第九章 插值-2014111719522614

1、第九章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康囊?、?shí)驗(yàn)?zāi)康膒學(xué)會學(xué)會MATLAB軟件中利用給定數(shù)據(jù)進(jìn)行插值運(yùn)算的軟件中利用給定數(shù)據(jù)進(jìn)行插值運(yùn)算的方法。方法。二、相關(guān)知識二、相關(guān)知識p在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，自變量在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，自變量 與因變量與因變量 間的函間的函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系 有時(shí)不能寫出解析表達(dá)式，而只能有時(shí)不能寫出解析表達(dá)式，而只能得到函數(shù)在若干點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值，或者表達(dá)式得到函數(shù)在若干點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值，或者表達(dá)式過于復(fù)雜需要較大的計(jì)算量而只能計(jì)算函數(shù)在若干過于復(fù)雜需要較大的計(jì)算量而只能計(jì)算函數(shù)在若干點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值，當(dāng)要求知道其它點(diǎn)的函數(shù)值點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值，當(dāng)要求知道其它點(diǎn)的函數(shù)

2、值時(shí)，需要估計(jì)函數(shù)值在該點(diǎn)的值。時(shí)，需要估計(jì)函數(shù)值在該點(diǎn)的值。p為了完成這樣的任務(wù)，需要構(gòu)造一個(gè)比較簡單的函為了完成這樣的任務(wù)，需要構(gòu)造一個(gè)比較簡單的函數(shù)數(shù) ，使函數(shù)在觀測點(diǎn)的值等于已知的值，或，使函數(shù)在觀測點(diǎn)的值等于已知的值，或使函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于或者接近已知的值，尋使函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于或者接近已知的值，尋找這樣的函數(shù)找這樣的函數(shù) 有很多方法。根據(jù)測量數(shù)據(jù)有很多方法。根據(jù)測量數(shù)據(jù)的類型有以下兩類處理觀測數(shù)據(jù)的方法。的類型有以下兩類處理觀測數(shù)據(jù)的方法。 xy( )yf x( )yx( )yxp（1）測量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較小并且數(shù)據(jù)值是準(zhǔn)確的，測量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較小并且數(shù)據(jù)值是準(zhǔn)確的，或者基本

3、沒有誤差，這時(shí)我們一般用插值的方法來或者基本沒有誤差，這時(shí)我們一般用插值的方法來解決問題。解決問題。p（2）測量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較大或者測量值與真實(shí)值測量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較大或者測量值與真實(shí)值有誤差，這時(shí)一般用曲線擬合的方法來解決問題。有誤差，這時(shí)一般用曲線擬合的方法來解決問題。p在在MATLAB中，無論是插值還是擬合，都有相應(yīng)的中，無論是插值還是擬合，都有相應(yīng)的命令來處理。本實(shí)驗(yàn)討論插值。命令來處理。本實(shí)驗(yàn)討論插值。 p一維插值一維插值p已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集 ，即，即已知在點(diǎn)集已知在點(diǎn)集 上的函數(shù)值上的函數(shù)值 ，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)（其圖形為一曲線）通過這些點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)（其圖

4、形為一曲線）通過這些點(diǎn)，并能夠求出這些點(diǎn)之間的值，這一過程稱為一維插并能夠求出這些點(diǎn)之間的值，這一過程稱為一維插值。完成這一過程可以有多種方法，我們現(xiàn)在利用值。完成這一過程可以有多種方法，我們現(xiàn)在利用MATLAB提供的函數(shù)提供的函數(shù)interp1，這個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式，這個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：為：pyi=interp1(X,Y,xi,method) p該命令用指定的算法找出一個(gè)一元函數(shù)該命令用指定的算法找出一個(gè)一元函數(shù) ，然后以然后以 給出給出 處的值。處的值。 1122( ,),(,),(,)nnx yxyxy12 ,nXx xx12,nYy yy( )yf x( )f xxpxi 可以是一個(gè)標(biāo)

5、量，也可以是一個(gè)向量，是向量時(shí)，可以是一個(gè)標(biāo)量，也可以是一個(gè)向量，是向量時(shí)，必須單調(diào)，必須單調(diào)，method可以下列方法之一：可以下列方法之一： pnearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算；最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算； pspline：三次樣條函數(shù)插值；三次樣條函數(shù)插值；plinear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算p cubic：三次函數(shù)插值；三次函數(shù)插值；p對于對于minxi,maxxi外的值，外的值，MATLAB使用外推的使用外推的方法計(jì)算數(shù)值。方法計(jì)算數(shù)值。p例例1：已知某產(chǎn)品從：已知某產(chǎn)品從1900年到年到2010年每隔年每隔10年的產(chǎn)年的產(chǎn)量

