初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個值得采用的啟發(fā)式教學(xué)方法-條形圖模型。例1：小明和小剛共有蘋果若干，小明的蘋果數(shù)是小剛的5倍。若小明給小剛36個蘋果，他們兩人的蘋果就一樣多，間他們共有多少個蘋果？ 這一問題可用列二元一次方程組求解，若令x和y分別為小明和小剛原有的蘋果數(shù)，那么x和y滿足下面的二元一次方程組： ，容易解得，x90，y18，從而x+y108，即小明和小剛共有蘋果108個。這一問題也可用條形圖模型求解如下：將小剛原有的蘋果數(shù)視為一個單位，那么由題意知，小明

7、原有的蘋果數(shù)為5個單位，由此得到模型：2個單位36，6個單位36÷2×6108。所以小明和小剛共有108個蘋果?？梢姉l形圖可使數(shù)量之間的關(guān)系變得一目了然，然后的求解過程只涉及簡單的加減乘除運(yùn)算（而不是解方程或方程組）。條形圖方法具有：（1）簡單直觀，富有啟發(fā)性；（2）易于反映量與量之間的關(guān)系；（3）易于反映量的變化（增加或減少）的過程；（4）易于教師講解，特別是進(jìn)行多媒體教學(xué)；（5）易于學(xué)生提高邏輯推理能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維能力。下面進(jìn)一步就初中數(shù)學(xué)中的幾類問題分別舉例說明這種模型化解題的具體應(yīng)用。（一）、分?jǐn)?shù)問題例2：某中學(xué) 的學(xué)生是女生，其余是男生。其中 的女生，

8、的男生參加了校運(yùn)動會。如果此中學(xué)共有570名學(xué)生沒有參加校運(yùn)動會，問學(xué)校共有多少學(xué)生？解：將學(xué)校的學(xué)生分成5個單位，則由題意，其中2個單位是女生，3個單位是男生，由此可得下面的模型：未參加運(yùn)動會的共有1個單位 個單位 個單位，個單位570，5個單位1140。所以該學(xué)校共有1140個學(xué)生。（二）、比例問題例3：4月份小王與小李在銀行的儲蓄額是3:5，到了6月份小王的儲蓄額增加了28元，而小李的儲蓄額卻減少了14元，結(jié)果他們兩位的儲蓄額正好相等，問小李4月份的儲蓄額是多少？解：由題意，可將4月份小王和小李的儲蓄額分別視為3個單位和5個單位，由此得到模型：2個單位（2814）元42元，5個單位42元

9、÷2×5105元。所以小李的儲蓄額為105元。（三）、行程問題例5：兩城市A和B之間的距離為210公里。上午8點(diǎn)30分有一輛轎車以平均速度60公里小時從A出發(fā)駛向B，同時另有一輛公共汽車以平均速度45公里小時從B出發(fā)駛向A，問當(dāng)轎車與公共汽車相遇時，公共汽車行駛了多少路程？解：公共汽車與轎車所行駛的距離之比等于兩者的速度之比，即60:454:3，因此我們可將A到B的整個路程分7個單位，進(jìn)而得到下面的模型：4個單位3個單位7個單位210公里，3個單位210公里÷7×390公里。所以當(dāng)轎車與公共汽車相遇時公共汽車行駛了90公里。上面的幾類問題均可用設(shè)求未知數(shù)列方程的方式求解，例如上面的例2至例4可用一元一次方程求解，例5可用二元一次方程組求解，請讀者自己完成。總之，對于某些實(shí)際問題，可以通過建立合理的數(shù)學(xué)模型作為橋梁來解決，對于相同類型的問題，采用相同的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的思維過程形象化、公式化。這樣，學(xué)生學(xué)起來不感到抽象、難懂，并能增強(qiáng)記憶和理解，容易被學(xué)生所接受。同時，通過直觀演示配合列表，把問題中的已