6、為：量為：75.995, 91.972, 105.711,123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，計(jì)算出計(jì)算出1995年的產(chǎn)量，用三次年的產(chǎn)量，用三次樣條插值的方法，畫出每隔一年的插值曲線圖形，樣條插值的方法，畫出每隔一年的插值曲線圖形，同時(shí)將原始的數(shù)據(jù)畫在同一圖上。同時(shí)將原始的數(shù)據(jù)畫在同一圖上。p解：程序如下解：程序如下pyear=1900:10:2010;pproduct=75.995,91.972,105.711,123.203,p131.699,150.697,179

7、.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893pp1995=interp1(year,product,1995,spline)px=1900:2010;py=interp1(year,product,x,spline);pplot(year,product,o,x,y);p計(jì)算結(jié)果為：計(jì)算結(jié)果為：p1995=254.4043p如果用線性插值，則程序的后四行改為：如果用線性插值，則程序的后四行改為：pp1995=interp1(year,product,1995,linear) px=1900:2010;py=interp1(year,product,x

8、,linear);pplot(year,product,o,x,y);p計(jì)算結(jié)果為：計(jì)算結(jié)果為：p1995=252.9885 p這兩種計(jì)算方法得到的數(shù)據(jù)有微小的差異，這種差這兩種計(jì)算方法得到的數(shù)據(jù)有微小的差異，這種差異我們從兩個(gè)圖形上也能夠看到，主要表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)異我們從兩個(gè)圖形上也能夠看到，主要表現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)（那些繪制成圓點(diǎn)的點(diǎn)）的附近。前者是光滑的，（那些繪制成圓點(diǎn)的點(diǎn)）的附近。前者是光滑的，后者有角點(diǎn)出現(xiàn)。后者有角點(diǎn)出現(xiàn)。p二維插值二維插值p已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集 即已知在點(diǎn)集即已知在點(diǎn)集 上的函數(shù)值上的函數(shù)值 ，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù) （其圖形（其圖形為一曲面）通

9、過這些點(diǎn)，并能夠求出這些已知點(diǎn)以為一曲面）通過這些點(diǎn)，并能夠求出這些已知點(diǎn)以外的點(diǎn)的函數(shù)值，這一過程稱為二維插值。外的點(diǎn)的函數(shù)值，這一過程稱為二維插值。pMATLAB命令：命令：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)p該命令用指定的算法找出一個(gè)二元函數(shù)該命令用指定的算法找出一個(gè)二元函數(shù) ，然后以然后以 給出給出 處的值。返回?cái)?shù)據(jù)矩陣處的值。返回?cái)?shù)據(jù)矩陣Zi，Xi，Yi是向量，且必須單調(diào)，是向量，且必須單調(diào)，Zi和和meshgrid(Xi,Yi)是同類型的。是同類型的。 111222( ,),(,),(,)nnnx y zxy zxyz1122( ,),(,),(,)nnx

10、 yxyxy12 ,nz zz( , )zf x y( , )zf x y( , )f x y( , )x ypmethod可以下列方法之一：可以下列方法之一：pnearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算；最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算； spline：三次樣條函數(shù)插值；三次樣條函數(shù)插值；plinear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算 cubic：三次函數(shù)插值；三次函數(shù)插值； p例例2：已知已知1950年到年到1990年間每隔年間每隔10年，服務(wù)年限年，服務(wù)年限從從10年到年到30年每隔年每隔10年的勞動(dòng)報(bào)酬表如下：年的勞動(dòng)報(bào)酬表如下：p某企業(yè)工作人員的月平均

11、工資（元）某企業(yè)工作人員的月平均工資（元）p試計(jì)算試計(jì)算1975年時(shí)，年時(shí)，15年工齡的工作人員平均工資。年工齡的工作人員平均工資。服務(wù)年限年份1020301950150.697169.592187.6521960179.323195.072250.2871970203.212239.092322.7671980226.505273.706426.7301990249.633370.281598.243p解：程序如下：解：程序如下：pyears=1950:10:1990;pservice=10:10:30;pwage=150.697 169.592 187.652p 179.323 195.0

12、72 250.287p 203.212 239.092 322.767p 226.505 273.706 426.730p 249.633 370.281 598.243pw=interp2(service,years,wage,15,1975)p計(jì)算結(jié)果為：計(jì)算結(jié)果為：235.6288p例例3：設(shè)有數(shù)據(jù)設(shè)有數(shù)據(jù)x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由在由x，y構(gòu)成的網(wǎng)格上，數(shù)據(jù)為：構(gòu)成的網(wǎng)格上，數(shù)據(jù)為：p12,10,11,11,13,15p16,22,28,35,27,20p18,21,26,32,28,25p20,25,30,33,32,20p畫出原始網(wǎng)格圖和將網(wǎng)格細(xì)化為間隔為

13、畫出原始網(wǎng)格圖和將網(wǎng)格細(xì)化為間隔為0.1后的插后的插值網(wǎng)格圖。值網(wǎng)格圖。p解：程序?yàn)椋航猓撼绦驗(yàn)椋簆x=1:6;py=1:4;pt=12,10,11,11,13,15p16,22,28,35,27,20p 18,21,26,32,28,25;p 20,25,30,33,32,20psubplot(1,2,1)pmesh(x,y,t)px1=1:0.1:6;py1=1:0.1:4;px2,y2=meshgrid(x1,y1);pt1=interp2(x,y,t,x2,y2,cubic);psubplot(1,2,2)pmesh(x1,y1,t1);p結(jié)果如圖。左圖是給定的網(wǎng)格處的數(shù)據(jù)，右圖是插結(jié)

14、果如圖。左圖是給定的網(wǎng)格處的數(shù)據(jù)，右圖是插值后的數(shù)據(jù)。值后的數(shù)據(jù)。 例例4 山區(qū)地形地貌圖山區(qū)地形地貌圖p已知某處山區(qū)地形選點(diǎn)測量坐標(biāo)數(shù)據(jù)為：已知某處山區(qū)地形選點(diǎn)測量坐標(biāo)數(shù)據(jù)為：px=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5py=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6p海拔高度數(shù)據(jù)為：海拔高度數(shù)據(jù)為：pz=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82p 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84p 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85p 80 81 82 89 95

15、96 93 92 89 86 86p 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83p 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88p 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92p 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84p 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95p 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87p 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88p 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82p 87 88 89

16、98 99 97 96 98 94 92 87山區(qū)地形地貌圖山區(qū)地形地貌圖 程序程序p原始地貌圖程序：原始地貌圖程序：px=0:.5:5;py=0:.5:6;pxx,yy=meshgrid(x,y);pz=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82; 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84; 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85; 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86; 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83; 82 85 89 94 95 93 92 91 86

17、84 88; 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92; 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84; 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95p 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87p 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88p 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82p 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87;pmesh(xx,yy,z)p加密后的地貌圖加密后的地貌圖px=0:.5:5;y=0:.5:6;pz=89 90

18、 87 85 92 91 96 93 90 87 82p 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84p 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85p 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86p 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83p 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88p 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92p 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84p 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95p

19、 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87p 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88p 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82p 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87;pxi=linspace(0,5,50); %加密橫坐標(biāo)數(shù)據(jù)到加密橫坐標(biāo)數(shù)據(jù)到50個(gè)個(gè)pyi=linspace(0,6,80); %加密縱坐標(biāo)數(shù)據(jù)到加密縱坐標(biāo)數(shù)據(jù)到60個(gè)個(gè)pxii,yii=meshgrid(xi,yi); %生成網(wǎng)格數(shù)據(jù)生成網(wǎng)格數(shù)據(jù)pzii=interp2(x,y,z,xii,yii,cubic); %插值插

20、值pmesh(xii,yii,zii) %加密后的地貌圖加密后的地貌圖山區(qū)地形地貌圖山區(qū)地形地貌圖 結(jié)果結(jié)果例例5 海底曲面圖海底曲面圖p例：在某海域測得一些點(diǎn)（例：在某海域測得一些點(diǎn)（x,y)處的水深處的水深z由下表給出，在由下表給出，在矩形區(qū)域矩形區(qū)域(75,200) (-50,150)內(nèi)畫出海底曲面的圖形內(nèi)畫出海底曲面的圖形.X129140103.5 88185.5195105Y7.5141.52314722.5137.585.5Z 4868688X157.5 107.57781162162117.5Y-6.5-813 56.5-66.584-33.5z 9988949海底曲面圖海底曲面圖 程序程序pclc;clf;clear all;px=129 140103.5 88185.5195105157.5107.57781162162117.5;py=7.5141.523147 22.5137.585.5 -6.5 -81 3 56.5-66.584-33.5;pz=- 4868688 9 988949;pplot3(x,y,z,o), hold on %原始數(shù)據(jù)點(diǎn)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)p% 插值插值pcx=75:0.5:200;pcy=-70:0.5:150;pc